 | ☆回答ではなく参考情報です。
kの最大の素因数をqとすると、ある自然数rが存在してk = rqとなります。
r < √k < qとなるので、1 ≦ r ≦ q-1です。
但し、rq ≦ nとなることも必要なので、ガウスの記号を使えばr ≦ [n/q]となります。
n以下の素数の個数は、素数計数関数π(n)個です。
n以下の素数を昇順に並べてq[1], q[2], ・・・, q[π(n)]とすれば、
P(n) = Σ[j=1, π(n)]min(q[j]-1, [n/q[j]])となると思います。
# もし、上記の式が正しいと仮定しても、P(n)の具体的な値の計算には程遠いでしょうが。
以下余談
mを自然数として、F(m) = [cos(π((m-1)!+1)/m)^2]とおくと、
# 上記のπは円周率を表す定数
mが1または素数のときF(m) = 1, mが合成数のときF(m) = 0となります。
π(n) = -1+Σ[m=1, n]F(m)となります。
# 上記のπは素数計数関数を表す
1 ≦ min(q[j]-1, [n/q[j]]) ≦ q[j]-1
⇒ π(n) ≦ Σ[j=1, π(n)]min(q[j]-1, [n/q[j]]) ≦ Σ[m=1, n]{(m-1)F(m)}
⇒ π(n)/n ≦ P(n)/n ≦ {Σ[m=1, n]{(m-1)F(m)}}/n
n→∞のとき、π(n)/n→0は知られているようですが、
{Σ[m=1, n]{(m-1)F(m)}}/nがどうなるのかは分かりませんでした。
# 素数は平方数より密度が高いので、上記は発散する気がします。
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