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■45411 / 親記事)  n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2013/07/06(Sat) 11:00:53)
    有理数全体の集合が可算である事を知る為に,n番目の有理数を求める公式を探しています(自分でもトライしてみたのですが,
    1,1/2,[2/2],1/3,2/3,[3/3],1/4,[2/4],3/4,[4/4],….
    約分できる分数をカウントしないようにするのはどうすればいいのか分りません。

    どなたか
    n番目の有理数を求める公式が載ってるサイトをご存知でしたらお教え下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス24件(ResNo.20-24 表示)]
■45557 / ResNo.20)  n番目の有理数の式
□投稿者/ とんからり 一般人(1回)-(2013/10/15(Tue) 10:51:17)
    検索でたどり着きました。これで意図にあうかはわかりませんが、n番目の有理数の式は

    f(n)
    =
    0 (n=1 の時)
    1 (n=2 の時)
    -1 (n=3 の時)
    ((-1)^n)*Πp(i)^(((-1)^e(i))*[(e(i)+1)/2])
    (n>3 で、
    [n/2]=Πp(i)^e(i)
    と素因数分解される時)

    と与えることができます。大きい自然数には素因数分解があるので実用的ではないというネックはありますが。

    この逆関数 g:Q→N は、

    g(x)
    =
    1 (x=0 の時)
    2 (x=1 の時)
    3 (x=-1 の時)
    2x^2 (x=2,3,4,… の時)
    2x^2+1 (x=-2,-3,-4,… の時)
    2Πp(i)^(-1+2e(i))
    (x=1/(Πp(i)^e(i))の時)
    1+2Πp(i)^(-1+2e(i))
    (x =-1/(Πp(i)^e(i))の時)
    2(Πp(i)^(-1+2e(i)))(Πq(j)^(2h(j)))
    (x=(Πq(j)^h(j))/(Πp(i)^e(i))の時)
    1+2(Πp(i)^(-1+2e(i)))(Πq(j)^(2h(j)))
    (x=-(Πq(j)^h(j))/(Πp(i)^e(i))の時)

    です。よって与えられた有理数が何番目かも計算で求められます。

    なお、n番目の素数を+-*√Σを使って明示的にnの式で表すこともできます。

    (携帯)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■45607 / ResNo.21)  Re[2]: n番目の有理数の式
□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2013/11/03(Sun) 07:07:40)
    > なお、n番目の素数を+-*√Σを使って明示的にnの式で表すこともできます。

    大変有難うございます。ちょっと検証してみたいと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■45779 / ResNo.22)  Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ honma 一般人(1回)-(2014/03/23(Sun) 19:03:03)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■45780 / ResNo.23)  Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2014/03/24(Mon) 05:42:59)
    honma先生有難うございます。
    ちょっと参考にさせていただきたいと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46342 / ResNo.24)  Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ JT 一般人(1回)-(2014/07/14(Mon) 08:13:22)
    とするとき,n番目の有理数はです。ここではガウスの記号,実数の整数部分を表します。また回繰り返す演算です。例えばのときはです。これについて詳しいことは,数学セミナー2013年12月号,pp.54--57「有理数をカウントする数式」を参照するとよいでしょう。
引用返信/返信 [メール受信/ON]

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■47072 / 親記事)  固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(1回)-(2015/04/07(Tue) 12:47:48)
    A,Bをn×n正値エルミート行列とするとき,
    ∃ε>0; ∀x∈(-ε,ε)に対して, A+xBの固有値は有界である,
    つまり,
    集合∪_{x∈(-ε,ε)}σ(A+xB)は有界であることはどうすれば示せますでしょうか?

    σ(A)と書いたらAの固有値の集合を表してます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス19件(ResNo.15-19 表示)]
■47298 / ResNo.15)  Re[15]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(9回)-(2015/05/30(Sat) 01:58:24)
    あっ、なるほど。たしかに,
    ∂f(x,ε)/∂x|_{(x,ε)=(0,0)}=2x|_{(x,ε)=(0,0)}=0だから
    dε/dxは(0,0)の近傍で存在するがdx/dεは(0,0)の近傍で存在しないのですね。

    εはx(固有値に関して)陰関数定理を用いて解析的と示せるが
    xはεに対して解析的かどうかは陰関数定理では判定不能なのですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47300 / ResNo.16)  Re[16]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(10回)-(2015/06/01(Mon) 11:19:15)
    従って,
    (f_ε(x)=0はxはεについて解析的であるだろうが)
    f_ε(x)=0にて,xはεについて解析的である事の証明には陰関数定理は使えないのですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47301 / ResNo.17)  Re[17]: 固有値の問題
□投稿者/ ひよこ 一般人(12回)-(2015/06/01(Mon) 23:17:25)
    陰関数定理の仮定を満たさないことについては、それで良いと思います。

    >(f_ε(x)=0はxはεについて解析的であるだろうが)
    については、
    f(x,ε)=x^2+εの場合、
    f(x,ε)=0となるxをεで表そうとすると、


    ただし、εは0以下、となって、この関数x(ε)は、ε=0では解析的ではないと思います。

    ・まず、0の近傍では関数が定義されていない。普通、ある点cで解析的というためには、cを含むなんらかの領域(連結開集合上)で考える。
    ・上記を解消するため、x(ε)をε>0で、全体が奇関数になるように拡張したりしても、そもそもx'(0)=-∞とかになって、0ではテイラー展開できません。つまり、解析的にはなりません。

    いかがでしょうか。
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■47302 / ResNo.18)  Re[18]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(11回)-(2015/06/02(Tue) 04:45:41)
    ご回答誠に有難うございます。

    今,x(ε)はεで決まるエルミート行列A+εBの固有値だからx(ε)は実関数でなければならないがx(ε)=√(-ε)は0<εでは実関数とはならないので,
    x(ε)は0≧εでしか定義されないのですね。
    ここで,ε=0の時のεは0≦εの内点にならないのでx(ε)が定義されるε=0の開領域は存在しませんね。

    > x(ε)をε>0で、全体が奇関数になるように拡張したりしても

    ここのくだりがいまいち分かりません。これはε=0でx(ε)の可除特異点が取れないということでしょうか?
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■47306 / ResNo.19)  Re[19]: 固有値の問題
□投稿者/ ひよこ 一般人(13回)-(2015/06/04(Thu) 01:09:56)
    えーと、もともとの問題はちょっとおいといて、実数に限って、f(x,ε):=x^2+εの場合に話をしています。

    ε>0の部分でx(ε)が定義されていないのが不都合の原因であるならば、
    それを取り除くことを考えたいというのが、よくある考え方です。

    それを実行するためには、とにかくx(ε)をε>0でうまく定義してしまえば良い、というわけですが、そういった場合に使われる手法の一つが奇関数拡張とか偶関数拡張とかなので例として挙げました(深い意味はありません)。

    例えば、
    「xが非負な部分でf(x)=sin xと定義されている関数が、x=0の近傍でC^1級か?」
    というと、
    「x<0ではf(x)が定義されていないためにx=0での微分が定義されないのでダメ」
    という考え方もありますが、x<0に対して、f(x)が全体で奇関数になる(f(-x)=-f(x)となる)ようにf(x)を定めれば、f(x)はC^1級になるわけです。

    これが奇関数に拡張するという話です。あくまで単なる拡張の仕方の一例です。



    さて、今考えている問題では、そもそも、

    となっているので、これはx(ε)がε=0で解析的であることに矛盾します。

    これは、ε=0が、x(ε)の可除でない特異点になっていることを意味しているわけです。

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■47208 / 親記事)  極限
□投稿者/ n 一般人(1回)-(2015/05/17(Sun) 04:02:27)
    極限の問題です。

    lim[x→+0]{x^x-(sinx)^x}/x^3

    答えは1/6になります。

    この問題の計算過程を教えてください。

    どなたかよろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス17件(ResNo.13-17 表示)]
■47222 / ResNo.13)  Re[13]: 極限
□投稿者/ n 一般人(9回)-(2015/05/17(Sun) 19:35:57)
    No47221に返信(Samanthaさんの記事)
    > ということは、
    >
    > も分からないということですか?

    は分かります。
    が怪しいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47223 / ResNo.14)  Re[14]: 極限
□投稿者/ Samantha 一般人(12回)-(2015/05/17(Sun) 20:07:40)
    が分かるのに、が分からないのは、いったいどういうことなのでしょうか?

    が怪しいのに、与えられた極限が「不定形」になると判断できたのは何故ですか?
    (普通の順番ですと、だから、この問題が不定形の極限を求める問題なのだと判断することになるのですが…)

    と考えてみて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47224 / ResNo.15)  Re[14]: 極限
□投稿者/ n 一般人(10回)-(2015/05/17(Sun) 20:11:13)
    lim[x→+0](sinx)^x=1と計算できました。
    つまりxlogsinx=0ですね。
    これで1番目が1という事が分かりました。
    ありがとうございます。

    2番目はどのように計算するのでしょう?
    お願いします。教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47225 / ResNo.16)  結局全部聞いてますね?
□投稿者/ Samantha 一般人(13回)-(2015/05/17(Sun) 20:18:56)
    2番目、やり方は色々あるでしょうが、たとえば

    と置き換えて考えてみてはいかがでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47226 / ResNo.17)  Re[16]: 結局全部聞いてますね?
□投稿者/ n 一般人(11回)-(2015/05/17(Sun) 20:27:01)
    No47225に返信(Samanthaさんの記事)
    > 2番目、やり方は色々あるでしょうが、たとえば
    >
    > と置き換えて考えてみてはいかがでしょうか?

    長い時間お手を煩わせてもうしわけありませんでした。
    教えて頂いたことを参考にして、計算してみたいと思います。

    本当にありがとうございました。
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■48875 / 親記事)  ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(3回)-(2018/10/27(Sat) 18:37:44)
    各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
    (2)四角形APRQの面積をtで表せ。
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス16件(ResNo.12-16 表示)]
■48913 / ResNo.12)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(9回)-(2018/12/11(Tue) 12:14:27)
    どうしてそうなるのか教えていただけないでしょうか?
    ここです。
    B点P'をAP'↑=2*AP↑を満たす点とすると
    ↑AR={t/(1+t)}↑AP'+{1/(1+t)}↑AQ
    だから
    点Rは線分P'Qを1:tに内分している

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48914 / ResNo.13)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(10回)-(2018/12/11(Tue) 17:50:08)
    2が抜けているように思うのですが。教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48915 / ResNo.14)  Re[2]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(20回)-(2018/12/15(Sat) 11:12:24)
    Rは平面APQ上の点だから
    ↑AR=x↑AP+y↑AQ…(1)
    となるx,yがある
    PはOBの中点だから
    ↑AP=(1/2)(↑AO+↑AB)…(2)
    QはODをt:(1-t)に内分する点だから
    ↑AQ=(1-t)↑AO+t↑AD
    これと(2)を(1)に代入すると
    ↑AR=x(1/2)(↑AO+↑AB)+y{(1-t)↑AO+t↑AD}
    ↑AR=(x/2)(↑AO+↑AB)+(1-t)y↑AO+ty↑AD
    ↑AR=(x/2)↑AO+(x/2)↑AB+(1-t)y↑AO+ty↑AD
    ↑AR=(x/2)↑AO+(1-t)y↑AO+(x/2)↑AB+ty↑AD
    ↑AR={(x/2)+(1-t)y}↑AO+(x/2)↑AB+ty↑AD…(3)

    Rは直線OC上の点だから
    ↑AR=(1-z)↑AO+z↑AC
    となるzがある
    ↓↑AC=↑AB+↑ADだから
    ↑AR=(1-z)↑AO+z(↑AB+↑AD)
    ↑AR=(1-z)↑AO+z↑AB+z↑AD
    これと(3)から
    {(x/2)+(1-t)y}↑AO+(x/2)↑AB+ty↑AD=(1-z)↑AO+z↑AB+z↑AD
    ↑AO,↑AB,↑ADは1次独立だから
    ↑AOの係数が等しいから
    (x/2)+(1-t)y=1-z…(4)
    ↑ABの係数が等しいから
    x/2=z…(5)
    ↑ADの係数が等しいから
    ty=z
    これと(5)から
    x/2=yt
    ↓両辺に2をかけると
    x=2yt…(6)
    (5)を(4)に代入すると
    (x/2)+y(1-t)=1-x/2
    ↓両辺にx/2を加えると
    x+y(1-t)=1
    ↓これに(6)を代入すると
    2yt+y(1-t)=1
    y(2t+1-t)=1
    y(1+t)=1
    ↓両辺を1+tで割ると
    y=1/(1+t)…(7)
    ↓これを(6)に代入すると
    x=2t/(1+t)
    これと(7)を(1)に代入すると

    ↑AR={2t/(1+t)}↑AP+{1/(1+t)}↑AQ
    ↑AR={t/(1+t)}(2↑AP)+{1/(1+t)}↑AQ
    ↓これに↑AP'=2↑APを代入すると

    ↑AR={t/(1+t)}↑AP'+{1/(1+t)}↑AQ
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48916 / ResNo.15)  Re[2]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(21回)-(2018/12/15(Sat) 21:51:28)
    (1)の答えの
    ↑AR={2t/(1+t)}↑AP+{1/(1+t)}↑AQ

    ↑AP'=2↑AP
    を代入すると
    ↑AR={t/(1+t)}↑AP'+{1/(1+t)}↑AQ
    となるので
    点Rは線分P'Qを1:tに内分している
1000×1000 => 250×250

m201810271837.jpg
/109KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48927 / ResNo.16)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(12回)-(2018/12/23(Sun) 13:02:00)
    助かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48948 / 親記事)  数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(18回)-(2018/12/30(Sun) 16:37:57)
    次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。
706×537 => 250×190

IMG_20181230_163723_909.JPG
/63KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス14件(ResNo.10-14 表示)]
■48965 / ResNo.10)  Re[6]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(34回)-(2019/01/06(Sun) 21:53:51)
    a(k)=k
    だから

    j=1の時
    j-1=0は偶数だからa(k)=a(k+1-1)=k-(1-1)/2=kが成り立つから

    j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
    j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+j/2
    が成り立つので

    ある自然数jとは
    最初は
    j=1の事をいうのである自然数というのです

    j≦2k+1
    としたのは

    j=2k+1
    の時
    jが奇数だからa(k+j)=2k+(j+1)/2が成り立ち
    a(k+j)=a(3k+1)=2k+(2k+2)/2=3k+1
    という結論をいうために
    j≦2k+1
    としたのと
    j>2k+1の時は
    a(k+j-1)≧k+jが成り立たないので
    j≦2k+1
    したのです

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48966 / ResNo.11)  Re[7]: 数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(25回)-(2019/01/06(Sun) 23:36:52)
    j=1の時、、、、成り立つからのところがわかりません。教えていただけると幸いです。すみません。何度も。式変形のところがわかりません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48967 / ResNo.12)  Re[8]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(35回)-(2019/01/07(Mon) 05:31:57)
    a(k)=k…(1)
    の時
    全ての自然数j≦2k+1に対して
    j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2…(2)
    j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+(j/2)
    が成り立つことを帰納法で示す

    j=1の時
    j-1=0は偶数だから
    (2)のjに1を代入すると
    1-1が偶数の時a(k+1-1)=k-(1-1)/2
    が成り立つ事を示せばよい
    a(k+1-1)=a(k)
    k-(1-1)/2=k
    だから
    a(k)=k
    が成り立つ事を示せばよい
    (1)から
    a(k)=k
    だから
    j=1に対して
    j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
    j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+(j/2)
    が成り立つ

    ある自然数jに対して
    j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
    j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+j/2
    が成り立つと仮定すると

    j-1が偶数の時
    a(k+j-1)<k+jだからa(k+j)=a(k+j-1)+k+j=2k+(j+1)/2

    j-1が奇数の時
    jが偶数でj≦2k+1だからj≦2kだからk-j/2≧0だから
    a(k+j-1)≧k+jだからa(k+j)=a(k+j-1)-(k+j)=k-(j/2)

    jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2
    jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)
    が成り立つ
    から

    帰納法により
    全ての自然数j≦2k+1に対して
    jが奇数の時a(k+j)=2k+(j+1)/2
    jが偶数の時a(k+j)=k-(j/2)
    が成り立つから

    j=2k+1の時jが奇数だからa(3k+1)=3k+1
    が成り立つから
    a(3k+1)=3k+1

    m=3k+1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48971 / ResNo.13)  Re[1]: 数列について。
□投稿者/ コルム 一般人(26回)-(2019/01/08(Tue) 19:19:45)
    j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2…(2)
    j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+(j/2)
    なぜ、このような等式が立てられるのでしょうか?
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48972 / ResNo.14)  Re[2]: 数列について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(36回)-(2019/01/09(Wed) 20:51:04)
    (1)の結果
    a(2)=2
    a(3)=5
    a(4)=1
    a(5)=6
    a(6)=0
    a(7)=7
    から
    j-1が偶数の時a(k+j-1)=k-(j-1)/2
    j-1が奇数の時a(k+j-1)=2k+j/2
    が推定できる

660×367 => 250×139

m2018123016.jpg
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引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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