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■46990 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ とり天 一般人(1回)-(2015/03/26(Thu) 13:11:27)
    m(m+1)=8n(n+1)
    をみたす自然数(m,n)の求め方おしえてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス16件(ResNo.12-16 表示)]
■47023 / ResNo.12)  Re[3]: 整数問題
□投稿者/ とり天 一般人(2回)-(2015/03/30(Mon) 20:44:44)
    皆様ありがとうございます。
    いろいろ勉強になります。

    もうひとつ分からない問題があるので教えていただけないでしょうか。
    問題集には簡単だと書いてあるのですが、わかりませんでした。
    よろしくお願いします。

    pは素数、kは自然数とするとき、
    m(m+1)=p^(2k)n(n+1)
    をみたす自然数(m,n)は存在しないことを示せ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47024 / ResNo.13)  Re[4]: 整数問題
□投稿者/ みずき 付き人(56回)-(2015/03/30(Mon) 21:42:01)
    No47023に返信(とり天さんの記事)
    > pは素数、kは自然数とするとき、
    > m(m+1)=p^(2k)n(n+1)
    > をみたす自然数(m,n)は存在しないことを示せ。

    次のようにできると思います。
    簡単のため、p^k=qと書くことにします。
    m(m+1)=(q^2)n(n+1)=qn(qn+q)で
    qn(qn+1)<qn(qn+q)<(qn+q-1)(qn+q)が成り立つので
    m=qn+i,(qn+i)(qn+i+1)=(q^2)n(n+1)
    となるような整数i(ただし、1≦i≦q-2)が存在することが必要です。
    (q^2)(n^2)+qn(i+1)+qni+i(i+1)=(q^2)n(n+1)と展開すると
    i(i+1)がqの倍数であることが導かれます。
    iとi+1は互いに素なので、iがqの倍数か、i+1がqの倍数かのいずれかです。
    よって、i≧qまたはi+1≧q、すなわちi≧q-1が導かれますが、
    これは1≦i≦q-2を満たしません。
    よって、条件を満たす(m,n)は存在しません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47025 / ResNo.14)  Re[4]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 大御所(299回)-(2015/03/31(Tue) 04:08:20)
    別解です。
    m(m+1)=p^(2k)n(n+1)
    mとm+1は互いに素だから、mかm+1のどちらか一方がp^(2k)で割り切れる。

    m=qp^(2k)(qは自然数)とすると q{qp^(2k)+1}=n(n+1)
    この式から明らかにn>q、整理して (qp^k+n)(qp^k-n)=n-q
    右辺は正だから、この式が成り立つためにはqp^k-n>0すなわちqp^k-n≧1
    このとき左辺はnより大きいから、右辺と一致しない。

    m+1=qp^(2k)(qは自然数)とすると q{qp^(2k)-1}=n(n+1)
    整理して (qp^k+n)(qp^k-n)=n+q
    右辺は正だから、この式が成り立つためにはqp^k-n>0すなわちqp^k-n≧1
    このとき左辺はn+qより大きいから、右辺と一致しない。

    よって解なし。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47040 / ResNo.15)  Re[5]: 整数問題
□投稿者/ とり天 一般人(3回)-(2015/04/03(Fri) 13:13:19)
    ありがとうございます。わかりました。

    追加で質問なのですが、
    m(m+1)=p^(2k-1)n(n+1)
    をみたす(m,n)は必ず存在するのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47041 / ResNo.16)  Re[6]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 大御所(300回)-(2015/04/03(Fri) 13:30:15)
    m(m+1)=kn(n+1)のkが平方数でないときは必ず解が存在するようですが、
    証明は(今のところ)わかりません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47026 / 親記事)  双曲線?
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2015/03/31(Tue) 18:17:58)
    関数 y=(1-x^2)/(2x) についてです。
    そのグラフは、漸近線が、y軸とy=-x/2 で、片側毎については単調減少である、
    ことはわかるのですが、それが「双曲線」であるのかどうか、を教えて下さい。
    原点を中心に回転させてみたのですが、いわゆる「標準形」にならず、双曲線ではないと思うのですが、・・・・。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47027 / ResNo.1)  Re[1]: 双曲線?
□投稿者/ みずき 付き人(57回)-(2015/03/31(Tue) 19:18:54)
    tanα=((√5)-1)/2,0<α<π/2,a^2=((√5)-1)/2,b^2=((√5)+1)/2
    とするとき、
    原点を中心に時計まわりに角αだけ回転させると双曲線の標準形
    (x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1 が得られると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47029 / ResNo.2)  Re[2]: 双曲線?
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2015/04/01(Wed) 00:03:32)
    みずき様
    さっそくのご教授ありがとうございます。
    直線y=(tanα)x は、2つの漸近線のなす角の2等分線ですね。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47030 / ResNo.3)  Re[1]: 双曲線?
□投稿者/ Def 一般人(1回)-(2015/04/01(Wed) 08:19:49)
    Abs[Sqrt[(-(1/2) Sqrt[1/2 (-1 + Sqrt[5])] (1 + Sqrt[5]) + x)^2 + (-Sqrt[1/2 (-1 + Sqrt[5])] + y)^2] -
    Sqrt[(1/2 Sqrt[1/2 (-1 + Sqrt[5])] (1 + Sqrt[5]) + x)^2 + (Sqrt[1/2 (-1 + Sqrt[5])] + y)^2]]
    = Sqrt[2 (-1 + Sqrt[5])]

    は双曲線です。 簡単にして下さい。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47032 / ResNo.4)  Re[2]: 双曲線?
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2015/04/01(Wed) 22:27:45)
    Def様
    コメントありがとうございます。
    申し訳けありません。お伝え頂いた、数式を再現出来ず、式変形も出来ません。
    よろしかったら、ご教授頂ければうれしいです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47019 / 親記事)  有理数
□投稿者/ トラブリュ 一般人(1回)-(2015/03/30(Mon) 17:35:02)
    次の条件を満たす自然数nを全て教えて下さい。

    条件
    有理数を成分とする可逆な2次正方行列Aが存在して、A^nが単位行列になる。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47020 / ResNo.1)  Re[1]: 有理数
□投稿者/ WIZ 一般人(43回)-(2015/03/30(Mon) 18:15:40)
    A自身を単位行列とすれば、全ての自然数で条件を満たすと思いますが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47021 / ResNo.2)  Re[2]: 有理数
□投稿者/ トラブリュ 一般人(2回)-(2015/03/30(Mon) 18:21:31)
    すみません、Aは単位行列ではないとして下さい。
    位数として何があるか知りたいのです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47028 / ResNo.3)  Re[1]: 有理数
□投稿者/ WIZ 一般人(44回)-(2015/03/31(Tue) 19:49:10)
    回答ではなく参考情報です。

    a, b, c, dを有理数として、A = ((a, b)(c, d)), E = ((1, 0)(0, 1))とすると、
    ケーリーハミルトンの定理より、A^2 = (a+d)A+(bc-ad)Eです。

    上記右辺が単位行列に等しい為には、a+d = 0, bc-ad = 1であれば十分なので、
    aを任意の有理数として、d = -a, b = 1-(a^2), c = 1とすれば十分です。
    よって、n = 2は条件を満たしますが、任意の自然数mに対して、
    A^2 = Eの両辺をm乗すればA^(2m) = E^m = Eとなり、全ての偶数である自然数は条件を満たします。

    奇数については上手い方法が思い付きません。

    n = 3については、A^2 = (a+d)A+(bc-ad)Eの両辺にAを乗じて、
    A^3 = (a+d)(A^2)+(bc-ad)A
    = (a+d)((a+d)A+(bc-ad)E)+(bc-ad)A
    = {(a+d)^2+(bc-ad)}A+(a+d)(bc-ad)E
    となって、
    (a+d)^2+(bc-ad) = 0・・・・・(1)
    (a+d)(bc-ad) = 1・・・・・(2)
    であれば十分です。

    (2)からx = a+dとおけば、x ≠ 0ですので、bc-ad = 1/xです。
    これらを(1)に代入すると、
    (x^2)+1/x = 0 ⇒ (x^3)+1 = 0
    となり、xは有理数ですからx = -1となります。よって、
    a+d = -1・・・・・(3)
    bc-ad = -1・・・・・(4)
    となれば十分です。

    (3)からd = -a-1ですので、これを(4)に代入すると、
    bc-a(-a-1) = -1 ⇒ bc = -(a^2)-a-1となり、b = -(a^2)-a-1, c = 1とすれば十分です。
    以上から、n = 3及び、nが3の倍数である自然数の場合は条件を満たすと言えます。

    一般の2以上の自然数nについては、ケーリーハミルトンの定理から、
    A^n = p[n]A+q[n]Eとなる係数p[n], q[n]をa, b, c, dの式で表すことはできると思いますが、
    上手くa, b, c, dの有理数値を選んで、p[n] = 0, q[n] = 1とできるかまでは計算してません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47017 / 親記事)  約数
□投稿者/ はるひこ 一般人(1回)-(2015/03/30(Mon) 16:28:03)
    次の性質の証明を教えて下さい。

    a,bを4a^3+27b^2≠0をみたす整数とする。
    m,nを0ではない互いに素な整数とする。
    このとき、
      a^2m^4-8bm^3n-2am^2n^2+n^4

      4bm^4+4am^3n+4mn^3
    の最大公約数は、4(4a^3+27b^2)の約数である。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47015 / 親記事)  整数解
□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2015/03/30(Mon) 01:11:42)
    x^3+4 x^2+3 x-187 y^3-935 y^2-1122 y=0
    の整数解を求めよ。(の導出過程をお願いします)

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