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■47195 / 親記事)  級数
□投稿者/ 解析勉強中 一般人(1回)-(2015/05/12(Tue) 10:49:49)
    {a_n}(n=1,2,3,...)は実数からなる数列で、次の条件をみたしています。
    条件 : Σ[n=1,∞](b_n)^2が収束するような任意の実数列{b_n}(n=1,2,3,...)に対してΣ[n=1,∞](a_n)*(b_n)が収束する。
    このときΣ[n=1,∞](a_n)^2が収束することの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47199 / ResNo.1)  Re[1]: 級数
□投稿者/ ひよこ 一般人(7回)-(2015/05/13(Wed) 17:12:35)
    関数解析使って良いなら、一様有界性定理を使って示せると思います。

    上の有界線形汎関数を、

    で定める。ここで、の元です。

    さて、仮定を用いると、が示せます。

    あとは、一様有界性定理を使うと、が有界線形汎関数となっていることがわかります。

    一方、の作り方から、

    となっているので、の有界性から結論が得られます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47201 / ResNo.2)  Re[2]: 級数
□投稿者/ 解析勉強中 一般人(2回)-(2015/05/14(Thu) 12:57:01)
    理解しました。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47200 / 親記事)  よくある問
□投稿者/ サクランボ 一般人(1回)-(2015/05/13(Wed) 22:57:47)
    1/(1+7^(1/2) + 5^(1/3) + 3^(1/5)) の分母の有理化を お願いします。

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■47197 / 親記事)  整数解
□投稿者/ Z 一般人(13回)-(2015/05/12(Tue) 17:06:19)
    x^6-14 x^5-7 x^4 y+101 x^4-2 x^3 y^2+68 x^3 y-426 x^3+12 x^2 y^2-240 x^2 y+1012 x^2-2 x y^3-6 x y^2+314 x y-1186 x+y^4-8 y^3+34 y^2-208 y+581=0

    の 格子点をおねがいします。
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■47175 / 親記事)  平方数
□投稿者/ 平方数とは 一般人(1回)-(2015/05/09(Sat) 12:15:09)
    1以上9以下の整数a,bと正の整数nで、a*10^n+bが平方数となるものを教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47180 / ResNo.1)  Re[1]: 平方数
□投稿者/ らすかる 大御所(320回)-(2015/05/10(Sun) 01:15:31)
    2015/05/10(Sun) 01:28:11 編集(投稿者)

    n≧4とします。
    m^2≡0,1(mod4)ですから
    m^2がa0000…0002,a0000…0003,a0000…0006,a0000…0007となることはありません。
    a0000…0005は素因数5をちょうど1個持ちますので、
    m^2がa0000…0005となることはありません。
    a0000…0008は素因数2をちょうど3個持ちますので、
    m^2がa0000…0008となることはありません。
    残る可能性はb=1,4,9です。

    m^2=a0000…0004のときm≡2(mod4)ですから
    m=4k+2とおくとm^2=16k(k+1)+4
    16k(k+1)がa0000…0000とならなければいけませんので
    kかk+1のどちらかが5^nで割り切れ、
    kかk+1のどちらかが2^(n-4)で割り切れ、
    k(k+1)を2^(n-4)・5^nで割った商が1〜9でなければなりません。
    よってkとk+1は一方が2^(n-4)に1桁の自然数を掛けた値、
    他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値です。
    しかし近い値では(2の素因数の個数)>(5の素因数の個数)ですから
    kとk+1がそのような値になることはありません。
    従ってm^2=a0000…0004となることもありません。

    m^2=a0000…0001のときm≡1(mod2)ですから
    m=2k+1とおくとm^2=4k(k+1)+1
    4k(k+1)がa0000…0000とならなければいけませんので、
    kとk+1は一方が2^(n-2)に1桁の自然数を掛けた値、
    他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値となり、上と同様にあり得ません。

    m^2=a0000…0009のときm≡1(mod2)ですから
    m=2k+3とおくとm^2=4k(k+3)+9
    4k(k+3)がa0000…0000とならなければいけませんので、
    kとk+3は一方が2^(n-2)に1桁の自然数を掛けた値、
    他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値となり、上と同様にあり得ません。
    従ってb=1,4,9もあり得ませんので、n≧4でa*10^n+bが平方数となることはありません。

    よってn<4の組合せをすべて確かめることにより、
    (a,b,n)=(1,6,1),(2,5,1),(3,6,1),(4,9,1),(6,4,1),(8,1,1)
    が全解とわかります。

    補足
    「近い値では(2の素因数の個数)>(5の素因数の個数)ですから」というのは
    5^4=625以上の5の累乗数と比較して10倍以内の違いしかない2の累乗数の方が
    素因数の個数が多い、という意味です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47193 / ResNo.2)  Re[2]: 平方数
□投稿者/ 平方数とは 一般人(2回)-(2015/05/11(Mon) 21:35:15)
    有難うございます。
    分かり易かったです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47188 / 親記事)  (削除)
□投稿者/ -(2015/05/11(Mon) 18:47:26)
    この記事は(投稿者)削除されました
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47189 / ResNo.1)  (削除)
□投稿者/ -(2015/05/11(Mon) 19:53:07)
    この記事は(投稿者)削除されました
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