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■48792 / 親記事)  確率
□投稿者/ 感謝 一般人(1回)-(2018/09/06(Thu) 12:15:44)
    表が出やすいコインが何枚かある。
    これらを一斉に投げるとき
    表が出るコインが偶数枚ある確率と
    表が出るコインが奇数枚ある確率は
    どちらの方が大きいか?

    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■48793 / ResNo.1)  Re[1]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2018/09/06(Thu) 15:54:16)
    全体が偶数枚なら偶数枚になる確率の方が高く、
    全体が奇数枚なら奇数枚になる確率の方が高い。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48797 / ResNo.2)  Re[1]: 確率
□投稿者/ 感謝 一般人(2回)-(2018/09/10(Mon) 11:40:05)
    有り難うございます。

    それは直感的に分かることなのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48798 / ResNo.3)  Re[2]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2018/09/10(Mon) 14:17:04)
    全体が1枚のとき明らかに奇数枚になる確率が高いですね。
    表が出る確率をp(>1/2)、全体がn枚のときに
    表の枚数の偶奇がnと同じである確率をq(>1/2)とすると、
    それに1枚追加して全体をn+1枚にしたとき、
    追加した1枚が表になる確率はpなので
    表の枚数の偶奇がn+1と同じになる確率は
    pq+(1-p)(1-q)={(2p-1)(2q-1)+1}/2>1/2
    よって数学的帰納法により全体の枚数と表の枚数の偶奇が
    同じになる確率は1/2より大きくなります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48799 / ResNo.4)  Re[1]: 確率
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2018/09/10(Mon) 19:53:49)
    横から失礼します。
    らすかるさんの解法を見て閃いたので、一応別解として書き込ませて頂きます。
    # かなり端折って書きます。

    組み合わせの数nCrをC(n, r)と記述します。
    コインの表が出る確率をpとすると1/2 < p ≦ 1です。
    表になるコインの枚数と全コインの枚数nの奇遇が一致する確率をa[n]とします。
    奇遇が一致しない確率をb[n]とします。
    # らすかるさんの記述のqが私の記述のa[n]と同義。

    n = 1のとき、a[1] = p, b[1] = 1-pはほぼ自明。

    n = 2のときは、コイン1とコイン2のの表裏は
    (コイン1, コイン2) = (表, 表)(表, 裏)(裏, 表)(裏, 裏)
    の4通りなので、
    a[2] = C(2, 2)(p^2)+C(2, 0)((1-p)^2)
    b[2] = C(2, 1)p(1-p)
    となります。

    一般のnでは、n = 2の場合から推論して、nが偶数のときs = 0, nが奇数のときs = 1として
    a[n] = C(n, n)(p^n)((1-p)^0)+C(n, n-2)(p^(n-2))((1-p)^2)+・・・+C(n, s)(p^s)((1-p)^(n-s))
    b[n] = C(n, n-1)(p^(n-1))((1-p)^1)+C(n, n-3)(p^(n-3))((1-p)^3)・・・+C(n, 1-s)(p^(1-s))((1-p)^(n-s+1))

    C(n, r) = C(n, n-r)という性質と、二項定理を使えば
    a[n]+b[n] = {p+(1-p)}^n = 1
    a[n]-b[n] = {p-(1-p)}^n = (2p-1)^n

    2p-1 > 0ですから、a[n]-b[n] > 0となり、a[n] > 1/2と言えます。
    ちなみに、
    a[n] = (1/2){1+(2p-1)^n} > 1/2
    b[n] = (1/2){1-(2p-1)^n}
    ですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48806 / ResNo.5)  Re[2]: 確率
□投稿者/ 感謝 一般人(3回)-(2018/09/12(Wed) 08:05:23)
http://感謝
    ふたつの視点から丁寧に説明していただき大変よく理解出来ました。
    有り難うございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-5]



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■48804 / 親記事)  確率
□投稿者/ 教えて下さい 一般人(1回)-(2018/09/11(Tue) 22:52:39)
    n個のくじ箱が並べてあり、どの箱にもn本のくじが入っている。
    左からk番目の箱にはk本の当りくじが入っている。(k=1,2,…,n)
    これらn個のくじ箱から無作為に1つの箱を選び1本くじを引き、
    それを箱に戻しもう一度引いて、少なくとも1本当りを引く確率と
    n個のくじ箱から無作為に2つの箱を選んで1本ずつくじを引き
    少なくとも1本当りを引く確率ではどちらが大きいか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48805 / ResNo.1)  Re[1]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2018/09/12(Wed) 00:02:58)
    前者は
    1-{Σ[k=1〜n-1](1/n)(k/n)}^2=1-{(n-1)/(2n)}^2=(n+1)(3n-1)/(4n^2)=a
    同じ箱から2回引くことにすると
    Σ[k=0〜n-1](1/n){1-(k/n)^2}=(n+1)(4n-1)/(6n^2)=b
    (後者)=cとすると
    ((n-1)/n)c+(1/n)b=aから
    c=(na-b)/(n-1)=(n+1)(9n-2)/(12n^2)
    そして
    c-a=(n+1)/(12n^2)>0なので
    後者の方が大きい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]



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■48373 / 親記事)  接する
□投稿者/ D 一般人(1回)-(2017/11/21(Tue) 01:29:18)
    曲線 x^2+y^2=K が 直線 6*x+9*y=54 接するよう Kを定めよ;
    そのときの 接点をも求めよ;

    曲線 4*(Log[2, x])^3 + (Log[2, y] - 1)^3 = k が 双曲線 x*y=8 に接するよう kを定めよ;
    そのときの 接点をも求めてよ;
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48751 / ResNo.1)  Re[1]: 接する
□投稿者/ muturajcp 一般人(20回)-(2018/08/30(Thu) 16:13:07)
    曲線
    x^2+y^2=K
    が直線
    6x+9y=54
    に接する時
    9y=54-6x
    y=6-2x/3
    x^2+(6-2x/3)^2=K
    13x^2/9-8x+36=K
    x^2-72x/13+324/13=9K/13
    (x-36/13)^2=9K/13-36*9*9/13^2
    (x-36/13)^2=9(13K-324)/13^2
    x=36/13
    y=54/13
    接点(36/13,54/13)
    K=324/13
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48796 / ResNo.2)  Re[1]: 接する
□投稿者/ muturajcp 一般人(22回)-(2018/09/09(Sun) 20:12:22)
    曲線
    x^2+y^2=K
    が直線
    6x+9y=54
    に接する時
    K=324/13
    接点(36/13,54/13)

    曲線
    4(Log[2,x])^3+(Log[2,y]-1)^3=k
    が双曲線
    xy=8
    に接する時
    接点を(x,y)
    X=Log[2,x]
    Y=Log[2,y]
    とすると
    xy=8
    y+xy'=0
    xy'=-y

    Xlog2=logx
    X'log2=1/x
    xX'log2=1
    Ylog2=logy
    Y'log2=y'/y
    yY'log2=y'
    yY'=xy'X'

    4X^3+(Y-1)^3=k
    12X'X^2+3Y'(Y-1)^2=0
    4X'X^2+Y'(Y-1)^2=0
    4yX'X^2+yY'(Y-1)^2=0
    4yX'X^2+xy'X'(Y-1)^2=0
    4yX^2+xy'(Y-1)^2=0

    Y=Log[2,y]
    ↓y=2^3/xだから
    Y=Log[2,2^3/x]=3-X

    4yX^2+xy'(Y-1)^2=0
    ↓xy'=-y,Y=3-Xだから
    4yX^2-y(2-X)^2=0
    4X^2-(2-X)^2=0
    4X^2-X^2+4X-4=0
    3X^2+4X-4=0
    (X+2)(3X-2)=0
    X=-2.又は.X=2/3
    Log[2,x]=-2.又は.Log[2,x]=2/3
    x=1/4.又は.x=2^{2/3}

    x=1/4の時
    y=32=2^5
    X=Log[2,2^{-2}]=-2
    Y=Log[2,2^5]=5
    k
    =4(-2)^3+(5-1)^3
    =64-32
    =32

    x=2^{2/3}の時
    y=2^{7/3}
    X=Log[2,2^{2/3}]=2/3
    Y=Log[2,2^{7/3}]=7/3
    k
    =4(2/3)^3+(7/3-1)^3
    =32/27+64/27
    =32/9

    k=32
    の時接点(x,y)=(1/4,32)

    k=32/9
    の時接点(x,y)=(2^{2/3},2^{7/3})
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48795 / 親記事)  整数
□投稿者/ waka 一般人(3回)-(2018/09/07(Fri) 10:29:09)
    整数の問題の中で、例えば、ある整数nを3で割ったときの余りが2ということを表現するときに, n=3k+2 (kは整数) とかくと思うのですが、この「kは整数」という表記を「k∈Z」と表記したときに問題はありますか。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■48435 / 親記事)  待ち行列
□投稿者/ 名有り 一般人(1回)-(2018/04/10(Tue) 20:12:43)
    1名の店員のレジ、1時間あたり40人の客が訪れるのに対し処理できる人数は1時間にμ人である

    1.1時間あたりλ人の客が注文に訪れ、店員は1時間あたりμ人の処理が可能であるという状況では、注文中を含め商品注文のためにn人の客が待っている確率は以下である
    Pn=(1-λ/μ)(λ/μ)^n (n>=0)
    このとき上記の式が確率になるためのμの条件を示せ

    2.小問1で得た条件の下、以下の関係を満たすことを示せ
    Σ0→∞ Pn=1

    3.上記の不等式を満たす最小のμの中で5の倍数となる値を求めよ

    4.店を訪れた客が注文を開始するまでの平均時間Wqは
    Wq=(λ/μ)/{λ(1-λ/μ)}
    で与えられることが知られている、小問2で求めたμの下、平均時間はどれくらいになるか、単位を分にして回答せよ
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48794 / ResNo.1)  Re[1]: 待ち行列
□投稿者/ muturajcp 一般人(21回)-(2018/09/06(Thu) 19:47:31)
    1名の店員のレジ、1時間あたり40人の客が訪れるのに対し処理できる人数は1時間にμ人である
    1.
    1時間あたりλ人の客が注文に訪れ、
    店員は1時間あたりμ人の処理が可能であるという状況では、
    注文中を含め商品注文のためにn人の客が待っている確率は以下である
    n>=0
    Pn=(1-λ/μ)(λ/μ)^n
    このとき上記の式が確率になるためのμの条件は
    0<Pn<1
    だから
    0<(1-λ/μ)(λ/μ)^n<1
    だから
    0<(1-λ/μ)(λ/μ)<1
    だから
    0<λ/μ<1
    だから
    0<λ<μ

    2.
    Σ_{0→∞}Pn
    =Σ_{0→∞}(1-λ/μ)(λ/μ)^n
    =(1-λ/μ)Σ_{0→∞}(λ/μ)^n
    =(1-λ/μ)/(1-λ/μ)
    =1

    3.
    0<λ<μ
    40<μ
    を満たす最小のμの中で5の倍数となる値は
    45

    4.店を訪れた客が注文を開始するまでの平均時間Wqは
    Wq
    =(λ/μ)/{λ(1-λ/μ)}
    =1/(μ-λ)
    で与えられることが知られている、
    λ=40
    μ=45
    だから
    Wq=1/(45-40)=1/5(時間)=60/5(分)=12(分)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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