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■48999 / 親記事)  ε-N論法を使った極限の証明
□投稿者/ まる 一般人(1回)-(2019/01/25(Fri) 16:23:34)
    【至急】回答をお願いします 解説もあると嬉しいですx=E^2を二次元のユークリッド空間とする xの点列{xn}n=1,2,3は収束するかしないかを調べするならば極限点を求めしないならば収束しないことを証明せよ

    1xn=((1+2n)^(1/n),(1-3n)^(1/n))

    2 xn=(n^(3)-1/n^(3)+1,sin(√2nx))

    3 xn=((e^(1/n)+e^(-1/n))/2,(e^(1/n)-e^(-1/n))/2)

    分からなくて困ってます…。どうかお願いします!
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■49002 / ResNo.1)  Re[1]: ε-N論法を使った極限の証明
□投稿者/ muturajcp 一般人(48回)-(2019/01/26(Sat) 16:06:51)
    1
    x(n)=((1+2n)^(1/n),(1-3n)^(1/n))

    n=2の時(1-3n)^(1/n)=i√5虚数となるので
    x(2)=(√5,i√5)
    はE^2上の点ではない

    2
    x(n)=(n^3-1/n^3+1,sin(√2nx))
    lim_{n→∞}n^3-1/n^3+1
    =lim_{n→∞}n^3-(1/n^3)+1
    =∞
    なので発散する
    sin(√2nx)のxが意味不明

    3
    lim_{n→∞}x(n)
    =lim_{n→∞}((e^(1/n)+e^(-1/n))/2,(e^(1/n)-e^(-1/n))/2)
    =((e^(0)+e^(0))/2,(e^(0)-e^(0))/2)
    =((1+1)/2,(1-1)/2)
    =(2/2,0/2)
    =(1,0)
    に収束する
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■48995 / 親記事)  偏微分・重積分
□投稿者/ きゃらげ 一般人(1回)-(2019/01/23(Wed) 10:51:24)
    大学教養科目の微積分の質問です。

    画像の三問の答えをお願い出来ませんでしょうか。

    三問全てでなく一部だけでも構いません。

    何卒宜しくお願いします。
720×405 => 250×140

D8535B5C-D522-4E25-919D-71E97DEDC402.jpeg
/61KB
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48998 / ResNo.1)  Re[1]: 偏微分・重積分
□投稿者/ muturajcp 一般人(47回)-(2019/01/24(Thu) 19:56:04)
    3x^2+2xy+3y^2=3(x-y)^2+8xy=1
    0≦3(x-y)^2=1-8xy
    8xy≦1
    xy≦1/8
    x=y=(√2)/4の時xyの
    最大値1/8

    3x^2+2xy+3y^2=3(x+y)^2-4xy=1
    0≦3(x+y)^2=1+4xy
    -1≦4xy
    -1/4≦xy

    x=±1/2,y=-±1/2の時xyの
    最小値-1/4
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■48990 / 親記事)  複素解析学 留数計算
□投稿者/ ぬ 一般人(1回)-(2019/01/20(Sun) 12:55:41)
    次積分を留数計算を使って求めなさい

    $甜0→∞]x^2/(x^2+1)^3dx$

    できる限り途中式を詳しく書いていただければ幸いです。
    よろしくお願い致します。
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■48997 / ResNo.1)  Re[1]: 複素解析学 留数計算
□投稿者/ muturajcp 一般人(46回)-(2019/01/23(Wed) 20:58:04)
    f(z)=z^2/(z^2+1)^3
    とすると
    f(z)の特異点は±iで,3位の極である
    Cの内部にあるものはiだけである
    z=iはf(z)の3位の極だから

    Res[f(z),i]
    =(1/2)lim_{z→i}{z^2/(z+i)^3}"
    =(1/2)lim_{z→i}[2{z/(z+i)^3}'-3{z^2/(z+i)^4}']
    =(1/2)lim_{z→i}[2{1/(z+i)^3-3z/(z+i)^4}-3{2z/(z+i)^4-4z^2/(z+i)^5}]
    =(1/2)lim_{z→i}[2/(z+i)^3-12z/(z+i)^4+12z^2/(z+i)^5]
    =lim_{z→i}[(z+i)^2-6z(z+i)+6z^2]/(z+i)^5
    =lim_{z→i}(z^2-4iz-1)/(z+i)^5
    =-i/16

    ∫_{C}f(z)dz
    =i2πRes[f(z),i]
    =π/8
    したがって

    ∫_{-R〜R}f(z)dz+∫_{Γ}f(z)dz=π/8
    lim_{R→∞}∫_{Γ}f(z)dz=lim_{R→∞}∫_{0〜π}[ie^(3it)/{Re^(2it)+1/R}^3]dt=0

    ∫_{-∞〜∞}x^2/(x^2+1)^3dx=π/8
    したがって
    ∫_{0〜∞}x^2/(x^2+1)^3dx=π/16
1000×1000 => 250×250

m20190120121.jpg
/79KB
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■48989 / 親記事)  数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(38回)-(2019/01/19(Sat) 19:08:57)
    助けていただけると幸いです。
717×366 => 250×127

1547892537.png
/33KB
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48994 / ResNo.1)  Re[1]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(45回)-(2019/01/21(Mon) 10:00:19)
    答えは添付ファイルにあります
717×322 => 250×112

1548032419.png
/33KB
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■48987 / 親記事)  数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(36回)-(2019/01/17(Thu) 10:34:12)
    次の問題を助けていただけないでしょうか?
727×322 => 250×110

1547688852.png
/30KB
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48993 / ResNo.1)  Re[1]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(44回)-(2019/01/20(Sun) 20:22:26)
    (1)
    nを自然数とする
    -1/(n+1)-{-1/n+1/(n+1)^2}
    =-1/(n+1)+1/n-1/(n+1)^2
    ={(n+1)^2-n(n+1)-n}/{n(n+1)^2}
    =(n^2+2n+1-n^2-n-n)/{n(n+1)^2}
    =1/{n(n+1)^2}
    >0
    だから
    両辺に{-1/n+1/(n+1)^2}を加え左右を入れ替えると

    -1/n+1/(n+1)^2<-1/(n+1)

    (2)
    P(n)=[Σ_{k=1〜n}1/(k+1)^2<2-1/(n+1)]
    とする
    P(1)=[1+1/2^2=1+1/4<1+1/2=3/2=2-1/2]は真
    ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
    Σ_{k=1〜n}1/(k+1)^2<2-1/(n+1)
    ↓(1)から1/(n+2)^2<1/(n+1)-1/(n+2)を加えると
    Σ_{k=1〜n+1}1/(k+1)^2<2-1/(n+2)
    となって
    P(n+1)も真となるから

    全ての自然数nに対して
    Σ_{k=1〜n}1/(k+1)^2<2-1/(n+1)
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