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■50473 / 親記事)  無限等比級数について
□投稿者/ あすなろ 一般人(1回)-(2020/08/25(Tue) 11:45:35)
     変な質問ですみませんが、等比数列の和を教科書のスタイルと違って

       rS_[n] =   ar + ar^2 + ・・・・・・・ + ar^(n-1) + ar^n
       -S_[n] = a + ar + ar^2 + ・・・・・・・ + ar^(n-1)
      -----------------------------------------------------
      (r-1)S_[n] = ar^n - a = a(r^n-1)
      S_[n] = a(r^n-1)/(r-1)
         = ar^n/(r-1) - a/(r-1)

    としたときも、無限等比級数は |r| < 1 のとき
      - a/(r-1) = a/(1-r)
    に収束すると考えていいのですよね?

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50474 / ResNo.1)  Re[1]: 無限等比級数について
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2020/08/25(Tue) 12:53:58)
    どのように導き出すかとは関係なくa(1-r)に収束します。
    もちろんそのように導き出しても問題ありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50475 / ResNo.2)  Re[2]: 無限等比級数について
□投稿者/ あすなろ 一般人(2回)-(2020/08/25(Tue) 19:41:14)
     回答まことにありがとうございました。安心しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50470 / 親記事)  cosの不等式
□投稿者/ 高校数学を忘れた人 一般人(1回)-(2020/08/23(Sun) 12:00:02)
    xが実数のとき
    |cos(x)|+|cos(2x)|+|cos(4x)|>1

    ってどうやって証明するのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50471 / ResNo.1)  Re[1]: cosの不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2020/08/23(Sun) 13:55:27)
    f(x)=|cosx|, g(x)=|cos2x|, h(x)=|cos4x|とする。
    f(x)の周期はπ、g(x)の周期はπ/2、h(x)の周期はπ/4であり、
    f(π-x)=f(x), g(π-x)=g(x), h(π-x)=h(x)だから、
    0≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)>1を言えば十分。
    また、g(π/2-x)=g(x), h(π/2-x)=h(x)であり
    f(x)は0≦x≦π/2で狭義減少だから、
    π/4≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)>1を言えば十分。
    この範囲の符号はf(x)≧0, g(x)≦0,
    π/4≦x<3π/8でh(x)<0, 3π/8≦x≦π/2でh(x)≧0だから
    f(x)+g(x)+h(x)は
    π/4≦x<3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x-cos4x
    3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x+cos4x
    cosx=tとおくとcos2x=2t^2-1, cos4x=8t^4-8t^2+1だから
    π/4≦x<3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
    3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2

    π/4≦x<3π/8の場合
    cosxはπ/4≦x<3π/8で減少関数であり
    cos(π/4)=√2/2<3/4, cos(3π/8)=√(2-√2)/2>3/8なので3/8<t<3/4
    このとき
    f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
    =(3/4-t){8(t-3/8)^3+15(t-3/8)^2+(51/8)(t-3/8)}+(91/64)(t-3/8)+543/512>1

    3π/8≦x≦π/2の場合
    cosxは3π/8≦x≦π/2で減少関数であり
    cos(3π/8)=√(2-√2)/2<2/5, cos(π/2)=0なので0≦t<2/5
    このとき
    f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2
    =8(2/5-t)^2(5t+4)t/5+(2/5-t)(770t+311)/125+628/625>1

    従ってf(x)+g(x)+h(x)>1は常に成り立つ。

    # もう少しうまい方法がありそうな気がしますが、思いつきませんでした。
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■50472 / ResNo.2)  Re[2]: cosの不等式
□投稿者/ 高校数学を忘れた人 一般人(2回)-(2020/08/23(Sun) 15:28:04)
    凄過ぎる解答をこんなにも早くありがとうございます。

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■50468 / 親記事)  品質の服
□投稿者/ www.iwgoods.com/buranndo-108-c0/ 一般人(1回)-(2020/08/19(Wed) 12:19:05)
    品質の服www.iwgoods.com/buranndo-108-c0/
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■50458 / 親記事)  複素平面上の円
□投稿者/ なたり 一般人(2回)-(2020/08/15(Sat) 11:48:57)

    から

    へ同値変形するのに大変てまどっています。
    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50462 / ResNo.1)  Re[1]: 複素平面上の円
□投稿者/ X 一般人(7回)-(2020/08/16(Sun) 00:27:23)
    以下、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

    |z-(2+i)|=3 (A)

    |z+b(c+i)|=a|z| (B)
    (a,b,cは実数、a>0)
    の形に同値変形できるとします。
    (B)より
    |z+b(c+i)|^2=(a|z|)^2
    {z+b(c+i)}・\{z+b(c+i)}=(a|z|)^2
    {z+b(c+i)}・{\z+b(c-i)}=(a|z|)^2
    |z|^2+b(c-i)z+b(c+i)\z+c^2+1=(a|z|)^2
    (1-a^2)|z|^2+b(c-i)z+b(c+i)\z+(c^2+1)b^2=0 (B)'
    一方(A)から同様にして
    |z|^2-(2-i)z-(2+i)\z-4=0 (A)'
    (A)'(B)が等価なので、係数について
    b(c-i)/(1-a^2)=-2+i (C)
    b(c+i)/(1-a^2)=-2-i (D)
    {(c^2+1)b^2}/(1-a^2)=-4 (E)
    (C)(D)において複素数の相等の定義により
    bc/(1-a^2)=-2 (F)
    b/(1-a^2)=-1 (G)
    (F)÷(G)より
    c=2
    これを(E)に代入して
    (b^2)/(1-a^2)=-4/5 (E)'
    (E)'÷(G)より
    b=4/5
    これを(G)に代入して
    a=3/√5

    以上から(A)は
    |z+(4/5)(2+i)|=(3/√5)|z|
    に同値変形できます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50467 / ResNo.2)  Re[2]: 複素平面上の円
□投稿者/ なたり 一般人(3回)-(2020/08/17(Mon) 07:21:18)
    手際よい変形の仕方そのものを教えていただき有難うございました。
解決済み!
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■50466 / 親記事)  積分の解き方について
□投稿者/ さく 一般人(1回)-(2020/08/16(Sun) 16:02:17)
    u(x,0)= ∫ [0 ∞]{C(y)sin(yx)}dy=δ(x-π)
    ∫ [0 ∞]{δ(x-a)f(x)}dx = f(a)
    上式における
    C(y)の求め方を教えてください。
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