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z^5 = -1 を解く
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□投稿者/ Megumi 一般人(6回)-(2020/09/25(Fri) 09:42:44)
 | z^5 = 1 と同じように解いたのですが、これでいいのでしょうか？
z = r(cosθ+isinθ) (r、θは実数)
z^5 = r^5(cosθ+isinθ)^5
= r^5(cos5θ+isin5θ)
-1 = -1 + 0i = 1(cosπ + isin0)
実部と虚部を比較して
r^5 = 1, 5θ = (2n+1)π (n = 0, 1, 2, 3, 4)
したがって
r = 1
θ = π/5, 3π/5, 5π/5 = π/5, 7π/5, 9π/5
ゆえに
z = 1,
cos(π/5) + isin(π/5) = e^(iπ/5) 重解？
cos(3π/5) + isin(3π/5) = e^(i3π/5)
cos(7π/5) + isin(7π/5) = e^(i7π/5)
cos(9π/5) + isin(9π/5) = e^(i9π/5)
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
| ■50511 / ResNo.1) |
Re[1]: z^5 = -1 を解く
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□投稿者/ らすかる 一般人(19回)-(2020/09/25(Fri) 11:20:18)
| > -1 = -1 + 0i = 1(cosπ + isin0)
> 実部と虚部を比較して
> r^5 = 1, 5θ = (2n+1)π (n = 0, 1, 2, 3, 4)
この部分は
-1 = |-1|(cos(arg(-1))+isin(arg(-1))) = 1(cos(2n+1)π + isin(2n+1)π)
∴r^5=1, 5θ=(2n+1)π
です。
> θ = π/5, 3π/5, 5π/5 = π/5, 7π/5, 9π/5
5π/5はπ/5ではありません。5π/5=πです。
> z = 1,
突然現れたz=1は誤りです。
> cos(π/5) + isin(π/5) = e^(iπ/5) 重解？
重解ではありません。
解は
z=
cos(π/5) + isin(π/5) = {√5+1+i√(10-2√5)}/4,
cos(3π/5) + isin(3π/5) = {-√5+1+i√(10+2√5)}/4,
cos(5π/5) + isin(5π/5) = -1,
cos(7π/5) + isin(7π/5) = {-√5+1-i√(10+2√5)}/4,
cos(9π/5) + isin(9π/5) = {√5+1-i√(10-2√5)}/4
となります。
もし最初から答えをe^(iπ/5)の形で書きたかったのであれば、
z^5=-1=e^((2n+1)iπ)
z=e^((2n+1)iπ/5)
∴z=e^(iπ/5),e^(3iπ/5),e^(5iπ/5)=e^(iπ),e^(7iπ/5),e^(9iπ/5)
とするのが早いですし、そうでなくてもe^(iπ/5)の形を知っているならば
こちらの答えを先に出した方が（cosとisinを書く手間が減る分）簡単だと思います。
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| ■50512 / ResNo.2) |
Re[2]: z^5 = -1 を解く
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□投稿者/ Megumi 一般人(7回)-(2020/09/25(Fri) 11:36:09)
| > 5π/5はπ/5ではありません。5π/5=πです。
あちゃー、そうですね(^O^)。
とても参考になりました。感謝です。
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