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■52056 / 親記事) 　無理関数の積分(大学)
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□投稿者/ 数学太郎 一般人(1回)-(2022/12/21(Wed) 16:52:26)
    どなたかこちらの解き方を教えていただきたいです。

    [-1,0]∫x^2/√(x^2+x+4) dx
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■52438 / ResNo.1) 　Re[1]: 無理関数の積分(大学)
□投稿者/ WIZ 一般人(18回)-(2024/01/06(Sat) 22:50:34)
    2024/01/07(Sun) 12:02:47 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    不定積分を計算してから、定積分の値を求めます。

    F(x) = ∫{(x^2)/√(x^2+x+4)}dxとおきます。

    t-x = √(x^2+x+4)とおくと、
    ⇒ t^2-2tx+x^2 = x^2+x+4
    ⇒ t^2-4 = (2t+1)x・・・(1)

    2t+1 = 0、つまりt = -1/2と仮定すると、
    t^2-2tx+x^2 = 1/4+x+x^2 = x^2+x+4
    ⇒ 1/4 = 4
    と不条理なのでt ≠ -1/2です。

    よって、(1)より、
    x = (t^2-4)/(2t+1)・・・(2)

    (2)より、
    √(x^2+x+4) = t-x = t-(t^2-4)/(2t+1) = (t^2+t+4)/(2t+1)・・・(3)

    (2)(3)より、
    (x^2)/√(x^2+x+4) = (((t^2-4)/(2t+1))^2)/((t^2+t+4)/(2t+1))
    = {(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}・・・(4)

    (2)より、
    dx/dt = {(2t)(2t+1)-(t^2-4)(2)}/{(2t+1)^2} = (2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}・・・(5)

    (4)(5)より、
    F(x) = ∫{{(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}}{(2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}}dt
    = ∫{2{(t^2-4)^2}/{(2t+1)^3}}dt・・・(6)

    u = t+1/2、つまりt = u-1/2とおくと、du = dtで、(6)は、
    F(x) = ∫{2{((u-1/2)^2-4)^2}/{(2u)^3}}du
    = (1/4)∫{{((u^2-u+1/4)-4)^2}/{u^3}}du
    = (1/4)∫{{(u^2-u-15/4)^2}/{u^3}}du
    = (1/4)∫{{u^4-2u^3-(13/2)u^2+(15/2)u+225/16}/{u^3}}du
    = (1/64)∫{16u-32-104/u+120/u^2+225/u^3}du
    = (1/64){8u^2-32u-104log(|u|)-120/u-(225/2)/u^2}
    = (1/128){16u^2-64u-208log(|u|)-240/u-225/u^2}・・・(7)

    計算過程で良く出てくる式を、u = t+1/2 = 1/2+x+√(x^2+x+4) = g(x)とおきます。

    -1 ≦ x ≦ 0なので、x+√((x+1/2)^2+15/4) ≧ -1+(√15)/2 > 0より、
    log(|u|) = log(1/2+x+√(x^2+x+4)) = log(g(x))・・・(9)

    (7)(8)(9)より、
    F(x) = (1/128){16g(x)^2-64g(x)-208log(g(x))-240/g(x)-225/g(x)^2}

    g(0) = 1/2+0+√4 = 5/2
    ⇒ F(0) = (1/128){16(5/2)^2-64(5/2)-208log(5/2)-240/(5/2)-225/(5/2)^2}
    = (1/128){100-160-208log(5/2)-96-36}
    = -(13/8)log(5/2)-3/2

    g(-1) = 1/2-1+√((-1)^2+(-1)+4) = 3/2
    ⇒ F(-1) = (1/128){16(3/2)^2-64(3/2)-208log(3/2)-240/(3/2)-225/(3/2)^2}
    = (1/128){36-96-208log(3/2)-160-100}
    = -(13/8)log(3/2)-5/2

    よって、
    F(0)-F(-1) = {-(13/8)log(5/2)-3/2}-{-(13/8)log(3/2)-5/2}
    = (13/8)log(3/5)+1

    以上から、∫[-1, 0]{(x^2)/√(x^2+x+4)}dx = (13/8)log(3/5)+1となります。
    # 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください!
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■52439 / ResNo.2) 　Re[1]: 無理関数の積分(大学)
□投稿者/ X 一般人(7回)-(2024/01/07(Sun) 10:24:06)
    横から失礼します。

    別解)
    x^2+x+4=(x+1/2)^2+15/4
    ここで
    (2/√15)(x+1/2)=sinht
    と置くと
    (与式)=∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)][{{(1/2)(√15)sinht-1/2}^2}/cosht]coshtdt
    =(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)](sinht-1/√15)^2dt
    =(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2-(2/√15)sinht+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-1/2+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-13/30}dt
    =(15/2){(1/4)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/30)arcsinh(1/√15)}
    =(15/8)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/4)arcsinh(1/√15)
    ここで
    sinh{2arcsinh(1/√15)}=2sinhucoshu (u=arcsinh(1/√15)と置いた)
    =2(1/√15)√{(1/√15)^2+1}
    =8/15
    ∴(与式)=1-(13/4)arcsinh(1/√15)
    (見かけは異なりますが、WIZさんの値と同じです。)
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