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□投稿者/ 喰レポ 一般人(1回)-(2018/10/07(Sun) 13:25:11)
 | 教えて下さい。
相異なる数x,y,zが (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x) を満たしているとき、x,y,zのうち少なく とも一つは虚数であることを示せ。
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48858 / ResNo.1) |
Re[1]: 等式
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□投稿者/ らすかる 一般人(28回)-(2018/10/07(Sun) 14:16:17)
 | (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)=kとおく。 もしk=0とすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり 分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので k≠0,x≠1/2,y≠1/2,z≠1/2 k(x-y)=2x-1から y=((k-2)x+1)/k … (1) k(y-z)=2y-1から z=((k-2)y+1)/k … (2) k(z-x)=2z-1から x=((k-2)z+1)/k … (3) (1)を(2)に代入して整理すると z=(((k-2)^2)x+2k-2)/k^2 … (4) (4)を(3)に代入して整理すると (3k^2-6k+4)(2x-1)=0 x≠1/2なので 3k^2-6k+4=0 これを解いてk=1±i/√3 x,y,zが全て実数のときkは実数となるので、 k=1±i/√3であることからx,y,zのうち少なくとも一つは虚数。
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■48859 / ResNo.2) |
Re[1]: 等式
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□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2018/10/07(Sun) 14:36:40)
 | 別解 もし式の値が0だとすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり 分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので矛盾。 よって式の値は0ではないので全項を逆数にしても等号は成り立つ。 (x-y)/(2x-1)=(y-z)/(2y-1)=(z-x)/(2z-1)から 2(x-y)/(2x-1)=2(y-z)/(2y-1)=2(z-x)/(2z-1) 1-(2y-1)/(2x-1)=1-(2z-1)/(2y-1)=1-(2x-1)/(2z-1) (2y-1)/(2x-1)=(2z-1)/(2y-1)=(2x-1)/(2z-1) この式の値をkとするとk^3=1だが もしk=1とするとx=y=zとなり矛盾するので kは1の虚数三乗根。 従ってx,y,zのうち少なくとも二つは虚数とわかる。
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■48860 / ResNo.3) |
Re[2]: 等式
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□投稿者/ 喰レポ 一般人(2回)-(2018/10/07(Sun) 17:33:47)
 | 大変エレガントな別解に感動いたしました。 ありがとうございました。
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