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■47676 / 親記事) 　素数
□投稿者/ 教えてください 一般人(1回)-(2016/06/02(Thu) 18:51:56)
    pが5以上の素数であれば、
    a^2+ab+b^2≡-1 (mod p)
    となる整数a,bが存在する

    これの証明を教えてください！
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47677 / ResNo.1) 　Re[1]: 素数
□投稿者/ IT 一般人(2回)-(2016/06/02(Thu) 22:07:36)
    平方完成して
    a^2+ab+b^2≡-1 (mod p)
    ⇔4a^2+4ab+4b^2≡-4　(mod p)
    ⇔(2a+b)^2-b^2+4b^2≡-4　(mod p)
    ⇔(2a+b)^2≡-3b^2-4 (mod p) 　なので

    -3b^2-4がpを法とする平方剰余になるような整数bが存在することが示せればいいと思いますが出来てません。
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■47674 / 親記事) 　ご教授ください
□投稿者/ とある大学生 一般人(1回)-(2016/06/01(Wed) 23:12:48)
    べき級数展開の問題です。

    頭皮級数の和の公式を使って、
    x/(1+x^2) をxのべき級数で表わせ。

    よろしくお願いします。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47675 / ResNo.1) 　Re[1]: ご教授ください
□投稿者/ らすかる 一般人(18回)-(2016/06/01(Wed) 23:24:19)
    |x|＜1として
    Σ[k=0〜∞](-x^2)^k=1/(1+x^2) なので
    x/(1+x^2)=xΣ[k=0〜∞](-x^2)^k
    (=x-x^3+x^5-x^7+…)

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■47670 / 親記事) 　オイラーのφ関数
□投稿者/ 小娘 一般人(1回)-(2016/05/30(Mon) 12:37:42)
    本を読んでいて疑問に思ったので教えて下さい

    自然数nに対し、n以下の自然数でnと互いに素であるものの個数をφ(n)とします
    kを与えられた自然数とします
    φ(n)=kをみたす自然数nの個数は有限である
    ってのは簡単に分かることでしょうか？
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47671 / ResNo.1) 　Re[1]: オイラーのφ関数
□投稿者/ らすかる 一般人(17回)-(2016/05/30(Mon) 19:26:06)
    ちょっと雑ですが
    nの素因数のうち2以外の個数はlog[3](n/2)個以下ですから、
    n以下でnと互いに素である数は少なくとも
    n×(1/2)×(2/3)^log[3](n/2)=(n/2)^log[3]2個以上あります。
    従ってφ(n)=kをみたす自然数nの個数は有限個です。

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■47672 / ResNo.2) 　Re[1]: オイラーのφ関数
□投稿者/ IT 一般人(1回)-(2016/06/01(Wed) 19:50:59)
    （別解）
    φ(n)=k とする。
    nがk+1より大きい素因数pを持つとすると、φ(n)≧p-1＞kとなるので、nの素因数はk+1以下。
    k+1以下の素数の個数をmとする。
    nを素因数分解してn=(p^a)(q^b)...(r^c) とする
    このときφ(n)=n(1-1/p)(1-1/q)...(1-1/r)=k
    よってn(1/2)^m≦k
    よってn≦k(2^m)　したがってnは有限
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■47673 / ResNo.3) 　Re[1]: オイラーのφ関数
□投稿者/ 小娘 一般人(2回)-(2016/06/01(Wed) 22:50:42)
    お二人とも有り難うございます
    よく分かりました
解決済み!
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■47665 / 親記事) 　内接円と外接円
□投稿者/ みゃーまん 一般人(1回)-(2016/05/27(Fri) 12:25:42)
    三辺の長さがみな有理数である三角形においては、
    内接円と外接円の半径の比は有理数であることの
    証明を教えて下さいませ。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47667 / ResNo.1) 　Re[1]: 内接円と外接円
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2016/05/27(Fri) 14:22:32)
    三辺をa,b,c、それぞれの辺に対応する角をA,B,C、
    内接円の半径をr、外接円の半径をR、面積をSとします。
    S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}　（ただしs=(a+b+c)/2）から
    S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)=(有理数)
    a/sinA=2R と S=bcsinA/2 から R=abc/(4S)
    また r=2S/(a+b+c) なので r/R=8S^2/{abc(a+b+c)}=(有理数)

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■47669 / ResNo.2) 　Re[2]: 内接円と外接円
□投稿者/ みゃーまん 一般人(2回)-(2016/05/27(Fri) 16:03:21)
    有り難うございます。
    Rの浮ｵ方が大変参考になりました。
解決済み!
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■47660 / 親記事) 　a_1,a_2,…,a_nが零でない互いに素な整数とする時,
□投稿者/ Keiko 一般人(1回)-(2016/05/15(Sun) 12:05:58)
    a_1,a_2,…,a_nが零でない互いに素な整数とする時,
    Σ_{k=1..n}r_ka_k=1なるr_kが存在する。
    この時,r_1をa_1,a_2,…,a_nで表せ。

    という問題です。どのように表せれるのでしょうか?
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