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■48009 / 親記事)  代数学の問題
□投稿者/ socksman 一般人(1回)-(2017/06/08(Thu) 14:56:50)
    以下の問題が分かりません。

    解説をお願いします。
1080×219 => 250×50

IMG_20170607_230206.jpg
/49KB
引用返信/返信 [メール受信/ON]



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■48000 / 親記事)  互いに素
□投稿者/ on 一般人(1回)-(2017/06/01(Thu) 23:19:52)
    自然数mに対して、φ(m)を1以上m以下の自然数でmと互いに素なものの個数とするとき、
    2以上の自然数nに対して、2^n-1はφ(2^n-1)で割り切れないことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48001 / ResNo.1)  Re[1]: 互いに素
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2017/06/02(Fri) 01:58:37)
    aが2^n-1と互いに素ならば(2^n-1)-aも2^n-1と互いに素
    aと(2^n-1)-aが一致することはないからφ(2^n-1)は偶数
    従って2^n-1はφ(2^n-1)では割り切れない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48002 / ResNo.2)  Re[2]: 互いに素
□投稿者/ on 一般人(2回)-(2017/06/03(Sat) 09:48:43)
    有り難うございます!
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



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■47996 / 親記事)  数列の最大項
□投稿者/ まるでお城 一般人(1回)-(2017/05/26(Fri) 16:38:08)
    aを正の数として、数列a[n]を
    a[n]=(a/n)^n (n=1,2,3,...)
    と定めます。
    a[1],a[2],a[3],...,a[n],...
    のうち最大の項はどれですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47997 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の最大項
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2017/05/26(Fri) 20:09:22)
    logは自然対数関数を表すものとし、自然対数の底をeとします。

    xを実数として、f(x) = (a/x)^xとおいてx > 0でのf(x)の増減を調べます。
    f(x) > 0ですから、log(f(x)) = x(log(a)-log(x)),
    f'(x)/f(x) = log(a)-log(x)-1 = log(a/(ex)) ⇒ f'(x) = f(x)log(a/(ex))
    1 < a/(ex)つまりx < a/eで、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。
    1 = a/(ex)つまりx = a/eで、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。
    0 < a/(ex) < 1つまりa/e < xで、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。

    よって、a/eに近い整数nでa[n]は最大になると考えられるので、
    n = [a/e]またはn = [a/e]+1のどちらかになると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47985 / 親記事)  数列とmod
□投稿者/ トランク大統領 一般人(1回)-(2017/05/22(Mon) 00:03:38)
    a[1]=-4
    a[2]=8
    a[3]=420
    a[n+3]=3a[n+2]-99a[n+1]-31a[n] (n≧1)
    で定められる数列{a[n]}をmod 93で見ると、いずれも0にならない(93の倍数にならない)、
    という性質があります。

    この93という整数はどうやって見つけたらよいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47991 / ResNo.1)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2017/05/22(Mon) 19:52:37)
    別スレで書いた「条件を満たす自然数mは存在しない」の証明と同様に考えれば、
    31a[n]=-99a[n+1]+3a[n+2]-a[n+3]
    と変形したとき、mod mのmが31と互いに素であればある3項からその手前の項が
    一意的に決まり、a[0]=0なのでa[k]≡0(mod m)となる項が存在します。
    従ってa[k]≡0(mod m)となる項が存在しないためには、少なくとも
    mが31と互いに素でない、すなわち31の倍数である必要があります。
    よって31,62,93,…を考えればよいことになりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47994 / ResNo.2)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(9回)-(2017/05/22(Mon) 23:28:59)
    有り難うございます。

    これは問題集にあった問題なのですが、
    解けるように作ってあることがよく分かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



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■47982 / 親記事)  数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(1回)-(2017/05/21(Sun) 20:40:36)
    a[1]=1
    a[2]=-3
    a[3]=6
    a[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n] (n≧1)
    で定められる数列{a[n]}について、次の条件をみたす自然数mは存在するでしょうか?

    条件 どの自然数nに対してもa[n]はmの倍数ではない
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■47986 / ResNo.3)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2017/05/22(Mon) 01:08:33)
    全然答えにはなっていないですが、
    とりあえずm≦1000000では条件を満たすmは存在しませんでした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47987 / ResNo.4)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(3回)-(2017/05/22(Mon) 01:29:34)
    No47986に返信(らすかるさんの記事)
    > 全然答えにはなっていないですが、
    > とりあえずm≦1000000では条件を満たすmは存在しませんでした。
    >

    ひええぇぇ・・・
    この方針では無理そうですね
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47989 / ResNo.5)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(5回)-(2017/05/22(Mon) 03:25:21)
    でも、もし任意の自然数mに対して、ある自然数nが存在して
    a[n]はmの倍数
    となるのなら、それ自体でちょっと面白い問題ですね
    元の問題からは離れてしまいますが…
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47990 / ResNo.6)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2017/05/22(Mon) 19:03:10)
    「条件を満たす自然数mは存在しない」が証明できました。

    mod mで考えた場合、連続する3項の数の組合せは
    有限通り(m^3通り)ですから、必ず一定の周期でループします。
    そしてa[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n]を変形すると
    a[n]=3a[n+1]+3a[n+2]+a[n+3]となり、ある連続する3項から
    必ずその前の項も一意的に決まりますので、
    「先頭のk項(k>0)はループせず、k+1項めからループが始まる」
    ということはあり得ず、先頭からループが始まります。
    従ってa[k]≡a[1],a[k+1]≡a[2],a[k+3]≡a[3](mod m)となるkが
    必ず存在します。
    このとき、a[0]=3a[1]+3a[2]+a[3]=0からa[k-1]≡a[0]≡0(mod m)ですから、
    mの倍数である項a[k-1]が存在します。
    従って条件を満たす自然数mは存在しません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47992 / ResNo.7)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(6回)-(2017/05/22(Mon) 23:22:44)
    2017/05/22(Mon) 23:38:47 編集(投稿者)

    なるほど!
    a[n]の係数1がいやらしい、mが存在しない(≒元の問題が難しくなってる)原因なんですね。

    他の線型回帰数列でも(フィボナッチ数列とか)同様のことが言えるんですね。
    有り難うございます。(って、元の問題がますます手が届かなくなってるのではありますが…)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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