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■47953 / 親記事)  放物線と円
□投稿者/ 昼顔 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 20:42:26)
    aを正の実数とし、xy平面上で
    y≧x^2 かつ (x-a)^2+y^2≦a^2
    をみたす領域の面積をS(a)とする。
    lim[a→∞]S(a)/aを求めよ。

    教えて下さい!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47957 / ResNo.1)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2017/05/11(Thu) 12:34:28)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 ということは、点(x, y)は中心(a, 0)で半径aの円の周及び内部です。

    (x-a)^2+y^2 ≦ a^2
    ⇒ y^2 ≦ 2ax-x^2
    ⇒ -√(2ax-x^2) ≦ y ≦ √(2ax-x^2)

    もう一つの条件の y ≧ x^2 がありますが、-√(2ax-x^2) ≦ 0 ≦ x^2 なので、
    題意の領域は放物線 y = x^2 と 円 (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 で囲まれたものとなります。

    y = x^2 と y^2 = 2ax-x^2 の交点は、x = 0 と 0 < x < 2aの範囲となり、
    x^4 = 2ax-x^2 ⇒ x(x^3+x-2a) = 0 から、0 < x < 2aの範囲の交点のx座標をtとすると、
    t は x^3+x-2a = 0 の根です。

    カルダーノの公式を使えば、x^3+x-2a = 0 の実根は、
    t = {a+√((1/3)^3+a^2)}^(1/3)+{a-√((1/3)^3+a^2)}^(1/3) です。

    S(a) = ∫[0, t]{(√(2ax-x^2))-x^2}dx
    = ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx-[(x^3)/3]_[0, t]
    = ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(t^3)/3
    = ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(2a-t)/3

    x-a = a*sin(u)と置換すると、uの積分範囲は[-π/2, arcsin((t-a)/a)]で、dx/du = a*cos(u)です。
    計算が煩雑になるので、T = arcsin((t-a)/a)とおきます。-a < t-a < aなので、-π/2 < T < π/2です。
    また、-π/2 ≦ u ≦ T < π/2の範囲で、cos(u) ≧ 0です。
    よって、cos(T) = √{1-sin(T)^2} = √{1-((t-a)/a)^2} = (1/a)√(2at-t^2) = (1/a)√(t(2a-t)) = (1/a)√(t(t^3))) = (1/a)t^2です。

    ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = ∫[-π/2, T]{a*cos(u)}(a*cos(u))du
    = (a^2)∫[-π/2, T]{cos(u)^2}du
    = (a^2)∫[-π/2, T]{(1+cos(2u))/2}du
    = (a^2)(1/2)[u+sin(2u)/2]_[-π/2, T]
    = (a^2)(1/2){T+(1/2)sin(2T)-(-π/2)-(1/2)sin(2*(-π/2))}
    = (a^2)(1/2){T+sin(T)cos(T)+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+((t-a)/a)((1/a)t^2)+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(t^3-a(t^2))+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(2a-t-a(t^2))+π/2}

    ここで、sin(T+π/2) = cos(T) = (1/a)t^2 ですから、T+π/2 = arccos((1/a)t^2) です。
    よって、∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))

    以上から、私が計算間違いしていなければ、
    S(a) = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))-(2a-t)/3
    = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/6)(2a-t-3a(t^2))
    となり、
    これに、t = {a+√(1/27+a^2)}^(1/3)+{a-√(1/27+a^2)}^(1/3) を代入して、
    lim[a→∞]{S(a)/a} を計算できるかもしれませんが・・・心が折れました。

    # もっと簡単な方法があるに違いない!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47958 / ResNo.2)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2017/05/11(Thu) 12:58:15)
    2017/05/11(Thu) 12:59:22 編集(投稿者)

    y=x^2と(x-a)^2+y^2≦a^2の交点を(t,t^2)としてaを求めると
    a=(t^3+t)/2
    条件を満たす領域をy=txで二つに分けて考えると
    y=txと放物線で挟まれる方の面積は
    ∫[0〜t]tx-x^2 dx=t^3/6 なので
    lim[t→∞](t^3/6)/a=1/3
    y=txと円で挟まれる方は
    扇形の中心角をθとするとt=(cosθ+1)/(sinθ)となり
    (扇形)/a=aθ/2=(t^3+t)/2・θ/2=((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ/4
    (二等辺三角形)/a=t^2/2=(cosθ+1)^2/(2(sinθ)^2)
    なので
    lim[a→∞]{(扇形)-(二等辺三角形)}/a
    =lim[θ→+0]{((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ-2(cosθ+1)^2/(sinθ)^2}/4
    =lim[θ→+0](cosθ+1)^2(θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)
    =1/3
    (∵lim[θ→+0](θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)=lim[θ→+0](1-cosθ)/(6cosθ(sinθ)^2)
     =lim[θ→+0]1/(-6(sinθ)^2+12(cosθ)^2)=1/12)
    従って
    lim[a→∞]S(a)/a=1/3+1/3=2/3

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47969 / ResNo.3)  Re[2]: 放物線と円
□投稿者/ 昼顔 一般人(2回)-(2017/05/14(Sun) 20:12:06)
    お二人ともありがとうございます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47951 / 親記事)  四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 18:34:58)
    2017/05/10(Wed) 20:06:22 編集(投稿者)

    a,b,c,dをa>0,b>0,c<0,d<0をみたす実数とし、
    座標平面上にA(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)をとる。
    線分ABと線分CDの垂直二等分線の交点が存在して、
    しかもそれが四角形ABCDの内部に存在するための、
    a,b,c,dに関する(簡単な)必要十分条件って何ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47959 / ResNo.1)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(2回)-(2017/05/11(Thu) 20:20:23)
    もしかして簡単には表せないのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47962 / ResNo.2)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2017/05/12(Fri) 00:12:01)
    ABの垂直二等分線は (x,y)=(a/2-bs,b/2-as)
    (ただしs=0のときABの中点、s>0で四角形の内部方向)
    CDの垂直二等分線は (x,y)=(c/2-dt,d/2-ct)
    (ただしt=0のときCDの中点、t>0で四角形の内部方向)
    2直線からtを消去すると (bc-ad)s=(ac-bd-c^2+d^2)/2
    2直線からsを消去すると (ad-bc)t=(ac-bd-a^2+b^2)/2
    ad-bc=0のとき2直線は平行(または一致)で
    交点を持つ(すなわち2直線が一致する)のは
    ac-bd-c^2+d^2=0 かつ ac-bd-a^2+b^2=0
    すなわちa=bかつc=dのとき
    ad-bc≠0のとき
    s=(ac-bd-c^2+d^2)/{2(bc-ad)}
    t=(ac-bd-a^2+b^2)/{2(ad-bc)}
    このs,tが正であれば交点が四角形の内部にある。
    (s,tが正であれば交点が直線ABと直線CDの間にあり、
     またそのとき条件から必ず直線ADと直線BCの間になる(証明略)。)
    よって求める必要十分条件は
    「a=bかつc=d」または
    「ad-bc>0かつa^2-b^2<ac-bd<c^2-d^2」または
    「ad-bc<0かつc^2-d^2<ac-bd<a^2-b^2」

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47966 / ResNo.3)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(3回)-(2017/05/12(Fri) 17:56:53)
    有難うございます。
    この結果、使わせていただきます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47963 / 親記事)  平方数の和(mod p)、個数
□投稿者/ 大倉 一般人(1回)-(2017/05/12(Fri) 16:49:52)
    pを奇素数として、Fp:={1,2,3,...,p}とします。
    #{(a,b,c,d)∈(Fp)^4|a^2+b^2+c^2+d^2≡1 (mod p)}
    はいくらになるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47948 / 親記事)  複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 11:26:02)
    aを0でない実数または純虚数、
    zを0でない複素数とするとき、
    |az-1/(az)+2i|-|az-1/(az)-2i|
    の値をaを使わずにあらわしたいです。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47949 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数の計算
□投稿者/ みずき 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 16:56:41)
    f(a,z)=|az-1/(az)+2i|-|az-1/(az)-2i|とおきます。

    f(a,z)がaを使わずに表せる
    ⇒f(a,z)がzのみで表せる
    ⇒zを固定するとaの値にかかわらずf(a,z)は一定値をとる

    例えば f(1,1+i)=2√2≠-2√2=f(-1,1+i) なので
    f(a,z)はaを使わずには表せないと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47950 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(2回)-(2017/05/10(Wed) 18:28:56)
    aの値による場合分けはあるかもしれません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47952 / ResNo.3)  Re[3]: 複素数の計算
□投稿者/ みずき 一般人(2回)-(2017/05/10(Wed) 19:27:31)
    なるほど。分かりました。

    z=x+yi(x,yは実数)とおきます。

    場合1:aが実数のとき
    f(a,z)=|ax+ayi-1/(ax+ayi)+2i|-|ax+ayi-1/(ax+ayi)-2i|
    =|ax+ayi-(x-yi)/(a(x^2+y^2))+2i|-|ax+ayi-(x-yi)/(a(x^2+y^2))-2i|
    =√((ax-x/(a(x^2+y^2)))^2+(ay+y/(a(x^2+y^2))+2)^2)
    -√((ax-x/(a(x^2+y^2)))^2+(ay+y/(a(x^2+y^2))+2)^2)
    =√(((a^2(x^2+y^2)+2ay+1)/(a√(x^2+y^2)))^2)
    -√(((a^2(x^2+y^2)-2ay+1)/(a√(x^2+y^2)))^2)
    =|a|z|+1/(a|z|)+2y/|z||-|a|z|+1/(a|z|)-2y/|z||
    ここで
    |a|z|+1/(a|z|)|≧2かつ|2y/|z||≦2に注意して
    a>0のとき 
    f(a,z)=(a|z|+1/(a|z|)+2y/|z|)-(a|z|+1/(a|z|)-2y/|z|)=4y/|z|=4Im(z)/|z|
    a<0のとき
    f(a,z)=-(a|z|+1/(a|z|)+2y/|z|)+(a|z|+1/(a|z|)-2y/|z|)=-4y/|z|=-4Im(z)/|z|

    場合2:aが純虚数のとき、a=bi(bは0でない実数)とおいて
    f(a,z)=|bi(x+yi)-1/(bi(x+yi))+2i|-|bi(x+yi)-1/(bi(x+yi))-2i|
    =|bxi-by+(y+xi)/(b(x^2+y^2))+2i|-|bxi-by-(y+xi)/(b(x^2+y^2))-2i|
    =√((-by+y/(b(x^2+y^2)))^2+(bx+x/(b(x^2+y^2))+2)^2)
    -√((-by+y/(b(x^2+y^2)))^2+(bx+x/(b(x^2+y^2))-2)^2)
    =√(((b^2(x^2+y^2)+2bx+1)/(b√(x^2+y^2)))^2)
    -√(((b^2(x^2+y^2)-2bx+1)/(b√(x^2+y^2)))^2)
    =|b|z|+1/(b|z|)+2x/|z||-|b|z|+1/(b|z|)-2x/|z||
    ここで
    |b|z|+1/(b|z|)|≧2かつ|2x/|z||≦2に注意して
    b>0のとき
    f(a,z)=(b|z|+1/(b|z|)+2x/|z|)-(b|z|+1/(b|z|)-2x/|z|)=4x/|z|=4Re(z)/|z|
    b<0のとき
    f(a,z)=-(b|z|+1/(b|z|)+2x/|z|)+(b|z|+1/(b|z|)-2x/|z|)=-4x/|z|=-4Re(z)/|z|
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47954 / ResNo.4)  Re[4]: 複素数の計算
□投稿者/ FEED 一般人(3回)-(2017/05/10(Wed) 20:58:55)
    有り難うございます。
    計算を丁寧に書いていただいたので、とてもよく分かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47947 / 親記事)  調和級数
□投稿者/ たけし 一般人(1回)-(2017/05/07(Sun) 19:02:27)
    自然数nに対して、互いに素な自然数の数列p[n],q[n]を
       1+1/2+1/3+・・・+1/n=p[n]/q[n]
    を満たすように定めます。
    p[n]が3の倍数になるnは全て求められるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]






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