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■47977 / 親記事)

　数と式

□投稿者/ たまごけ一般人(1回)-(2017/05/19(Fri) 18:34:56)

相異なる3つの実数a,b,cが
(a^2-bc)/(a-abc)=(b^2-ca)/(b-abc)
を満たしているならば、
(c^2-ab)/(c-abc)
も上の等式の値に等しいことを示せ。

教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47978 / ResNo.1)

　Re[1]: 数と式

□投稿者/ らすかる一般人(7回)-(2017/05/19(Fri) 21:00:33)

(a^2-bc)/(a-abc)=(b^2-ca)/(b-abc)
(a^2-bc)(b-abc)-(b^2-ca)(a-abc)=0
a^2b-a^3bc-b^2c+ab^2c^2-ab^2+ab^3c+a^2c-a^2bc^2=0
(b-a){abc(a+b+c)-ab-bc-ca}=0
abc(a+b+c)-ab-bc-ca=0　（∵b-a≠0）
(c-b){abc(a+b+c)-ab-bc-ca}=0
b^2c-ab^3c-ac^2+a^2bc^2-bc^2+abc^3+ab^2-a^2b^2c=0
(b^2-ca)(c-abc)-(c^2-ab)(b-abc)=0
c-abc≠0の場合
(b^2-ca)/(b-abc)=(c^2-ab)/(c-abc)
となり成り立つ。
c-abc=0の場合は
(c^2-ab)/(c-abc)
が定義されないので、「上の等式の値に等しい」とは言えない。
従って、
「(c^2-ab)/(c-abc)が定義されるならば、上の等式の値に等しい」
と言うのが正しい。

実際、a=2,b=1/2,c=1のとき
(a^2-bc)/(a-abc)=(b^2-ca)/(b-abc) ですが、
c^2-ab=c-abc=0 ですので (c^2-ab)/(c-abc) は定義されません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47979 / ResNo.2)

　Re[2]: 数と式

□投稿者/ たまごけ一般人(2回)-(2017/05/19(Fri) 22:41:17)

途中の計算が難しかったですが、詳しく有難うございました！

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■47970 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ ぽむぽむ一般人(1回)-(2017/05/14(Sun) 20:56:33)

0<x<π/2のとき1/sin(x)-1/x<1-2/πであることの証明をお願いします

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47973 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2017/05/14(Sun) 23:50:07)

f(x) = 1/sin(x)-1/x とおきます。

f'(x) = -cos(x)/(sin(x)^2)+1/(x^2) = {(sin(x)^2)-(x^2)cos(x)}/{(x^2)(sin(x)^2)}
0 < x < π/2の範囲で、f'(x)の分母は正ですから、分子の符号の変化を調べます。

g(x) = sin(x)^2-(x^2)cos(x)とおきます。

g'(x) = 2sin(x)cos(x)-2x*cos(x)+(x^2)sin(x) = 2cos(x)(sin(x)-x)+(x^2)sin(x)

g''(x) = 2(cos(x)^2)-2(sin(x)^2)-2cos(x)+2x*sin(x)+2x*cos(x)+(x^2)cos(x)
= 2(cos(x)+sin(x))(cos(x)-sin(x)+x)+(x^2)cos(x)

0 < x < π/2で、0 < cos(x) かつ 0 < sin(x) < x なので、g''(x) > 0 です。
よって、g'(x)は増加で、g'(0) = 0 なので、0 < x < π/2 で g'(x) > 0 といえます。
よって、g(x)も増加で、g(0) = 0 なので、0 < x < π/2 で g(x) > 0 といえます。

以上から、f'(x) > 0 であり、f(x)は増加で、
0 < x < π/2の範囲のf(x)の値はf(π/2) = 1-2/π未満であるので、
題意の不等式が成立するといえます。

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■47974 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ ぽむぽむ一般人(2回)-(2017/05/15(Mon) 22:04:04)

有り難うございました！

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■47953 / 親記事)

　放物線と円

□投稿者/ 昼顔一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 20:42:26)

aを正の実数とし、xy平面上で
y≧x^2 かつ (x-a)^2+y^2≦a^2
をみたす領域の面積をS(a)とする。
lim[a→∞]S(a)/aを求めよ。

教えて下さい！！

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47957 / ResNo.1)

　Re[1]: 放物線と円

□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2017/05/11(Thu) 12:34:28)

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

(x-a)^2+y^2 ≦ a^2 ということは、点(x, y)は中心(a, 0)で半径aの円の周及び内部です。

(x-a)^2+y^2 ≦ a^2
⇒ y^2 ≦ 2ax-x^2
⇒ -√(2ax-x^2) ≦ y ≦ √(2ax-x^2)

もう一つの条件の y ≧ x^2 がありますが、-√(2ax-x^2) ≦ 0 ≦ x^2 なので、
題意の領域は放物線 y = x^2 と円 (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 で囲まれたものとなります。

y = x^2 と y^2 = 2ax-x^2 の交点は、x = 0 と 0 < x < 2aの範囲となり、
x^4 = 2ax-x^2 ⇒ x(x^3+x-2a) = 0 から、0 < x < 2aの範囲の交点のx座標をtとすると、
t は x^3+x-2a = 0 の根です。

カルダーノの公式を使えば、x^3+x-2a = 0 の実根は、
t = {a+√((1/3)^3+a^2)}^(1/3)+{a-√((1/3)^3+a^2)}^(1/3) です。

S(a) = ∫[0, t]{(√(2ax-x^2))-x^2}dx
= ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx-[(x^3)/3]_[0, t]
= ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(t^3)/3
= ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(2a-t)/3

x-a = a*sin(u)と置換すると、uの積分範囲は[-π/2, arcsin((t-a)/a)]で、dx/du = a*cos(u)です。
計算が煩雑になるので、T = arcsin((t-a)/a)とおきます。-a < t-a < aなので、-π/2 < T < π/2です。
また、-π/2 ≦ u ≦ T < π/2の範囲で、cos(u) ≧ 0です。
よって、cos(T) = √{1-sin(T)^2} = √{1-((t-a)/a)^2} = (1/a)√(2at-t^2) = (1/a)√(t(2a-t)) = (1/a)√(t(t^3))) = (1/a)t^2です。

∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = ∫[-π/2, T]{a*cos(u)}(a*cos(u))du
= (a^2)∫[-π/2, T]{cos(u)^2}du
= (a^2)∫[-π/2, T]{(1+cos(2u))/2}du
= (a^2)(1/2)[u+sin(2u)/2]_[-π/2, T]
= (a^2)(1/2){T+(1/2)sin(2T)-(-π/2)-(1/2)sin(2*(-π/2))}
= (a^2)(1/2){T+sin(T)cos(T)+π/2}
= (a^2)(1/2){T+((t-a)/a)((1/a)t^2)+π/2}
= (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(t^3-a(t^2))+π/2}
= (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(2a-t-a(t^2))+π/2}

ここで、sin(T+π/2) = cos(T) = (1/a)t^2 ですから、T+π/2 = arccos((1/a)t^2) です。
よって、∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))

以上から、私が計算間違いしていなければ、
S(a) = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))-(2a-t)/3
= (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/6)(2a-t-3a(t^2))
となり、
これに、t = {a+√(1/27+a^2)}^(1/3)+{a-√(1/27+a^2)}^(1/3) を代入して、
lim[a→∞]{S(a)/a} を計算できるかもしれませんが・・・心が折れました。

# もっと簡単な方法があるに違いない!

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■47958 / ResNo.2)

　Re[1]: 放物線と円

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2017/05/11(Thu) 12:58:15)

2017/05/11(Thu) 12:59:22 編集(投稿者)

y=x^2と(x-a)^2+y^2≦a^2の交点を(t,t^2)としてaを求めると
a=(t^3+t)/2
条件を満たす領域をy=txで二つに分けて考えると
y=txと放物線で挟まれる方の面積は
∫[0～t]tx-x^2 dx=t^3/6 なので
lim[t→∞](t^3/6)/a=1/3
y=txと円で挟まれる方は
扇形の中心角をθとするとt=(cosθ+1)/(sinθ)となり
(扇形)/a=aθ/2=(t^3+t)/2・θ/2=((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ/4
(二等辺三角形)/a=t^2/2=(cosθ+1)^2/(2(sinθ)^2)
なので
lim[a→∞]{(扇形)-(二等辺三角形)}/a
=lim[θ→+0]{((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ-2(cosθ+1)^2/(sinθ)^2}/4
=lim[θ→+0](cosθ+1)^2(θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)
=1/3
(∵lim[θ→+0](θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)=lim[θ→+0](1-cosθ)/(6cosθ(sinθ)^2)
　=lim[θ→+0]1/(-6(sinθ)^2+12(cosθ)^2)=1/12)
従って
lim[a→∞]S(a)/a=1/3+1/3=2/3

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■47969 / ResNo.3)

　Re[2]: 放物線と円

□投稿者/ 昼顔一般人(2回)-(2017/05/14(Sun) 20:12:06)

お二人ともありがとうございます！

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■47951 / 親記事)

　四角形

□投稿者/ メルシー・マダム一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 18:34:58)

2017/05/10(Wed) 20:06:22 編集(投稿者)

a,b,c,dをa＞0,b＞0,c＜0,d＜0をみたす実数とし、
座標平面上にA(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)をとる。
線分ABと線分CDの垂直二等分線の交点が存在して、
しかもそれが四角形ABCDの内部に存在するための、
a,b,c,dに関する(簡単な)必要十分条件って何ですか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47959 / ResNo.1)

　Re[1]: 四角形

□投稿者/ メルシー・マダム一般人(2回)-(2017/05/11(Thu) 20:20:23)

もしかして簡単には表せないのでしょうか？

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■47962 / ResNo.2)

　Re[1]: 四角形

□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2017/05/12(Fri) 00:12:01)

ABの垂直二等分線は (x,y)=(a/2-bs,b/2-as)
（ただしs=0のときABの中点、s＞0で四角形の内部方向）
CDの垂直二等分線は (x,y)=(c/2-dt,d/2-ct)
（ただしt=0のときCDの中点、t＞0で四角形の内部方向）
2直線からtを消去すると (bc-ad)s=(ac-bd-c^2+d^2)/2
2直線からsを消去すると (ad-bc)t=(ac-bd-a^2+b^2)/2
ad-bc=0のとき2直線は平行（または一致）で
交点を持つ（すなわち2直線が一致する）のは
ac-bd-c^2+d^2=0 かつ ac-bd-a^2+b^2=0
すなわちa=bかつc=dのとき
ad-bc≠0のとき
s=(ac-bd-c^2+d^2)/{2(bc-ad)}
t=(ac-bd-a^2+b^2)/{2(ad-bc)}
このs,tが正であれば交点が四角形の内部にある。
（s,tが正であれば交点が直線ABと直線CDの間にあり、
　またそのとき条件から必ず直線ADと直線BCの間になる(証明略)。）
よって求める必要十分条件は
「a=bかつc=d」または
「ad-bc＞0かつa^2-b^2＜ac-bd＜c^2-d^2」または
「ad-bc＜0かつc^2-d^2＜ac-bd＜a^2-b^2」

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■47966 / ResNo.3)

　Re[1]: 四角形

□投稿者/ メルシー・マダム一般人(3回)-(2017/05/12(Fri) 17:56:53)

有難うございます。
この結果、使わせていただきます。

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■47963 / 親記事)

　平方数の和(mod p)、個数

□投稿者/ 大倉一般人(1回)-(2017/05/12(Fri) 16:49:52)

pを奇素数として、Fp:={1,2,3,...,p}とします。
#{(a,b,c,d)∈(Fp)^4|a^2+b^2+c^2+d^2≡1 (mod p)}
はいくらになるのでしょうか？

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