数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 76]

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フェルマーの最終定理の簡単な証明(101) |

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■47467 / 親記事)

　極限値

□投稿者/ 掛け流し一般人(1回)-(2015/08/14(Fri) 10:49:15)

ご教授下さい。
nを自然数として、
極限 lim〔n→∞〕∫〔0→nπ〕（Cost）/（2n+t）dt = 0
を示したいのですがうまく、はさみ打ち出来ません。
よろしくお願いします。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■47468 / ResNo.1)

　Re[1]: 極限値

□投稿者/ Samantha 一般人(2回)-(2015/08/14(Fri) 12:35:29)

部分積分するのがよいと思います。

$2$ \displaystyle\int_{0}^{n \pi} \frac{\cos t}{2n+t} \, \rm{d}t \\ = \displaystyle\int_{0}^{n \pi} \frac{(\sin t)'}{2n+t} \, \rm{d}t \\ = \cdots$

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■47469 / ResNo.2)

　Re[2]: 極限値

□投稿者/ 掛け流し一般人(2回)-(2015/08/14(Fri) 13:40:58)

Samanth様
早速のご返事ありがとうございます。
ご指摘の通り置換すると、
∫〔0→nπ〕Cost/(2n+t)dt = ∫〔0→nπ〕Sint/(2n+t)^2 dt となり
絶対値をとり、結局のところ
｜∫〔0→nπ〕Cost/(2n+t)dt｜＜ ∫〔0→nπ〕1/(2n+ｔ)~2 dt
＝π/2n(2+π)→0 （n→∞）
となりました。
これでよろしいでしょうか。
よろしくお願いします。

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■47470 / ResNo.3)

　Re[3]: 極限値

□投稿者/ Samantha 一般人(3回)-(2015/08/14(Fri) 13:59:37)

よろしいと思います。

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■47471 / ResNo.4)

　Re[4]: 極限値

□投稿者/ 掛け流し一般人(3回)-(2015/08/14(Fri) 14:50:11)

Samantha様
ありがとうございました。

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■47458 / 親記事)

　多項式の係数

□投稿者/ あかいろ一般人(1回)-(2015/08/11(Tue) 18:23:46)

多項式 $2$P(z)$ が任意の $2$z \in \mathbb{C}$ に対して
$2$P(\overline{z}) = \overline{P(z)}$
をみたすとき、 $2$P(z)$ の係数は全て実数である。

これを教えて下さい。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■47459 / ResNo.1)

　Re[1]: 多項式の係数

□投稿者/ IT 一般人(27回)-(2015/08/11(Tue) 19:29:37)

「代数学の基本定理」を使ってよければ簡単ですが

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■47460 / ResNo.2)

　Re[2]: 多項式の係数

□投稿者/ あかいろ一般人(2回)-(2015/08/11(Tue) 19:56:54)

■No47459に返信(ITさんの記事)
> 「代数学の基本定理」を使ってよければ簡単ですが

教えて下さい。

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■47461 / ResNo.3)

　Re[3]: 多項式の係数

□投稿者/ IT 一般人(28回)-(2015/08/11(Tue) 20:29:50)

2015/08/12(Wed) 07:28:50 編集(投稿者)

P(z)がn次式の場合、「代数学の基本定理」より
P(z)=0 は複素数の範囲で必ず根を持つので
P(z)=c(z-α[1])(z-α[2])...(z-α[n])と表せる

P(α[j]~)=P(α[j])~=0　なのでαが根ならその共役複素数も根である
したがって、α[1],...α[n]は、実数および、「共役複素数のペア」からなる。
実数のものをa[1],a[2]...a[k],
虚数のものをβ[1],β[1]~,β[2],β[2]~,...,β[m],β[m]~とすると
P(z)=c(z-a[1])(z-a[2])...(z-a[k])(z-β[1])(z-β[1]~)...(z-β[m])(z-β[m]~)
=c(z-a[1])(z-a[2])...(z-a[k]){z^2-(β[1]+β[1]~)z+β[1]β[1]~}...{z^2-(β[m]+β[m]~)z+β[m]β[m]~}
=cQ(z),Q(z)は実数係数多項式である

zとしてP(z)=0の根以外の実数をとれば
P(z~)=P(z)=P(z)~
cQ(z)={cQ(z)}~=(c~)Q(z)~=(c~)Q(z)

よってcも実数。

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■47462 / ResNo.4)

　Re[4]: 多項式の係数

□投稿者/ あかいろ一般人(3回)-(2015/08/11(Tue) 20:41:41)

有難うございます！

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■47437 / 親記事)

　級数

□投稿者/ 晃一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 09:10:43)

正項級数Σa_nが収束すると仮定します。
このとき、収束する正項級数Σb_nで、
lim[n→∞]b_n/a_n=∞
をみたすものが存在しますか？

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■47439 / ResNo.1)

　Re[1]: 級数

□投稿者/ らすかる大御所(365回)-(2015/08/09(Sun) 10:52:36)

例えばa[n]=1/n^4, b[n]=1/n^2ならば
Σa[n]=π^4/90, Σb[n]=π^2/6, lim[n→∞]b[n]/a[n]=∞
となります。

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■47441 / ResNo.2)

　Re[2]: 級数

□投稿者/ 晃一般人(3回)-(2015/08/09(Sun) 10:59:03)

すみません、聞きたいのは
どのようなΣa_nについても、そのようなΣb_nが存在するだろうか？
ということでした。
分かりにくくてすみません…。

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■47444 / ResNo.3)

　Re[3]: 級数

□投稿者/ らすかる大御所(367回)-(2015/08/09(Sun) 15:34:35)

「収束が最も遅い正項級数」が存在するか？
ということでしょうか。
難しいですね。存在しないような気がします
（つまりΣb[n]は必ず存在する気がします）が、
私には証明できそうにありません。

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■47457 / ResNo.4)

　Re[2]: 級数

□投稿者/ at 一般人(1回)-(2015/08/11(Tue) 07:00:53)

＞どのようなΣa_nについても、そのようなΣb_nが存在するだろうか？
＞ということでした。

はい。どのようなΣa_nに対しても、そのようなΣb_nが必ず存在します。
つまり、収束する任意の正項級数Σa_nに対して、
lim[n→∞]b_n/a_n=∞ を満たすような収束する正項級数Σb_nが存在します。

s_n = a_1 + a_2 + .. + a_n,
s = lim[n→∞]s_n
とします。
数列 {M_n} を次で定義します。
1/M_1 = s, 1/M_(n+1) = s - s_n.
このとき、{M_n}は単調増加であって、lim[n→∞]M_n = ∞ です。
b_n = a_n * (M_n)^(1/2) とすれば、
lim[n→∞]b_n/a_n = ∞　かつ　Σb_n は収束　となります。

Σb_n が収束することは次のように示せます。
b_n = a_n * (M_n)^(1/2) = (M_(n+1)-M_n )/(M_(n+1)*(M_n)^(1/2))
と書き表せます。
一般に、正数α(≠1)と正整数 m,n (m < n) に対して、
(1-α^m)/m > (1-α^n)/n
が成り立ちます。
α^n=c, m/n=k とおくと、
(1-c^k) > k*(1-c)
となります。ここで、
c = M_n/M_(n+1), m = 1, n = 2 とすることによって、
1-(M_n/M_(n+1))^(1/2) > (1/2)*(1-M_n/M_(n+1)),
つまり、(M_(n+1)-M_n )/(M_(n+1)*(M_n)^(1/2)) < 2*((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2))
となります。
これは、b_n < 2*((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2)) を意味します。
したがって、
Σb_n < 2*Σ((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2)) = 2*(1/M_1)^(1/2).

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■47442 / 親記事)

　方眼紙

□投稿者/ のどぐろ一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 13:51:30)

10×10方眼紙をn枚の2×2方眼紙で覆うのですが、どのように覆ったとしても
n枚の2×2方眼紙のどの1枚を取り除いても依然として10×10方眼紙を覆える
ためにはnは何枚以上であればよいでしょうか？

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▽[全レス9件(ResNo.5-9 表示)]

■47448 / ResNo.5)

　Re[1]: 方眼紙

□投稿者/ IT 一般人(22回)-(2015/08/09(Sun) 18:24:57)

「（その他の条件）をみたし」かつ「どの2×2方眼紙も　少なくとも１箇所、その方眼紙でのみ覆っている方眼がある」ような覆い方で、2×2方眼紙の枚数が最大になるときの枚数を求め１を加えればよい。

ということですかね？
　有限の問題ですから必ず答えがあると思いますが、最大性を示すのは大変そうですね。

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■47449 / ResNo.6)

　Re[2]: 方眼紙

□投稿者/ のどぐろ一般人(4回)-(2015/08/09(Sun) 18:56:19)

そういうことです。
解説していただいて有難うございます。

個人的な計算によりn≧50は判明しています。
50より小さくできるのかよく分からなかったので教えていただければ…と。

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■47451 / ResNo.7)

　Re[3]: 方眼紙

□投稿者/ IT 一般人(23回)-(2015/08/09(Sun) 19:34:25)

■No47449に返信(のどぐろさんの記事)
> 個人的な計算によりn≧50は判明しています。
> 50より小さくできるのかよく分からなかったので教えていただければ…と。

小さく　できるとはどういうことですか？

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■47452 / ResNo.8)

　Re[4]: 方眼紙

□投稿者/ らすかる大御所(369回)-(2015/08/09(Sun) 19:43:42)

多分、
n≧50ならば条件を満たすのはわかっているけれど
n=49ではわからない、ということだと思います。

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■47456 / ResNo.9)

　Re[5]: 方眼紙

□投稿者/ IT 一般人(26回)-(2015/08/09(Sun) 21:33:37)

なるほど、めんどうそうですね。

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■47450 / 親記事)

　整数問題

□投稿者/ 港楽一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 19:21:31)

自然数a,b,cで
(1+1/a)(1+1/b)=(1+1/c)
を満たすものを全て教えて下さい。
よろしくお願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47453 / ResNo.1)

　Re[1]: 整数問題

□投稿者/ らすかる大御所(370回)-(2015/08/09(Sun) 19:44:27)

式を変形すると(a-c)(b-c)=c(c+1)となりますので、任意のcに対して
c(c+1)を2数の積で表してそれぞれcを足したものをa,bにすれば解になります。
cとc+1の素因数分解が絡みますので、一般解を式で表すのは難しい気がします。

例えばc=24のときc(c+1)=1×600=2×300=3×200=4×150=5×120=6×100
=8×75=10×60=12×50=15×40=20×30=24×25なので
(a,b,c)=(25,624,24),(26,324,24),(27,224,24),(28,174,24),(29,144,24),
(30,124,24),(32,99,24),(34,84,24),(36,74,24),(39,64,24),(44,54,24),(48,49,24),
(49,48,24),(54,44,24),(64,39,24),(74,36,24),(84,34,24),(99,32,24),(124,30,24),
(144,29,24),(174,28,24),(224,27,24),(324,26,24),(624,25,24) が解

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■47454 / ResNo.2)

　Re[2]: 整数問題

□投稿者/ 港楽一般人(2回)-(2015/08/09(Sun) 19:53:02)

有難う御座います。

解決済み!

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