数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 39]

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合同式の計算(2) |

プログラミング言語BASIC言語について。(14) |

対数の取り方、シグモイド、ロジスティック関数(0) |

緩和曲線の開始位置と終了地点および途中の高さxについて(0) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明9(23) |

（削除）(0) |

ケプラー方程式による惑星の会合計算(0) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明8(74) |

中学生でも解けそうな入試問題001(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明7(101) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明6(101) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明5(101) |

数学について。(1) |

順列(4) |

線形代数(1) |

整数問題(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明４(101) |

isometric matrix,p-ノルムについて(0) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明3(76) |

d(cos^2θ)/dθ＝と置けるような相似の図を見つけたいです！(0) |

1/ cos^2θの微分を画像の図を用いて解きたい！(0) |

ラグランジュの剰余項(1) |

log2とマクローリン展開についての証明(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明２(101) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明(101) |

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■48378 / 親記事)

　埋め

□投稿者/ ins 一般人(1回)-(2017/12/02(Sat) 00:14:10)

A = (0, 0); B = (3, 0); C = (1, 2) なる　△ABC について;
∠Aの二等分線とBCとの交点をD, ∠Aの外角のニ等分線とBCの延長との交点をE とする。
Dの座標は　( , ) で　E の　座標は　( , )
DEの中点をＯとする時, Ｏの　座標は　( , )である。
<---各　●穴に正しい数を●　願います。

(1)ＯB・ＯC=ＯD^2が成り立つ事を証明せよ。
(2)ＯB：ＯC＝AB^2：AC^2が成り立つ事を証明せよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48518 / ResNo.1)

　Re[1]: 埋め

□投稿者/ muturajcp 一般人(12回)-(2018/08/19(Sun) 06:00:36)

A=(0,0);
B=(3,0);
C=(1,2)
なる　
△ABC について;
∠Aの2等分線とBCとの交点をD,
∠Aの外角の2等分線とBCの延長との交点をE とする。
cos∠A=1/√5
だから
∠Aの2等分線の傾きは
tan(∠A/2)
=sin(∠A/2)/cos(∠A/2)
=√[{1-cos(∠A)}/{1+cos(∠A)}]
=√[{1-1/√5}/{1+1/√5}]
=√[{(√5)-1}/(1+√5)]
=√[{{(√5)-1}^2}/4]
={(√5)-1}/2
∠Aの2等分線の式は
y={(√5)-1}x/2
BCの式は
y=3-x
交点D(x,y)は
{(√5)-1}x/2=3-x
(1+√5)x/2=3
x=3{(√5)-1}/2
y=3(3-√5)/2
だから
Dの座標は(3{(√5)-1}/2,3(3-√5)/2)で

∠Aの外角の2等分線の傾きは
tan{(π+∠A)/2}
=sin{(π+∠A)/2}/cos{(π+∠A)/2}
=-cos(∠A/2)/sin(∠A/2)
=-√[{1+cos(∠A)}/{1-cos(∠A)}]
=-√[{1+1/√5}/{1-1/√5}]
=-√[(1+√5)/{(√5)-1}]
=-√[{(1+√5)^2}/4]
=-(1+√5)/2
だから
∠Aの外角の2等分線の式は
y=-(1+√5)x/2
BCの式は
y=3-x
交点(x,y)は
-x(1+√5)/2=3-x
x(1-√5)/2=3
x=-3(1+√5)/2
y=3(3+√5)/2
だから
Eの座標は(-3(1+√5)/2,3(3+√5)/2)

DEの中点をOとする時,
D
=(3{(√5)-1}/2,3(3-√5)/2)
=3((√5)-1,3-√5)/2
E
=(-3(1+√5)/2,3(3+√5)/2)
=3(-1-√5,3+√5)/2
O
=(D+E)/2
={3((√5)-1,3-√5)/2+3(-1-√5,3+√5)/2}/2
=3{((√5)-1,3-√5)+(-1-√5,3+√5)}/4
=3(-2,6)/4
=3(-1,3)/2
=(-3/2,9/2)
Oの座標は(-3/2,9/2)である.

(1)
|OB|
=|(3,0)-(-3/2,9/2)|
=3|(2,0)-(-1,3)|/2
=3|(3,-3)|/2
=9|(1,-1)|/2
=(9√2)/2

|OC|
=|(1,2)-(-3/2,9/2)|
=|(2,4)-(-3,9)|/2
=|(5,-5)|/2
=5|(1,-1)|/2
=(5√2)/2

|OD|^2
=|D-O|^2
=|3((√5)-1,3-√5)/2-(-3/2,9/2)|^2
=9(|((√5)-1,3-√5)-(-1,3)|^2)/4
=9(|(√5,-√5)|^2)/4
=45(|(1,-1)|^2)/4
=45*2/4
=45/2

|OB||OC|={(9√2)/2}(5√2)/2
=45/2=|OD|^2
∴
|OB||OC|=|OD|^2

(2)
|AB|^2:|AC|^2
=|(3,0)|^2:|(1,2)|^2
=9:5

|OB|:|OC|
=(9√2)/2:(5√2)/2
=9:5
=|AB|^2:|AC|^2
∴
|OB|:|OC|=|AB|^2:|AC|^2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48510 / 親記事)

　ベクトル

□投稿者/ 受験生一般人(1回)-(2018/07/29(Sun) 11:20:28)

模範解答お願いします。

1024×620 => 250×151

85CC4ACC-3386-46AB-B248-5EAF482FA1D3.jpeg/138KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48517 / ResNo.1)

　Re[1]: ベクトル

□投稿者/ muturajcp 一般人(10回)-(2018/08/18(Sat) 20:32:22)

四面体OABCがあり,|OA|=|OB|=|OC|=1,∠AOB=π/3,OA⊥BC,OB⊥ACである.
また,OA=a,OB=b,OC=cとし,
OD=a+b,OE=b+c,OP=2a,OQ=(3/2)b,
OR=(6/5)cで定まる5つの点D,E,P,Q,Rをとる.
(1)
a・b
=|a||b|cos∠AOB
=cosπ/3
=1/2

OB⊥ACだから
b・(c-a)=0
(b・c)-(a・b)=0
b・c=a・b=1/2

OA⊥BCだから
(c-b)・a=0
(c・a)-(a・b)=0
c・a=a・b=1/2

(2)
0<s<1,s≠3/4
線分ADをs:(1-s)に内分する点をX,
線分CEを(1-s):sに内分する点をYとし,
0<t<1
線分XYをt:(1-t)に内分する点をZとする.
X
=(1-s)A+sD
=(1-s)a+s(a+b)
=(1-s+s)a+sb
=a+sb

Y
=sC+(1-s)E
=sc+(1-s)(b+c)
=(1-s+s)c+(1-s)b
=c+(1-s)b

OZ
=(1-t)X+tY
=(1-t)(a+sb)+t{c+(1-s)b}
=(1-t)a+(s+t-2st)b+tc

点Zが平面PQR上にあるとき
OZ=(1-x-y)P+xQ+yR
となるx,yがある
P=2a,Q=(3/2)b,R=(6/5)cだから
OZ
=2(1-x-y)a+(3x/2)b+(6y/5)c
=(1-t)a+(s+t-2st)b+tc
=(1-t)a+(3x/2)b+tc
だから
2(1-x-y)=1-t
3x/2=s+t-2st
6y/5=t
6y=5t
6x=4(s+t-2st)
6(1-x-y)=3(1-t)
6=5t+4(s+t-2st)+3(1-t)
3=6t+4s-8st
8st-6t-4s+3=0
2t(4s-3)-4s+3=0
(2t-1)(4s-3)=0
s≠3/4だから4s-3≠0だから
4s-3で両辺を割ると
2t-1=0
2t=1
t=1/2
↓これを6y=5tに代入すると
6y=5/2
y=5/12
↓これとt=1/2を2(1-x-y)=1-tに代入すると
7/6-2x=1/2
2/3=7/6-1/2=2x
x=1/3
↓これとt=1/2をOZ=(1-t)a+(3x/2)b+tcに代入すると
∴
OZ=(1/2)a+(1/2)b+(1/2)c

(3)
点KをOK=ka(kは実数で定まる点とする.
(2)の点Zが平面PQR上にあるとき,
直線ZKが平面OBCに垂直となるとき
ZKとOBは垂直だから
ZK・OB=0
=(ka-(a+b+c)/2)・b=0
=k(a・b)-{(a・b)+|b|^2+(c・b)}/2=0
={(2k-1)(a・b)-|b|^2-(c・b)}/2=0
=
{(2k-1)/2-1-1/2}/2=0
2k-1-2-1=0
2k=4
k=2

ZKとOBは垂直だから
ZK・OC
=(ka-(a+b+c)/2)・c=0
=k(a・c)-{(a・c)+(b・c)+|c|^2}/2=0
={(2k-1)(a・c)-(b・c)-|c|^2}/2=0
=
{(2k-1)/2-1/2-1}/2=0
2k-1-1-2=0
2k=4
k=2
だから
k=2
の時ZKはOBとOCの両方に垂直だから平面OBCに垂直となる

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■48361 / 親記事)

　極値

□投稿者/ 安室一般人(2回)-(2017/10/06(Fri) 21:52:56)

x^2 + 2 x y + 3 y^2 - 2 y - 4 = 0 のとき　y の最小値, 最大値を求めよ.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48516 / ResNo.1)

　Re[1]: 極値

□投稿者/ muturajcp 一般人(8回)-(2018/08/17(Fri) 19:49:49)

x^2+2xy+3y^2-2y-4=0
3y^2+2(x-1)y+x^2-4=0
3{y+(x-1)/3}^2-(x-1)^2/3+x^2-4=0
{y+(x-1)/3}^2=(13-2x-2x^2)/9
{y+(x-1)/3}^2=3/2-2{(x+1/2)^2}/9
{y+(x-1)/3}^2=-{2x+1+(3√3)}{2x+1-(3√3)}/18≧0
{2x+1+(3√3)}{2x+1-(3√3)}≦0
(-1-3√3)/2≦x≦(-1+3√3)/2
y={1-x±√(13-2x-2x^2)}/3

y'
={-1±(-1-2x)/√(13-2x-2x^2)}/3
=[{±(-1-2x)-√(13-2x-2x^2)}/√(13-2x-2x^2)]/3
=[(6x^2+6x-12)/√(13-2x-2x^2)]/{±(-1-2x)+√(13-2x-2x^2)}/3
=[2(x+2)(x-1)/√(13-2x-2x^2)]/{±(-1-2x)+√(13-2x-2x^2)}

y={1-x+√(13-2x-2x^2)}/3の時
(-1-3√3)/2≦x<-2の時y'>0だからy増加
x=-2の時最大値y=2
-2<x≦(-1+3√3)/2の時y'<0だからy減少

y={1-x-√(13-2x-2x^2)}/3の時
(-1-3√3)/2≦x<1の時y'<0だからy減少
x=1の時最小値y=-1
1<x≦(-1+3√3)/2の時y'>0だからy増加
∴
最小値y=-1
最大値y=2

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■48360 / 親記事)

　極値

□投稿者/ 安室一般人(1回)-(2017/10/06(Fri) 21:50:59)

x^2 + 2 x y + 3 y^2 - 2 y - 4 = 0 のとき　x の最小値, 最大値を求めよ.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48515 / ResNo.1)

　Re[1]: 極値

□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/08/17(Fri) 16:41:44)

x^2+2xy+3y^2-2y-4=0
(x+y)^2=-2y^2+2y+4
(x+y)^2=-2(y+1)(y-2)≧0
(y+1)(y-2)≦0
-1≦y≦2
x=-y±√(4+2y-2y^2)

x'
=-1±(1-2y)/√(4+2y-2y^2)
={±(1-2y)-√(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)
={(1-2y)^2-(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
={1-4y+4y^2-(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
=(6y^2-6y-3)/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
=3(2y^2-2y-1)/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
=6{y-(1-√3)/2}{y-(1+√3)/2}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}

x=-y+√(4+2y-2y^2)の時
-1≦y<(1-√3)/2の時x'>0だからxは増加
y=(1-√3)/2の時最大値x=(-1+3√3)/2
(1-√3)/2<y<2の時x'<0だからxは減少

x=-y-√(4+2y-2y^2)の時
-1≦y<(1+√3)/2の時x'<0だからxは減少
y=(1+√3)/2の時最小値x=(-1-3√3)/2
(1+√3)/2<y<2の時x'>0だからxは増加
∴
最小値x=(-1-3√3)/2
最大値x=(-1+3√3)/2

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■48009 / 親記事)

　代数学の問題

□投稿者/ socksman 一般人(1回)-(2017/06/08(Thu) 14:56:50)

以下の問題が分かりません。

解説をお願いします。

1080×219 => 250×50

IMG_20170607_230206.jpg/49KB

引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■48514 / ResNo.1)

　Re[1]: 代数学の問題

□投稿者/ muturajcp 一般人(5回)-(2018/08/17(Fri) 14:59:57)

(1)
Gを位数|G|=4の群
x∈G
[x]をxから生成される巡回群
とする
[x]はGの部分群だから
部分群[x]の位数|[x]|は4の約数だから
(|[x]|=1).or.(|[x]|=2).or.(|[x]|=4)
|[x]|=4となる[x]がある時
|[x]|=|G|=4だから[x]=Gとなり
Gは1元xから生成される巡回群だから
GはZ/4Zと同型である

|[x]|=4となるxが無い時
|[x]|=1の時xは単位元0だから
x≠0となるすべてのxに対して
|[x]|=2となる
G={0,a,b,c}とすると
|[a]|=|[b]|=|[c]|=2だから
a+a=b+b=c+c=0
aの逆元はaだからa+b≠0≠b+a,a+c≠0≠c+a
b≠0だからa+b≠a≠b+a,b+c≠c≠c+b
a≠0だからa+b≠b≠b+a,a+c≠c≠c+a
∴a+b=c=b+a
c≠0だからa+c≠a≠c+a,b+c≠b≠c+b
∴a+c=b=c+a
bの逆元はbだからb+c≠0=c+b
∴b+c=a=c+b
0=(0,0)
a=(1,0)
b=(0,1)
c=(1,1)
とすれば
a+a=b+b=c+c=0(mod2)
a+b=b+a=c
a+c=c+a=b(mod2)
b+c=c+b=a(mod2)
だから
GはZ/2Z×Z/2Zと同型である

(2)
{1,(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(1,4,3,2)}
{1,(1,2,4,3),(1,4)(2,3),(1,3,4,2)}
{1,(1,3,2,4),(1,2)(3,4),(1,4,2,3)}

(3)
{1,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)}
{1,(1,3),(2,4),(1,3)(2,4)}
{1,(1,4),(2,3),(1,4)(2,3)}
{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}

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