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■47316 / 親記事)  自然数列
□投稿者/ シカカイ 一般人(1回)-(2015/06/05(Fri) 20:14:51)
    自然数からなる数列 {a[n]} で
    a[n+1]-a[n]→∞ (n→∞)
    かつ
    Σ[n=1,∞]1/a[n]=∞
    となるものの実例を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47317 / ResNo.1)  Re[1]: 自然数列
□投稿者/ らすかる 大御所(344回)-(2015/06/05(Fri) 20:24:13)
    {loglogx}'=1/(xlogx) から
    Σ[k=2〜n]1/(klogk)>∫[2〜n]dx/(xlogx)=loglogn-loglog2 → ∞ です。
    従って
    a[n]=[(n+1)log(n+1)] (右辺の[ ]はガウス記号)
    とすれば条件を満たしますね。
    a[n]=[(n+1)log(n+1)] の具体値は
    1,3,5,8,10,13,16,19,23,26,29,33,36,40,44,48,…
    のようになります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47318 / ResNo.2)  Re[2]: 自然数列
□投稿者/ シカカイ 一般人(2回)-(2015/06/05(Fri) 21:28:09)
    確認できました。
    素晴らしい例を有難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47319 / ResNo.3)  Re[3]: 自然数列
□投稿者/ らすかる 大御所(345回)-(2015/06/05(Fri) 22:32:50)
    細かいことですが、
    Σ[k=2〜n]1/(klogk)>∫[2〜n]dx/(xlogx)=loglogn-loglog2 → ∞ は
    Σ[k=2〜n]1/(klogk)>∫[2〜n+1]dx/(xlogx)=loglog(n+1)-loglog2 → ∞
    としないとまずいですね。訂正します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47310 / 親記事)  正三角形 正方形
□投稿者/ スペクター 一般人(1回)-(2015/06/04(Thu) 22:18:29)
    座標平面上の正方形で、
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47311 / ResNo.1)  Re[1]: 正三角形 正方形
□投稿者/ スペクター 一般人(2回)-(2015/06/04(Thu) 22:19:49)
    座標平面上の正三角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか?
    座標平面上の正四角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47314 / ResNo.2)  Re[2]: 正三角形 正方形
□投稿者/ らすかる 大御所(343回)-(2015/06/05(Fri) 02:03:06)
    nは非負整数と仮定します。

    > 座標平面上の正三角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか?
    存在します。
    例えば正三角形が
    y=(√3)(x-1/2)+1/2, y=1/2, y=-(√3)(x-t)
    で作られるとして、
    tを1から増やしていくと内部の格子点がいくらでも増えますが、
    y=-(√3)(x-t) が二つ以上の格子点を同時に通ることはありませんので、
    内部の格子点は必ず1個ずつ増えます。
    従ってちょうどn個含むものは必ず存在します。

    > 座標平面上の正四角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか?
    存在します。
    例えば正四角形が
    y=(√3)(x-1/2)+1/2, y=-(1/√3)(x-1/2)+1/2,
    y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2, y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2
    で作られるとして、tを1から増やしていくと内部の格子点がいくらでも増えますが、
    y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2 と y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2 はそれぞれ
    二つ以上の格子点を同時に通ることはなく、また
    y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2 と y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2 の辺上に
    同時に格子点が存在することもありませんので、
    内部の格子点は必ず1個ずつ増えます。
    従ってちょうどn個含むものは必ず存在します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47315 / ResNo.3)  Re[3]: 正三角形 正方形
□投稿者/ スペクター 一般人(3回)-(2015/06/05(Fri) 08:04:05)
    そう考えればいいんですね。
    有難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47308 / 親記事)  ランダウの記号
□投稿者/ 玉ねぎドレッシング 一般人(1回)-(2015/06/04(Thu) 21:47:01)
    f(n)は自然数から自然数への関数で、ランダウの記号は全てn→∞の話とします。
    任意のε>0に対してf(n)=o(n^ε)であることは、f(n)=O(logn)を意味しますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47312 / ResNo.1)  Re[1]: ランダウの記号
□投稿者/ ひよこ 一般人(14回)-(2015/06/04(Thu) 22:29:45)
    意味しないかと。

    例えば、f(n)=(log n)^2とか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47313 / ResNo.2)  Re[2]: ランダウの記号
□投稿者/ 玉ねぎドレッシング 一般人(2回)-(2015/06/04(Thu) 22:31:06)
    なるほど、ありがとうございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47238 / 親記事)  広義積分
□投稿者/ マリリン 一般人(1回)-(2015/05/20(Wed) 21:10:22)
    素朴な疑問ですが…

    f[n](x) : [0,∞)→(0,∞) (n=1,2,3,...) はみな連続関数で、
    ∫[0→∞] f[n](x) dx (n=1,2,3,...) はすべて収束していると仮定します。
    このとき、連続関数 f(x) : [0,∞)→(0,∞) で、以下の2条件を同時にみたすものは必ず存在しますか?
    ・∫[0→∞] f(x) dx は収束
    ・任意の n に対して lim[x→∞] f(x)/f[n](x) = ∞
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47297 / ResNo.1)  Re[1]: 広義積分
□投稿者/ ひよこ 一般人(11回)-(2015/05/29(Fri) 14:01:48)
    いまさらですが。

    結論として、出来ると思います。

    ちょっと面倒ですが、条件を満たすf(x)を構成します。

    まず、

    と定めます。このようにすると、k以下のnに対して

    が成り立つことに注意します。

    次に、いわゆるcut-off関数を、

    を満たすような連続関数とします。

    さらに、を次のように定めます。
    .

    では次を満たす。


    ここで、各kを固定すれば、は可積分であることから、を大きくとれば、上記を満たすようなものがとれることが分かります。
    作り方から、

    となっていることにも注意します。

    ここまでで準備完了。
    最後に、

    として、f(x)を定めます。これは、無限和ではありますが、xを固定すると、
    を満たすようなkは有限個ですので、x毎に有限和になっていて、f(x)が連続関数であることもわかります。

    また、となっています。

    積分値についても、の選び方から、

    となります。

    最後に、nを固定し、m>nに対して、となるようなを考えれば、

    が成り立つので、

    も得られます。

    以上でどうでしょうか。

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■47307 / ResNo.2)  Re[2]: 広義積分
□投稿者/ マリリン 一般人(2回)-(2015/06/04(Thu) 21:41:15)
    有難うございます。
    納得できました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47072 / 親記事)  固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(1回)-(2015/04/07(Tue) 12:47:48)
    A,Bをn×n正値エルミート行列とするとき,
    ∃ε>0; ∀x∈(-ε,ε)に対して, A+xBの固有値は有界である,
    つまり,
    集合∪_{x∈(-ε,ε)}σ(A+xB)は有界であることはどうすれば示せますでしょうか?

    σ(A)と書いたらAの固有値の集合を表してます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス19件(ResNo.15-19 表示)]
■47298 / ResNo.15)  Re[15]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(9回)-(2015/05/30(Sat) 01:58:24)
    あっ、なるほど。たしかに,
    ∂f(x,ε)/∂x|_{(x,ε)=(0,0)}=2x|_{(x,ε)=(0,0)}=0だから
    dε/dxは(0,0)の近傍で存在するがdx/dεは(0,0)の近傍で存在しないのですね。

    εはx(固有値に関して)陰関数定理を用いて解析的と示せるが
    xはεに対して解析的かどうかは陰関数定理では判定不能なのですね。
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■47300 / ResNo.16)  Re[16]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(10回)-(2015/06/01(Mon) 11:19:15)
    従って,
    (f_ε(x)=0はxはεについて解析的であるだろうが)
    f_ε(x)=0にて,xはεについて解析的である事の証明には陰関数定理は使えないのですね。
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■47301 / ResNo.17)  Re[17]: 固有値の問題
□投稿者/ ひよこ 一般人(12回)-(2015/06/01(Mon) 23:17:25)
    陰関数定理の仮定を満たさないことについては、それで良いと思います。

    >(f_ε(x)=0はxはεについて解析的であるだろうが)
    については、
    f(x,ε)=x^2+εの場合、
    f(x,ε)=0となるxをεで表そうとすると、


    ただし、εは0以下、となって、この関数x(ε)は、ε=0では解析的ではないと思います。

    ・まず、0の近傍では関数が定義されていない。普通、ある点cで解析的というためには、cを含むなんらかの領域(連結開集合上)で考える。
    ・上記を解消するため、x(ε)をε>0で、全体が奇関数になるように拡張したりしても、そもそもx'(0)=-∞とかになって、0ではテイラー展開できません。つまり、解析的にはなりません。

    いかがでしょうか。
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■47302 / ResNo.18)  Re[18]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(11回)-(2015/06/02(Tue) 04:45:41)
    ご回答誠に有難うございます。

    今,x(ε)はεで決まるエルミート行列A+εBの固有値だからx(ε)は実関数でなければならないがx(ε)=√(-ε)は0<εでは実関数とはならないので,
    x(ε)は0≧εでしか定義されないのですね。
    ここで,ε=0の時のεは0≦εの内点にならないのでx(ε)が定義されるε=0の開領域は存在しませんね。

    > x(ε)をε>0で、全体が奇関数になるように拡張したりしても

    ここのくだりがいまいち分かりません。これはε=0でx(ε)の可除特異点が取れないということでしょうか?
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■47306 / ResNo.19)  Re[19]: 固有値の問題
□投稿者/ ひよこ 一般人(13回)-(2015/06/04(Thu) 01:09:56)
    えーと、もともとの問題はちょっとおいといて、実数に限って、f(x,ε):=x^2+εの場合に話をしています。

    ε>0の部分でx(ε)が定義されていないのが不都合の原因であるならば、
    それを取り除くことを考えたいというのが、よくある考え方です。

    それを実行するためには、とにかくx(ε)をε>0でうまく定義してしまえば良い、というわけですが、そういった場合に使われる手法の一つが奇関数拡張とか偶関数拡張とかなので例として挙げました(深い意味はありません)。

    例えば、
    「xが非負な部分でf(x)=sin xと定義されている関数が、x=0の近傍でC^1級か?」
    というと、
    「x<0ではf(x)が定義されていないためにx=0での微分が定義されないのでダメ」
    という考え方もありますが、x<0に対して、f(x)が全体で奇関数になる(f(-x)=-f(x)となる)ようにf(x)を定めれば、f(x)はC^1級になるわけです。

    これが奇関数に拡張するという話です。あくまで単なる拡張の仕方の一例です。



    さて、今考えている問題では、そもそも、

    となっているので、これはx(ε)がε=0で解析的であることに矛盾します。

    これは、ε=0が、x(ε)の可除でない特異点になっていることを意味しているわけです。

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