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■47328 / 親記事)  センター試験対策問題
□投稿者/ qoqo1212 一般人(1回)-(2015/06/07(Sun) 08:27:07)
    △ABCにおいて、AB=10、BC=9、CA=5とし、∠Aの二等分線と対辺BCとの交点をDとする。また、線分ADの延長と△ABCの外接円Oとの交点をEとする。

    (1)BD=㋐、DC=㋑であり、AD・DE=㋒㋓である。
    △ABDと△AECは相似であるから、AD・AE=㋔㋕である。
    AE=AD+DEであるから、AD=㋖√㋗である。

    (2)点Aにおける円Oの接線を引き、直線BCとの交点をPとすると、∠PAC=∠㋘である。
    ㋘に当てはまるものを、つぎの@〜Cのうちから1つ選べ。(@ABC、AACB、BBAC、CEAC )

    △㋙は二等辺三角形であり、PA=㋚、PC=㋛である。
    ㋙に当てはまるものを次の@〜Cのうちから1つ選べ。
    (@PAB、APAC、BPAD、CPAE)

    センター試験対策問題です。㋐〜㋛までの解き方を教えてください。


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■47322 / 親記事)  自然数、関数、数列、極限
□投稿者/ 田吾作 一般人(1回)-(2015/06/06(Sat) 12:49:42)
    f(n)は自然数を定義域とする関数で、f(1)=1であり、
    互いに素な任意の自然数m,nに対し
    f(mn)=f(m)f(n)
    を満たすものとする。
    集合{p^k|pは素数、kは自然数}の相異なる要素を小さい順に並べた数列を
    a[1]<a[2]<a[3]<……
    とする。
    lim[n→∞]f(a[n])=0ならばlim[n→∞]f(n)=0
    となることの証明を教えて下さい。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47323 / ResNo.1)  Re[1]: 自然数、関数、数列、極限
□投稿者/ IT 一般人(12回)-(2015/06/06(Sat) 16:27:13)
    2015/06/14(Sun) 08:30:27 編集(投稿者)

    lim[n→∞]f(a[n])=0より|f(a[n])|>1となるnは有限個しかない.
    よって,正の数Mがあって任意のa[i]<a[j]...<a[k]について|f(a[i])f(a[j])...f(a[k])|<M

    nを素因数分解して n=a[i]a[j]...a[m],(a[i]<a[j]<..<a[m])とする.
    |f(n)|=|f(a[i])f(a[j])...f(a[m])|<M|f(a[m])|
    n→∞のとき,a[m]→∞すなわちm→∞よってf(a[m])→0
    したがってlim[n→∞]f(n)=0
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■47327 / ResNo.2)  Re[2]: 自然数、関数、数列、極限
□投稿者/ 田吾作 一般人(2回)-(2015/06/06(Sat) 23:10:06)
    簡潔明瞭な解答ありがとうございます。
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■47316 / 親記事)  自然数列
□投稿者/ シカカイ 一般人(1回)-(2015/06/05(Fri) 20:14:51)
    自然数からなる数列 {a[n]} で
    a[n+1]-a[n]→∞ (n→∞)
    かつ
    Σ[n=1,∞]1/a[n]=∞
    となるものの実例を教えて下さい。
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47317 / ResNo.1)  Re[1]: 自然数列
□投稿者/ らすかる 大御所(344回)-(2015/06/05(Fri) 20:24:13)
    {loglogx}'=1/(xlogx) から
    Σ[k=2〜n]1/(klogk)>∫[2〜n]dx/(xlogx)=loglogn-loglog2 → ∞ です。
    従って
    a[n]=[(n+1)log(n+1)] (右辺の[ ]はガウス記号)
    とすれば条件を満たしますね。
    a[n]=[(n+1)log(n+1)] の具体値は
    1,3,5,8,10,13,16,19,23,26,29,33,36,40,44,48,…
    のようになります。
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■47318 / ResNo.2)  Re[2]: 自然数列
□投稿者/ シカカイ 一般人(2回)-(2015/06/05(Fri) 21:28:09)
    確認できました。
    素晴らしい例を有難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47319 / ResNo.3)  Re[3]: 自然数列
□投稿者/ らすかる 大御所(345回)-(2015/06/05(Fri) 22:32:50)
    細かいことですが、
    Σ[k=2〜n]1/(klogk)>∫[2〜n]dx/(xlogx)=loglogn-loglog2 → ∞ は
    Σ[k=2〜n]1/(klogk)>∫[2〜n+1]dx/(xlogx)=loglog(n+1)-loglog2 → ∞
    としないとまずいですね。訂正します。
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■47310 / 親記事)  正三角形 正方形
□投稿者/ スペクター 一般人(1回)-(2015/06/04(Thu) 22:18:29)
    座標平面上の正方形で、
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47311 / ResNo.1)  Re[1]: 正三角形 正方形
□投稿者/ スペクター 一般人(2回)-(2015/06/04(Thu) 22:19:49)
    座標平面上の正三角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか?
    座標平面上の正四角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47314 / ResNo.2)  Re[2]: 正三角形 正方形
□投稿者/ らすかる 大御所(343回)-(2015/06/05(Fri) 02:03:06)
    nは非負整数と仮定します。

    > 座標平面上の正三角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか?
    存在します。
    例えば正三角形が
    y=(√3)(x-1/2)+1/2, y=1/2, y=-(√3)(x-t)
    で作られるとして、
    tを1から増やしていくと内部の格子点がいくらでも増えますが、
    y=-(√3)(x-t) が二つ以上の格子点を同時に通ることはありませんので、
    内部の格子点は必ず1個ずつ増えます。
    従ってちょうどn個含むものは必ず存在します。

    > 座標平面上の正四角形で、格子点をちょうどn個含むものは存在しますか?
    存在します。
    例えば正四角形が
    y=(√3)(x-1/2)+1/2, y=-(1/√3)(x-1/2)+1/2,
    y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2, y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2
    で作られるとして、tを1から増やしていくと内部の格子点がいくらでも増えますが、
    y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2 と y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2 はそれぞれ
    二つ以上の格子点を同時に通ることはなく、また
    y=(√3)(x-1/2)-2t+1/2 と y=-(1/√3)(x-1/2-2t)+1/2 の辺上に
    同時に格子点が存在することもありませんので、
    内部の格子点は必ず1個ずつ増えます。
    従ってちょうどn個含むものは必ず存在します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47315 / ResNo.3)  Re[3]: 正三角形 正方形
□投稿者/ スペクター 一般人(3回)-(2015/06/05(Fri) 08:04:05)
    そう考えればいいんですね。
    有難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47308 / 親記事)  ランダウの記号
□投稿者/ 玉ねぎドレッシング 一般人(1回)-(2015/06/04(Thu) 21:47:01)
    f(n)は自然数から自然数への関数で、ランダウの記号は全てn→∞の話とします。
    任意のε>0に対してf(n)=o(n^ε)であることは、f(n)=O(logn)を意味しますか?
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■47312 / ResNo.1)  Re[1]: ランダウの記号
□投稿者/ ひよこ 一般人(14回)-(2015/06/04(Thu) 22:29:45)
    意味しないかと。

    例えば、f(n)=(log n)^2とか。
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■47313 / ResNo.2)  Re[2]: ランダウの記号
□投稿者/ 玉ねぎドレッシング 一般人(2回)-(2015/06/04(Thu) 22:31:06)
    なるほど、ありがとうございます。
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