数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 76]

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ベルトラン・チェビシェフの定理について。(2) |

■47910 / 親記事)

　(1/4)(3:4:5)

□投稿者/ めるかり一般人(1回)-(2017/03/10(Fri) 14:40:24)

座標平面上に原点O(0,0)、点A(4,0)、点B(0,3)がある。
直交する直線2本によって△OABの面積を4等分するとき、
これらの直線の方程式を求めよ。

教えて下さい。
お願いいたします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47912 / ResNo.1)

　Re[1]: (1/4)(3:4:5)

□投稿者/ らすかる一般人(14回)-(2017/03/11(Sat) 12:15:14)

自作問題ですか？

線分AB,線分OAと交わり△OABを二等分する直線の方程式は
3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s　（1≦s≦2）… (1)
線分OA,線分OBと交わり△OABを二等分する直線の方程式は
3x+2t^2y=6t　（1≦t≦2）… (2)
この2直線が直交するので
3・3s^2+2t^2(4s^2-8)=0
∴t^2=9s^2/(16-8s^2)　（→ 1≦s≦8/√41, 3√2/4≦t≦2）
これを(2)に代入して整理すると
(24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2)　… (3)

(1)と(3)の交点のy座標は
{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}
(1)の傾きは
3s^2/(8-4s^2)
なので、2直線とx軸で囲まれる直角三角形の面積は
{{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・
{3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}/2
これが3/2でなければならないので
{{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・
{3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}=3
これを整理すると
9649s^8-27392s^7-6400s^6+87552s^5-67456s^4-49152s^3+81920s^2-32768s+4096=0
（2乗したので不適解を含む）
数値的に解くと適解は
s=1.190315408356102635648805458007…
よって求める2直線はsをこの値として
3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s
と
(24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2)

ちなみに
2直線の交点は
P(1.256834056326256745226150776051…,1.124846960943165497230454772467…)
2直線とOAとの交点は
C(0.639546147248281670517592509358…,0)
D(3.306575622515343617176951966100…,0)
直線とABとの交点は
E(1.619369183287794728702389083984…,1.785473112534153953473208187011…)
直線とOBとの交点は
F(0,1.814566090412214061669002877310…)
直線CEの傾きは
1.822240391235455361214466451085…
直線DFの傾きは
-0.548775016078977902736900547199…
で、検算したところ4つの領域の面積がすべて正しく1.5になっていました。

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■47920 / ResNo.2)

　Re[2]: (1/4)(3:4:5)

□投稿者/ めるかり一般人(2回)-(2017/03/12(Sun) 10:45:15)

数学パズルの本に、抽象的に解くと簡単(直交する直線の"存在")だけど、具体的には難しい問題として紹介されていたものです。

こんなとんでもないことになるんですね。
途中の8次方程式を解くなんて私には無理でした…。
教えていただき有難うございます。

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■47905 / 親記事)

　漸化式

□投稿者/ ハイポネックス一般人(1回)-(2017/03/07(Tue) 14:24:10)

a[1]=1
a[2]=1
a[n+2]=a[n+1](a[n+1]+1)/a[n] (n≧1)
であるとき、a[n]が自然数であること
の証明を教えて下さい。お願いします。

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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■47907 / ResNo.2)

　Re[2]: 漸化式

□投稿者/ ハイポネックス一般人(2回)-(2017/03/07(Tue) 20:43:42)

有難うございます！
a[n+2]=4a[n+1]-a[n]-1 が成り立つなんてとても気づきませんでした。

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■47908 / ResNo.3)

　Re[1]: 漸化式

□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2017/03/08(Wed) 11:11:13)

2017/03/08(Wed) 11:14:32 編集(投稿者)

今更、横から失礼します。

みずきさんは、もうこのスレ見てないかもしれないけど、
私は「a[n+2] = a[n+1](a[n+1]+1)/a[n]」という漸化式から「a[n+2] = 4a[n+1]-a[n]-1」という漸化式を
導いた過程に興味があります。
(1)何らかの手法、アルゴリズムがある? 情報が記載されたサイトや書籍をご紹介願いたく。
(2)出典、類題の解法からの推論で、導出過程はご存じない?
(3)項を1, 1, 2, 6, 21, 77, 286・・・と書いていって、それを眺めていて閃いた!
それ以外かもしれないけど、どうでしょう?

それと、もしスレ主さんがまだ見ていたら、この問題の出典は何でしょう?
テストや問題集の問題なら、出題者がみずきさんの解法を想定していたとは思えないのですが。
或いは、漸化式の変形の導出過程を明記することを、出題者は期待すると思いますが。

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■47909 / ResNo.4)

　Re[2]: 漸化式

□投稿者/ ハイポネックス一般人(3回)-(2017/03/10(Fri) 09:21:27)

今年の同志社の問題です。
おかしげな誘導が付いていたので、もっと自然に解けないかと思って聞いたのですが…
でもみずきさんの解答も私にはサーカス並です…

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■47913 / ResNo.5)

　Re[1]: 漸化式

□投稿者/ みずき一般人(5回)-(2017/03/11(Sat) 16:41:21)

http://oeis.org/A101879 を見ました。導出過程は知りません。

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■47914 / ResNo.6)

　Re[3]: 漸化式

□投稿者/ ＩＴ一般人(1回)-(2017/03/11(Sat) 16:46:10)

■No47909に返信(ハイポネックスさんの記事)
> 今年の同志社の問題です。

下記に同志社の問題と解答があります。（参考までに）
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/17/d02.html

a[1],a[2] が他の整数値の場合は、各a[n] が整数にならない場合もあるようですね。

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■47892 / 親記事)

　等比数列の問題です

□投稿者/ ふくろう一般人(1回)-(2017/03/05(Sun) 19:33:41)

問題：鋭角Θをなす半直線OX、OY上にそれぞれ点列A1、A2、A3、・・・・・・、およびB1、B2、B3、・・・・・を次の条件（１）、（２）、（３）を満たすようにとる。
（１）　OA1＝OB1＝１
（２）　線分B1A2、B2A3、B3A4、・・・・・・・・、BnAn＋１、・・・・・・・・・はすべてOX上に垂直
（３）　線分A1B1、A2B2、A3B3、・・・・・・・・、AnBn、・・・・・・・・、は互いに平行
このとき△AnBnAn＋1の面積をSnとすると、Σ（n＝１から∞）＝１/３である。tanΘの値を求めよ。
丸一日考えましたが解けません。どなたかわかりやすく教えてください。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■47894 / ResNo.1)

　Re[1]: 等比数列の問題です

□投稿者/ らすかる一般人(10回)-(2017/03/05(Sun) 19:59:34)

△A[n]B[n]A[n+1]：△B[n]A[n+1]B[n+1]=1：cosθ なので
Σ[n=1～∞]S[n]=△OA[1]B[1]/(1+cosθ)
∴(sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
これより tanθ=12/5

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47900 / ResNo.2)

　Re[2]: 等比数列の問題です

□投稿者/ ふくろう一般人(2回)-(2017/03/06(Mon) 09:56:32)

■No47894に返信(らすかるさんの記事)
> △A[n]B[n]A[n+1]：△B[n]A[n+1]B[n+1]=1：cosθ なので
> Σ[n=1～∞]S[n]=△OA[1]B[1]/(1+cosθ)
> ∴(sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
> これより tanθ=12/5
>

これだけではよく分かりません。私が不勉強だと重々承知しております。
もう少し具体的に細かく説明をいただけませんか。
ご多用のところ申し訳ありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47901 / ResNo.3)

　Re[3]: 等比数列の問題です

□投稿者/ らすかる一般人(13回)-(2017/03/06(Mon) 10:40:45)

OB[n]cosθ=OA[n+1] なので OB[n]：OA[n+1]=1：cosθ
△OA[n]B[n]∽△OA[n+1]B[n+1] なので A[n]B[n]：A[n+1]B[n+1]=1：cosθ
A[n]B[n]とA[n+1]B[n+1]の間隔をH[n]とすると
△A[n]B[n]A[n+1]：△B[n]A[n+1]B[n+1]
=A[n]B[n]H[n]/2：A[n+1]B[n+1]H[n]/2
=A[n]B[n]：A[n+1]B[n+1]
=1：cosθ

これより
△A[n]B[n]A[n+1]={1/(1+cosθ)}・(台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
なので
Σ[n=1～∞]S[n]
=Σ[n=1～∞]△A[n]B[n]A[n+1]
=Σ[n=1～∞]{1/(1+cosθ)}・(台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
={1/(1+cosθ)}Σ[n=1～∞](台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
={1/(1+cosθ)}△OA[1]B[1]

Σ[n=1～∞]S[n]=1/3, △OA[1]B[1]=OA[1]・OB[1]・sinθ/2=sinθ/2 なので
(sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
sinθ/2=(1+cosθ)/3
3sinθ=2(1+cosθ)
(3sinθ)^2={2(1+cosθ)}^2
9(sinθ)^2=4(1+cosθ)^2
9{1-(cosθ)^2}=4{1+2cosθ+(cosθ)^2}
13(cosθ)^2+8cosθ-5=0
(13cosθ-5)(cosθ+1)=0
cosθ=5/13,-1
θは鋭角なので
cosθ=5/13
(tanθ)^2=1/(cosθ)^2-1=144/25=(12/5)^2
θは鋭角なので
tanθ=12/5

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■47902 / ResNo.4)

　Re[4]: 等比数列の問題です

□投稿者/ ・ｽﾓゑｿｽ・ｽ・､一般人(1回)-(2017/03/06(Mon) 16:02:14)

問題が解けました。有難うございました。
感謝　感謝です。

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■47891 / 親記事)

　3次方程式

□投稿者/ ramuniku 一般人(1回)-(2017/03/05(Sun) 15:45:19)

f(x)はxの実数係数3次多項式で、以下の条件を満たしている。
・αがf(x)=0の解ならば、f(α^2-2)=0である。
・ある有理数βが存在して、f(β)=0である。
このときf(x)を求めたい。(x^3の係数は1としてよい)

お願いします！！

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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■47895 / ResNo.2)

　Re[1]: 3次方程式

□投稿者/ みずき一般人(2回)-(2017/03/05(Sun) 20:17:05)

横から失礼します。

>>らすかるさん

例えば f(x)=(x+2)(x-2)^2 も条件を満たしませんか？

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■47896 / ResNo.3)

　Re[2]: 3次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2017/03/05(Sun) 20:28:22)

2017/03/05(Sun) 20:34:37 編集(投稿者)

あ、そうですね。気付きませんでした。御指摘ありがとうございます。
上の回答を直接修正しましたので、確認頂ければ幸いです。

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■47897 / ResNo.4)

　Re[3]: 3次方程式

□投稿者/ ramuniku 一般人(2回)-(2017/03/05(Sun) 22:28:09)

有難うございます。

解決済み!

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■47898 / ResNo.5)

　Re[1]: 3次方程式

□投稿者/ みずき一般人(3回)-(2017/03/06(Mon) 00:09:19)

>上の回答を直接修正しましたので、確認頂ければ幸いです。

私の計算では、条件を満たすf(x)は15個となりました。
らすかるさんが挙げられた12個の他に

(x+1)(x-1)(x+√3)
(x+1)(x-1)(x-√3)
x(x-2)(x+2)

も条件を満たすと思います。

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■47899 / ResNo.6)

　Re[2]: 3次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2017/03/06(Mon) 00:27:48)

確かにおっしゃる通りですね。
考え落としが多すぎました。

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■47888 / 親記事)

　漸化式と極限

□投稿者/ 歯医者さんに褒められる歯一般人(1回)-(2017/03/01(Wed) 21:32:09)

0＜a＜1である実数aに対して、数列{a[n]}を
a[1]=a, a[n+1]=4a[n](1-a[n]) (n≧1)
で定義する。
lim[n→∞]a[n]=0であるとき、a[N]=0となる自然数Nが存在することを証明せよ。

教えて下さい。
よろしくお願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47889 / ResNo.1)

　Re[1]: 漸化式と極限

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2017/03/02(Thu) 04:54:16)

どういう状況での問題かによって答え方が結構変わると思いますが、簡単に言うと

条件から任意のnに対して0≦a[n]≦1。
0＜a[n]＜1/4のとき1-a[n]＞3/4なのでa[n+1]=4a[n](1-a[n])＞3a[n]となり、
a[n]が正の小さい値の場合、a[n+1],a[n+2],…は1/4以上になるまで
前項の3倍以上の値をとり単調増加する。
よってa[n]が0にならずに0に近づくことは不可能なので
lim[n→∞]a[n]=0ならばa[N]=0となる自然数Nが存在する。

# 具体的には、ある自然数Nに対してa[N]=3/4のときlim[n→∞]a[n]=3/4、
# ある自然数にNに対してa[N]=0のときlim[n→∞]a[n]=0、
# それ以外のときa[n]は発散（振動）

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■47890 / ResNo.2)

　Re[2]: 漸化式と極限

□投稿者/ 歯医者さんに褒められる歯一般人(1回)-(2017/03/02(Thu) 14:38:22)

状況がよく分かりました。
有難うございます。

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