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■50751 / 親記事)

　単位円と三角形

□投稿者/ 複素数一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 16:26:43)

絶対値が1の相異なる3つの複素数α,β,γが複素数平面上で表す点をそれぞれA,B,Cとします。
点Aから直線BCにおろした垂線の足に対応する複素数をα,β,γで表すにはどうすればいいのでしょうか？

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■50752 / ResNo.1)

　Re[1]: 単位円と三角形

□投稿者/ 極限一般人(9回)-(2021/04/24(Sat) 03:32:10)

複素数は積・商を忘れてやれば、「2次元の実ベクトル」と見ることもできます。

ベクトルを勉強したときに習ったとおり、直線BC上の点は
tβ + (1-t)γ (ただしtは実数)
とかけます。（ちなみに積を忘れると書いたのは「一般の複素数同士の積」の話で、「実数倍（スカラー倍、実数と複素数の積）」まで忘れると2次元実ベクトルですらなくなります）

この問題では「垂直（垂線）」が登場するので、ベクトルの内積を考えたくなります。
準備として複素数xと複素数yの（実2次元ベクトルしての）内積がどうなるかを確認しましょう。

複素数xを実2次元ベクトルと思うとは、「複素数xを実2次元ベクトル(Re(x), Im(x))と思う」と言い換えることもできます。よってベクトルで習った内積の定義をそのまま適用すれば
x * y = Re(x)Re(y) + Im(x)Im(y)
です。ここで「*」は（複素数の積ではなく）内積を表す記号として使っています。

このままでも別にいいのですが、最終形にReやImのような記号が乱発されるよりは、複素共役の記号で書き直すほうがスッキリすると個人的には感じます。上付きバーが書けないのでここでは複素数xの複素共役をBar(x)とかくことにします。つまり
Bar(x) = Re(x) - iIm(x)
Bar(y) = Re(y) - iIm(y)
です。よって内積は
x * y = (xBar(y) + Bar(x)y) / 2
と書き直されます。

ここまで準備すれば、（計算量はともかく）垂線の足を求めるは簡単です。
先に書いたとおり垂線の足をhとすると、これは直線BC上にあるので
h = tβ + (1-t)γ (tは実数)
という形でかけます。tは内積条件
(α - h) * (β - γ) = 0
から決まるという具合です。

先に準備した複素共役系の内積式を使って計算をすすめていきましょう。
(α - h) * (β - γ) = 0
(α - tβ - (1-t)γ) * (β - γ) = 0
(α - tβ - (1-t)γ)Bar(β - γ) + Bar(α - tβ - (1-t)γ)(β - γ) = 0 (分母の2は払っています)
(α - γ)Bar(β - γ) + Bar(α - γ)(β - γ) = 2t(β - γ)Bar(β- γ) (tを含む項を右辺に。)

これでtは求まったので、hをα,β,γ（とその共役）の形でかけます。思ったより項の数が増えそうなのでここまでにします。

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■50744 / 親記事)

　1/xについて

□投稿者/ e^x氏一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 12:45:20)

2021/04/23(Fri) 16:20:03 編集(投稿者)

0<x<1のとき1/xをlogxでべき級数に展開するにはどうすればよいのでしょうか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50748 / ResNo.1)

　Re[1]: 1/xについて

□投稿者/ 極限一般人(8回)-(2021/04/23(Fri) 14:14:43)

y = log(x)とおくと、1/x = exp(-y)ですね。

すると「1/xをlog(x)でべき級数に展開する」は「exp(-y)をyでべき級数に展開する」と言い換えられるので、よく知られている通り

exp(-y) = Σ[n=0→∞] {(-y)^n}/(n!)

です。xを陽に含む形でかけば

1/x = Σ[n=0→∞] {(-log(x))^n}/(n!)

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■50750 / ResNo.2)

　Re[2]: 1/xについて

□投稿者/ e^x氏一般人(2回)-(2021/04/23(Fri) 15:48:20)

なるほどです。
ありがとうございました。

解決済み!

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■50737 / 親記事)

　命題の真偽

□投稿者/ デヴス一般人(1回)-(2021/04/22(Thu) 14:31:57)

実数aに関する以下のような命題は、
真偽はどう考えればよいのでしょうか？
1. a≧0ならばa^0=1である。
2. a≧0ならば1/a＞0である。

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▽[全レス8件(ResNo.4-8 表示)]

■50742 / ResNo.4)

　Re[3]: 命題の真偽

□投稿者/ 極限一般人(5回)-(2021/04/23(Fri) 02:59:26)

人によって意見が分かれると思います。

僕は質問者さんと同じ立場です。

たとえば「a≧0ならば、aはどらえもんではない」（もしくは「a≧0ならば、aはどらえもんである」でもいいですが）に対して、
* どらえもんは（一般数学用語としては）定義されていないからナンセンス（命題ではない）
* 「どらえもんが定義されていない」という事実と「仮定は数学的に定義されている」という事実から命題と考えられ、かつ偽
のどちらのスタンスに立つか、と言い換えられると思います。

そして僕はこう言いかえるとナンセンスさがさらに際立つと思うので先に書いたように質問者さんと同じ立場です。

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■50743 / ResNo.5)

　Re[1]: 命題の真偽

□投稿者/ 黄桃一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 08:55:08)

こういう条件文のときは、まず、変数（この場合はa)がとりうる全体集合が何かを決めておく必要があります。
もし、実数全体であれば、0^0=1　は偽（こう定義しているなら真かもしれませんが）ですし、1/0 は少なくとも数ではないので 1/0>0 は偽です。
高校数学では、定義できない場合は最初から全体集合に含めないとする場合も多いので、最初からaの取りうる値は0以外の実数、とするのであれば、真となります。

気になるのであれば、
「ab>0　かつ a+b>0」ならば「 a>0 かつ b>0」である　
を考えてみてください。a,b が実数（有理数でも整数でもいいですが）であれば真ですが、複素数だと偽、というのはいいのでしょうか？（a=1+i, b=1-iなど）
これもおかしいと思うのであれば、最初からきちんと全体集合は何か、確認するようにしましょう。

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■50745 / ResNo.6)

　Re[2]: 命題の真偽

□投稿者/ sage 一般人(6回)-(2021/04/23(Fri) 12:54:32)

えっ、複素数で考えても例えば
「a>0かつb>0」ならば「ab>0」
のような命題なら真では？
そして今回の2.の対偶
「1/a≦0ならばa<0である」
は上記と同様のケースとなり、真でしょう。
対偶が真なので「a≧0ならば1/a>0である」も真かと。

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■50746 / ResNo.7)

　Re[3]: 命題の真偽

□投稿者/ 極限一般人(6回)-(2021/04/23(Fri) 13:59:14)

sagaさん、

黄桃さんが言っているのは
> 「ab>0　かつ a+b>0」ならば「 a>0 かつ b>0」である
であり、これはa,bが実数の範囲なのか、複素数の範囲なのかで真偽が変わる命題ですよ。

こういう例があるので本来使う文字の定義（数としての範囲）は先にきちんと定めておく必要があるという話でしょう。

また対偶を取ったところで、aの範囲をはっきりさせない以上「1/aという表記自体意味をもたず、命題としてナンセンス」という解釈もありえるので本質は何も変わっていないです。

さらに、2. の対偶を考えるさいに 1/a>0の否定を「1/a≦0」だと考えられているようですがこれは本当に正しいでしょうか？
「1/a≦0 もしくは 1/a は定義されない」という可能性（解釈）はありえないですか？

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■50747 / ResNo.8)

　Re[4]: 命題の真偽

□投稿者/ 極限一般人(7回)-(2021/04/23(Fri) 14:07:13)

1/a>0の否定に関する補足です。

1/a>0とは「1/aが数として定義され、かつ0と大小関係をもち、その結果が1/a>0」ということです。
よってこの否定は「1/aが数として定義されない、もしくは定義されるが0と大小関係は持たない、もしくは定義されて0との大小関係を持ちその結果が1/a≦0」とするのが正しいと思います。

もちろんaが非零実数であることが前提としてあるのなら「1/a>0」の否定は「1/a≦0」と簡潔に書くことはできます。

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■50719 / 親記事)

　期待値

□投稿者/ ゴリラ一般人(1回)-(2021/04/20(Tue) 14:32:17)

点Pは時刻0で正四面体のある頂点に位置し、1秒ごとに位置している頂点にとどまるか、
位置している頂点から他の3頂点のいずれかに動くかを、等しい確率で選択し実行する。
このとき、時刻0から時刻nまでの間に、点Pが現れた異なる頂点の数の期待値を求めよ。
ただしnは1以上の整数とする。

この問題なのですが、期待値E[n]の漸化式を立てて解くことは出来ますか？
E[n+1]をE[n]で表したいです。n+1秒を考えるときPの最初の動きで場合分けして
時刻1にPが位置している頂点にとどまればその後はE[n]/4ですよね。
時刻1にPが確率3/4で他の頂点にうつったときをE[n]で表せますか？

よろしくお願いします。

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▽[全レス13件(ResNo.9-13 表示)]

■50728 / ResNo.9)

　Re[9]: 期待値

□投稿者/ らすかる一般人(37回)-(2021/04/21(Wed) 00:26:58)

そうですね。
どちらかというと、「私には難しい」と考えているのではなく、
「この手のものは今までの経験から考えて「不可能」である可能性が高い」
（つまりどんな数学者が考えてもできないと思われる）と考えています。
・bはE[n]と直接関係ありそうな値ではない
・E[n]とE[n-1]からも導ける気がしない
・E[1]～E[n]を全部使えば導ける可能性はあるが、
その式を作るのも困難な上に、作った漸化式も解ける気がしない
・よって、普通に考えて無理。

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■50729 / ResNo.10)

　Re[10]: 期待値

□投稿者/ ゴリラ一般人(7回)-(2021/04/21(Wed) 00:35:13)

分かりました。有難うございます。

他の解法に興味が移ってきました。
こちらについても教えてください。

時刻nまでにk(k=1,2,3,4)個の頂点に位置した確率をそれぞれp_1,p_2,p_3,p_4とします。
求めたい期待値は
p_1+2*p_2+3*p_3+4*p_4
=
p_1 +
p_2 + p_2 +
p_3 + p_3 + p_3 + 
p_4 + p_4 + p_4 + p_4

なので、4=4*(p_1+p_2+p_3+p_4)から

      p_1 + p_1 + p_1
          + p_2 + p_2
                + p_3

を引けばいいわけですよね？
これって簡単に計算できますか？

横ではなく縦に足すと
p_1 + p_2 + p_3 = 3頂点 "以下" に位置した確率
p_1 + p_2       = 2頂点 "以下" に位置した確率
などとなって、うまく計算できるような気もするのですが…わかりませんでした。
最終的な答えとすり合わせると、この値が大変簡明な姿になることは分かっているのですが、
どうすればそうなるのか思いつかなくてもやもやです。

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■50730 / ResNo.11)

　Re[11]: 期待値

□投稿者/ らすかる一般人(38回)-(2021/04/21(Wed) 02:41:40)

時刻nまでに1頂点(以下)に位置した確率は、
時刻nまで動かない確率なので(1/4)^nです。
時刻nまでに2頂点以下に位置した確率は、
正四面体OABC（時刻0でPがいる頂点がO）において
AにもBにも行かない確率は(1/2)^n
BにもCにも行かない確率は(1/2)^n
CにもAにも行かない確率は(1/2)^n
この3つを足すと「Oから移動しない確率」が3回足されて
重複してしまいますので、その分を引けば
2頂点以下に位置した確率は3・(1/2)^n-2・(1/4)^n
と計算されます。
時刻nまでに3頂点以下に位置した確率は、
Aに行かない確率は(3/4)^n
Bに行かない確率は(3/4)^n
Cに行かない確率は(3/4)^n
これを足すと「2頂点以下」3通りがそれぞれ2重複しますのでそれを引いて
引きすぎた1頂点の確率を足すことにより
3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n
と計算されます。
よって「1頂点」+「2頂点以下」+「3頂点以下」
={(1/4)^n}+{3・(1/2)^n-2・(1/4)^n}+{3・(3/4)^n-3・(1/2)^n+(1/4)^n}
=3・(3/4)^n
となります。

しかし上記の計算は重複分の考慮がやや難しい（混乱しやすい）ので、
以下のように（"以下"にせずに）具体的に考えた方が確実のような気がします。
時刻nまでに
Oのみ (1/4)^n
OとA (1/2)^n-(1/4)^n
OとB、OとCも同じ
OとAとB (3/4)^n-2{(1/2)^n-(1/4)^n}-(1/4)^n=(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n
OとBとC、OとCとAも同じ
よって期待値は
4-3・(1/4)^n-2・3{(1/2)^n-(1/4)^n}-1・3{(3/4)^n-2(1/2)^n+(1/4)^n}
=4-3(3/4)^n

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■50731 / ResNo.12)

　Re[12]: 期待値

□投稿者/ name 一般人(1回)-(2021/04/21(Wed) 14:13:59)

$2$x^2$
あ

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■50736 / ResNo.13)

　Re[12]: 期待値

□投稿者/ ゴリラ一般人(8回)-(2021/04/21(Wed) 20:19:11)

3^(n+1)/4^nがすっきりしているので期待してしまいました。
ありがとうございました。

解決済み!

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■50732 / 親記事)

　因数分解

□投稿者/ megumi 一般人(3回)-(2021/04/21(Wed) 16:53:58)

行列式
(L-3　-2　　1)
(-2　 L-3　 1)
(-2　　1　 L-3)
を1行で展開すると

(L-3)( (L-3)^2 - 1 ) + 2(-2(L-3)) + 2) + (-2 + 2(L-3) )
= (L-3)(L-3)^2 - (L-3) - 4(L-3) + 4 - 2 + 2(L-3)
= (L-3)( L^2-6L+9 - 1 - 4 + 2 ) + 2
= (L-3)( L^2-6L+6 ) + 2
= L^3-6L^2+6L - 3L^2+18L-18 + 2
= L^3-9L^2+24L-16
　これを因数分解する。
　　　　L^2-8L+16
　　　　─────────
　(L-1)| L^3-9L^2+24L-16
　　　　 L^3-L^2
　　　　 ----------------
　　　　　　-8L^2+24L-16
　　　　　　-8L^2+8L
　　　　 ----------------
　　　　　　　　　16L-16
L^3-9L^2+24L-16 = (L-1)(L^2-8L+16) = (L-1)(L-4)^2

因数分解でもっと気の利いた解き方はありませんか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50734 / ResNo.1)

　Re[1]: 因数分解

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2021/04/21(Wed) 18:52:36)

2021/04/21(Wed) 19:06:16 編集(投稿者)

以下の操作を行列式に行います。
(1)
1行目から2行目を引く
(2)
1行目からL-1を行列式の外に括り出す。
(3)
2行目から3行目を引く。
(4)
2行目からL-4を行列式の外に括り出す。
(5)
1行目を2行目、3行目に足す。
(6)
2列目で余因子展開する。

注)
飽くまで1例です。
コツは行、列の足し引きによって
(i)変数部をできるだけ括り出す。
(ii)0を2行、又は2列並ぶようにする
です。
詳しくは線形代数学の参考書で
行列式の例題の模範解答をどうぞ。

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■50735 / ResNo.2)

　Re[2]: 因数分解

□投稿者/ megumi 一般人(4回)-(2021/04/21(Wed) 20:06:40)

ああ、行列のほうを操作するのですね。ありがとうございました。

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