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■47110 / 親記事)  2次曲線
□投稿者/ zenkin 一般人(2回)-(2015/04/15(Wed) 16:16:19)
    (x + 7*I)/(1 + y*I)=4-3*I を 満たす 実数 x,y は
    (1) 或る2次曲線上にある ことを示せ。
    (2)その2次曲線の交点(x,y)を求める手順を記し 求めよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47103 / 親記事)  円錐
□投稿者/ 逃げる 一般人(1回)-(2015/04/12(Sun) 18:55:17)
    円錐の底面のある1点から出発して、円錐の側面を最短の距離で一周して
    出発した地点に戻ってくるとき、この経路は同一平面上にありますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47104 / ResNo.1)  Re[1]: 円錐
□投稿者/ らすかる 大御所(309回)-(2015/04/12(Sun) 19:50:07)
    ありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47106 / ResNo.2)  Re[1]: 円錐
□投稿者/ 今日は大丈夫! 一般人(1回)-(2015/04/13(Mon) 09:28:36)
    円錐が極めて扁平な場合の一周の定義はどうなるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47107 / ResNo.3)  Re[2]: 円錐
□投稿者/ らすかる 大御所(310回)-(2015/04/13(Mon) 11:03:22)
    一般常識の「一周」にあてはまる定義を考えると(勝手に考えるだけですが)
    始点を含む母線以外のすべての母線を1回通過する(ただし円錐の頂点は母線に含まない)
    という定義が妥当な気がしますので、その意味では扁平な場合は
    「最短の距離で一周して出発した地点に戻ってくるとき」という
    条件を満たさない(その条件では最小値が存在しない)ので無関係となり、
    (母線の長さ)<(底面の直径)である円錐だけ考えれば良いような気がします。

    というより、扁平な場合の定義が何であっても、
    少なくとも同一平面上にない例が一つでもあるというだけで
    「ありません」とは答えられると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47093 / 親記事)  整数解
□投稿者/ zenkin 一般人(1回)-(2015/04/11(Sat) 01:22:50)
    近年の入試で頻出している「典型的な整数問題問題」が あるそうですが

    -15 - 2 a + a^2 - 22 b - 2 a b - b^2=0 の 整数解 を お願いします。

    (また こんなのを 解説されている 書籍があれば 教えて下さい)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47102 / ResNo.1)  Re[1]: 整数解
□投稿者/ WIZ 付き人(51回)-(2015/04/12(Sun) 13:20:00)
    2次の不定方程式の整数解だからフェルマーの方程式(ペルの方程式)に帰着します。
    特殊な場合は因数分解できて1次の不定方程式に帰着できます。

    -15-2a+(a^2)-22b-2ab-(b^2) = 0
    ⇒ {(a^2)-2ab+(b^2)}-15-2a-22b-2(b^2) = 0
    ⇒ {(a-b)^2}-2(a-b)-24b-2(b^2) = 15
    ⇒ {(a-b)^2}-2(a-b)+1-24b-2(b^2) = 16
    ⇒ {(a-b-1)^2}-2{36+12b+(b^2)} = 16-2*36
    ⇒ {(a-b-1)^2}-2{(b+6)^2} = -56

    2{(b+6)^2}と56は偶数ですから、(a-b-1)^2も偶数、つまりa-b-1は偶数であることが必要です。
    よって、(a-b-1)^2と56は4の倍数ですから、(b+6)^2も偶数、つまりb+6は偶数であることが必要です。

    u, vを整数として、a-b-1 = 2u, b+6 = 2vとおきます。
    {(2u)^2}-2{(2v)^2} = -56
    ⇒ (u^2)-2(v^2) = -14

    上記からuも偶数ですので、wを整数としてu = 2wとおくと、
    {(2w)^2}-2(v^2) = -14
    ⇒ 2(w^2)-(v^2) = -7

    最近見た式だなと思ったら、本掲示板のスレ47073「双曲線」の私の回答に出て来た途中式とほぼ同じですね。
    なので、解法はレス47074を参考にしてください。

    注意点としては、レス47074は「2(w^2)-(v^2) = 7」の一般解を求めたのですが、
    ここでは右辺の符号が違いますので、w, vの符号を度外視して、nを奇数である整数とすれば、
    w(√2)-v = {2(√2)-1}{(1-√2)^n}
    w(√2)+v = {2(√2)+1}{(1+√2)^n}
    と表せるということですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47094 / 親記事)  x^n+y^n+z^n
□投稿者/ a[n] 一般人(1回)-(2015/04/11(Sat) 15:16:48)
    x,y,zを複素数とし、数列{a[n]}(n=1,2,3,…)を
    a[n]=x^n+y^n+z^n
    と定めます。
    このとき以下は成り立ちますか?
    相異なる3つの自然数p,q,rに対してa[p],a[q],a[r]が整数ならば、
    任意の自然数nに対してa[n]は整数である。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■47097 / ResNo.2)  Re[2]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ a[n] 一般人(2回)-(2015/04/11(Sat) 19:42:58)
    なるほど…

    gcd(p,q,r)=1なら成り立ちますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47098 / ResNo.3)  Re[3]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ らすかる 大御所(307回)-(2015/04/11(Sat) 20:16:04)
    成り立ちません。
    x=1+i, y=-1-i, z=0のとき
    a[1],a[3],a[4],a[5],a[7],a[8],…は整数ですが
    a[2],a[6],a[10],…は整数ではありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47099 / ResNo.4)  Re[4]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ a[n] 一般人(3回)-(2015/04/11(Sat) 21:03:02)
    なるほど…

    相異なる3つの自然数p,q,rに対してa[p],a[q],a[r]が整数ならば、
    任意の自然数nに対してa[n]は整数である。

    という命題が真となるような{p,q,r}≠{1,2,3}の例がありましたらおしえていただけないでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47100 / ResNo.5)  Re[5]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ らすかる 大御所(308回)-(2015/04/11(Sat) 21:36:04)
    それは自分で証明できなければいけないわけですから難しいですね。
    「{p,q,r}≠{1,2,3}」としているということは、もしかして元の問題が
    「a[1],a[2],a[3]が整数ならば任意のnに対してa[n]が整数」を証明する問題で
    それを一般化してみたということでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47101 / ResNo.6)  Re[6]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ a[n] 一般人(4回)-(2015/04/11(Sat) 21:40:40)
    そうです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47081 / 親記事)  距離が整数
□投稿者/ フレッチャー 一般人(1回)-(2015/04/09(Thu) 22:09:08)
    座標平面上に
    O(0,0)
    A(√2,0)
    B(0,√2)
    があるとき、線分OP,AP,BPの長さが全て整数となるような点Pを全て求めたいのですが、よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47087 / ResNo.1)  Re[1]: 距離が整数
□投稿者/ らすかる 大御所(304回)-(2015/04/10(Fri) 08:29:27)
    条件から|OP-AP|≦1、|OP-BP|≦1です。

    OP-AP=OP-BP=1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=(k-1)^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k-1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=(1+2k)/(2√2)
    (1)-(3)から y=(1+2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=-1/4となるので解なし。

    OP-AP=OP-BP=-1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=(k+1)^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=(1-2k)/(2√2)
    (1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=1/4となるので解なし。

    OP-AP=1、OP-BP=-1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=(k-1)^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=(1+2k)/(2√2)
    (1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入すると成り立たないので解なし。

    OP-AP=-1、OP-BP=1の場合も同様。

    OP-AP=OP-BP=0の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=k^2 … (3)
    (1)-(2)から x=1/√2
    (1)-(3)から y=1/√2
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=1となりこれは適解。
    従って(1/√2,1/√2)は条件を満たす点。

    OP-AP=0、OP-BP=1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k-1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=1/√2
    (1)-(3)から y=(1+2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=(1±√6)/2となるので解なし。

    OP-AP=1、OP-BP=0の場合も同様。

    OP-AP=0、OP-BP=-1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=1/√2
    (1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=(-1±√6)/2となるので解なし。

    OP-AP=-1、OP-AP=0の場合も同様。

    以上により、条件を満たす点は(1/√2,1/√2)のみ。
    (このときOP=AP=BP=1)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47090 / ResNo.2)  Re[2]: 距離が整数
□投稿者/ フレッチャー 一般人(2回)-(2015/04/10(Fri) 13:14:12)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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