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■48477 / 親記事)  図形について。
□投稿者/ コルム 一般人(3回)-(2018/07/03(Tue) 23:39:20)
    次の質問で、なぜ、直角二等辺三角形で、√2rが言えるのでしょうか?r,rまでしかわかっていないのですが。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
    URL の質問です。
    https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10588497.html
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48519 / ResNo.1)  Re[1]: 図形について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/08/19(Sun) 08:11:03)
    ∠A=90°の直角3角形△ABCで
    ピタゴラスの定理から
    |AB|^2+|AC|^2=|BC|^2
    となる
    |AB|=|AC|=r
    の時△ABCは直角2等辺3角形となり
    |BC|^2=|AB|^2+|AC|^2=r^2+r^2=2r^2
    |BC|^2=2r^2
    両辺を1/2乗すると
    |BC|=r√2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48378 / 親記事)  埋め
□投稿者/ ins 一般人(1回)-(2017/12/02(Sat) 00:14:10)
    A = (0, 0); B = (3, 0); C = (1, 2) なる △ABC について;
    ∠Aの二等分線とBCとの交点をD, ∠Aの外角のニ等分線とBCの延長との交点をE とする。
    Dの座標は ( , ) で E の 座標は ( , )
    DEの中点をOとする時, O の 座標は ( , )である。
    <---各 ●穴に正しい数を● 願います。

    (1)OB・OC=OD^2が成り立つ事を証明せよ。
    (2)OB:OC=AB^2:AC^2が成り立つ事を証明せよ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48518 / ResNo.1)  Re[1]: 埋め
□投稿者/ muturajcp 一般人(12回)-(2018/08/19(Sun) 06:00:36)
    A=(0,0);
    B=(3,0);
    C=(1,2)
    なる 
    △ABC について;
    ∠Aの2等分線とBCとの交点をD,
    ∠Aの外角の2等分線とBCの延長との交点をE とする。
    cos∠A=1/√5
    だから
    ∠Aの2等分線の傾きは
    tan(∠A/2)
    =sin(∠A/2)/cos(∠A/2)
    =√[{1-cos(∠A)}/{1+cos(∠A)}]
    =√[{1-1/√5}/{1+1/√5}]
    =√[{(√5)-1}/(1+√5)]
    =√[{{(√5)-1}^2}/4]
    ={(√5)-1}/2
    ∠Aの2等分線の式は
    y={(√5)-1}x/2
    BCの式は
    y=3-x
    交点D(x,y)は
    {(√5)-1}x/2=3-x
    (1+√5)x/2=3
    x=3{(√5)-1}/2
    y=3(3-√5)/2
    だから
    Dの座標は(3{(√5)-1}/2,3(3-√5)/2)で

    ∠Aの外角の2等分線の傾きは
    tan{(π+∠A)/2}
    =sin{(π+∠A)/2}/cos{(π+∠A)/2}
    =-cos(∠A/2)/sin(∠A/2)
    =-√[{1+cos(∠A)}/{1-cos(∠A)}]
    =-√[{1+1/√5}/{1-1/√5}]
    =-√[(1+√5)/{(√5)-1}]
    =-√[{(1+√5)^2}/4]
    =-(1+√5)/2
    だから
    ∠Aの外角の2等分線の式は
    y=-(1+√5)x/2
    BCの式は
    y=3-x
    交点(x,y)は
    -x(1+√5)/2=3-x
    x(1-√5)/2=3
    x=-3(1+√5)/2
    y=3(3+√5)/2
    だから
    Eの座標は(-3(1+√5)/2,3(3+√5)/2)

    DEの中点をOとする時,
    D
    =(3{(√5)-1}/2,3(3-√5)/2)
    =3((√5)-1,3-√5)/2
    E
    =(-3(1+√5)/2,3(3+√5)/2)
    =3(-1-√5,3+√5)/2
    O
    =(D+E)/2
    ={3((√5)-1,3-√5)/2+3(-1-√5,3+√5)/2}/2
    =3{((√5)-1,3-√5)+(-1-√5,3+√5)}/4
    =3(-2,6)/4
    =3(-1,3)/2
    =(-3/2,9/2)
    Oの座標は(-3/2,9/2)である.

    (1)
    |OB|
    =|(3,0)-(-3/2,9/2)|
    =3|(2,0)-(-1,3)|/2
    =3|(3,-3)|/2
    =9|(1,-1)|/2
    =(9√2)/2

    |OC|
    =|(1,2)-(-3/2,9/2)|
    =|(2,4)-(-3,9)|/2
    =|(5,-5)|/2
    =5|(1,-1)|/2
    =(5√2)/2

    |OD|^2
    =|D-O|^2
    =|3((√5)-1,3-√5)/2-(-3/2,9/2)|^2
    =9(|((√5)-1,3-√5)-(-1,3)|^2)/4
    =9(|(√5,-√5)|^2)/4
    =45(|(1,-1)|^2)/4
    =45*2/4
    =45/2

    |OB||OC|={(9√2)/2}(5√2)/2
    =45/2=|OD|^2

    |OB||OC|=|OD|^2

    (2)
    |AB|^2:|AC|^2
    =|(3,0)|^2:|(1,2)|^2
    =9:5

    |OB|:|OC|
    =(9√2)/2:(5√2)/2
    =9:5
    =|AB|^2:|AC|^2

    |OB|:|OC|=|AB|^2:|AC|^2
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■48510 / 親記事)  ベクトル
□投稿者/ 受験生 一般人(1回)-(2018/07/29(Sun) 11:20:28)
    模範解答お願いします。
1024×620 => 250×151

85CC4ACC-3386-46AB-B248-5EAF482FA1D3.jpeg
/138KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48517 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ muturajcp 一般人(10回)-(2018/08/18(Sat) 20:32:22)
    四面体OABCがあり,|OA|=|OB|=|OC|=1,∠AOB=π/3,OA⊥BC,OB⊥ACである.
    また,OA=a,OB=b,OC=cとし,
    OD=a+b,OE=b+c,OP=2a,OQ=(3/2)b,
    OR=(6/5)cで定まる5つの点D,E,P,Q,Rをとる.
    (1)
    a・b
    =|a||b|cos∠AOB
    =cosπ/3
    =1/2

    OB⊥ACだから
    b・(c-a)=0
    (b・c)-(a・b)=0
    b・c=a・b=1/2

    OA⊥BCだから
    (c-b)・a=0
    (c・a)-(a・b)=0
    c・a=a・b=1/2

    (2)
    0<s<1,s≠3/4
    線分ADをs:(1-s)に内分する点をX,
    線分CEを(1-s):sに内分する点をYとし,
    0<t<1
    線分XYをt:(1-t)に内分する点をZとする.
    X
    =(1-s)A+sD
    =(1-s)a+s(a+b)
    =(1-s+s)a+sb
    =a+sb

    Y
    =sC+(1-s)E
    =sc+(1-s)(b+c)
    =(1-s+s)c+(1-s)b
    =c+(1-s)b

    OZ
    =(1-t)X+tY
    =(1-t)(a+sb)+t{c+(1-s)b}
    =(1-t)a+(s+t-2st)b+tc

    点Zが平面PQR上にあるとき
    OZ=(1-x-y)P+xQ+yR
    となるx,yがある
    P=2a,Q=(3/2)b,R=(6/5)cだから
    OZ
    =2(1-x-y)a+(3x/2)b+(6y/5)c
    =(1-t)a+(s+t-2st)b+tc
    =(1-t)a+(3x/2)b+tc
    だから
    2(1-x-y)=1-t
    3x/2=s+t-2st
    6y/5=t
    6y=5t
    6x=4(s+t-2st)
    6(1-x-y)=3(1-t)
    6=5t+4(s+t-2st)+3(1-t)
    3=6t+4s-8st
    8st-6t-4s+3=0
    2t(4s-3)-4s+3=0
    (2t-1)(4s-3)=0
    s≠3/4だから4s-3≠0だから
    4s-3で両辺を割ると
    2t-1=0
    2t=1
    t=1/2
    ↓これを6y=5tに代入すると
    6y=5/2
    y=5/12
    ↓これとt=1/2を2(1-x-y)=1-tに代入すると
    7/6-2x=1/2
    2/3=7/6-1/2=2x
    x=1/3
    ↓これとt=1/2をOZ=(1-t)a+(3x/2)b+tcに代入すると

    OZ=(1/2)a+(1/2)b+(1/2)c

    (3)
    点KをOK=ka(kは実数で定まる点とする.
    (2)の点Zが平面PQR上にあるとき,
    直線ZKが平面OBCに垂直となるとき
    ZKとOBは垂直だから
    ZK・OB=0
    =(ka-(a+b+c)/2)・b=0
    =k(a・b)-{(a・b)+|b|^2+(c・b)}/2=0
    ={(2k-1)(a・b)-|b|^2-(c・b)}/2=0
    =
    {(2k-1)/2-1-1/2}/2=0
    2k-1-2-1=0
    2k=4
    k=2

    ZKとOBは垂直だから
    ZK・OC
    =(ka-(a+b+c)/2)・c=0
    =k(a・c)-{(a・c)+(b・c)+|c|^2}/2=0
    ={(2k-1)(a・c)-(b・c)-|c|^2}/2=0
    =
    {(2k-1)/2-1/2-1}/2=0
    2k-1-1-2=0
    2k=4
    k=2
    だから
    k=2
    の時ZKはOBとOCの両方に垂直だから平面OBCに垂直となる
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48361 / 親記事)  極値
□投稿者/ 安室 一般人(2回)-(2017/10/06(Fri) 21:52:56)
    x^2 + 2 x y + 3 y^2 - 2 y - 4 = 0 のとき y の最小値, 最大値を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48516 / ResNo.1)  Re[1]: 極値
□投稿者/ muturajcp 一般人(8回)-(2018/08/17(Fri) 19:49:49)
    x^2+2xy+3y^2-2y-4=0
    3y^2+2(x-1)y+x^2-4=0
    3{y+(x-1)/3}^2-(x-1)^2/3+x^2-4=0
    {y+(x-1)/3}^2=(13-2x-2x^2)/9
    {y+(x-1)/3}^2=3/2-2{(x+1/2)^2}/9
    {y+(x-1)/3}^2=-{2x+1+(3√3)}{2x+1-(3√3)}/18≧0
    {2x+1+(3√3)}{2x+1-(3√3)}≦0
    (-1-3√3)/2≦x≦(-1+3√3)/2
    y={1-x±√(13-2x-2x^2)}/3

    y'
    ={-1±(-1-2x)/√(13-2x-2x^2)}/3
    =[{±(-1-2x)-√(13-2x-2x^2)}/√(13-2x-2x^2)]/3
    =[(6x^2+6x-12)/√(13-2x-2x^2)]/{±(-1-2x)+√(13-2x-2x^2)}/3
    =[2(x+2)(x-1)/√(13-2x-2x^2)]/{±(-1-2x)+√(13-2x-2x^2)}

    y={1-x+√(13-2x-2x^2)}/3の時
    (-1-3√3)/2≦x<-2の時y'>0だからy増加
    x=-2の時最大値y=2
    -2<x≦(-1+3√3)/2の時y'<0だからy減少

    y={1-x-√(13-2x-2x^2)}/3の時
    (-1-3√3)/2≦x<1の時y'<0だからy減少
    x=1の時最小値y=-1
    1<x≦(-1+3√3)/2の時y'>0だからy増加

    最小値y=-1
    最大値y=2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48360 / 親記事)  極値
□投稿者/ 安室 一般人(1回)-(2017/10/06(Fri) 21:50:59)
    x^2 + 2 x y + 3 y^2 - 2 y - 4 = 0 のとき x の最小値, 最大値を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48515 / ResNo.1)  Re[1]: 極値
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/08/17(Fri) 16:41:44)
    x^2+2xy+3y^2-2y-4=0
    (x+y)^2=-2y^2+2y+4
    (x+y)^2=-2(y+1)(y-2)≧0
    (y+1)(y-2)≦0
    -1≦y≦2
    x=-y±√(4+2y-2y^2)

    x'
    =-1±(1-2y)/√(4+2y-2y^2)
    ={±(1-2y)-√(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)
    ={(1-2y)^2-(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    ={1-4y+4y^2-(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =(6y^2-6y-3)/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =3(2y^2-2y-1)/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =6{y-(1-√3)/2}{y-(1+√3)/2}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}

    x=-y+√(4+2y-2y^2)の時
    -1≦y<(1-√3)/2の時x'>0だからxは増加
    y=(1-√3)/2の時最大値x=(-1+3√3)/2
    (1-√3)/2<y<2の時x'<0だからxは減少

    x=-y-√(4+2y-2y^2)の時
    -1≦y<(1+√3)/2の時x'<0だからxは減少
    y=(1+√3)/2の時最小値x=(-1-3√3)/2
    (1+√3)/2<y<2の時x'>0だからxは増加

    最小値x=(-1-3√3)/2
    最大値x=(-1+3√3)/2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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