■記事リスト / ▼下のスレッド
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(1回)-(2015/04/09(Thu) 23:07:06)
 | x = cos(π/7) と有理数 p, q, r が
px^2 + qx + r = 0
をみたすならば,
p = q = r = 0
であることの証明を教えて下さい.
|
|
|
▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
| ■47084 / ResNo.1) |
Re[1]: cos(π/7)
|
□投稿者/ みずき 付き人(63回)-(2015/04/10(Fri) 00:36:35)
| a=π/7とします。
3a+4a=πよりsin(3a)=sin(4a)なので
(sina)(3-4(sina)^2)=2(sin(2a))(cos(2a))=4(sina)(cosa)(cos(2a))
∴3-4(1-(cosa)^2)=4(cosa){2((cos)^2)-1}
∴8{(cosa)^3}-4{(cosa)^2}-4(cosa)+1=0
よって、x=cosaは8(X^3)-4(X^2)-4X+1=0（・・・(1)）の解です。
(1)の有理数解は、±1/(8の約数)に限られますが、
いずれも(1)の解ではないので(1)は有理数解を持ちません。
ここで、p(x^2)+qx+r=0となるような有理数の組(p,q,r)
（ただし、p≠0かつr≠0）
が存在すると仮定します。
すると、(1)から
A(x-B){p(x^2)+qx+r}=8(x^3)-4(x^2)-4x+1
となるようなA,Bが存在する必要があります。
よって、係数を比較して、Ap=8,-ABr=1
p≠0かつr≠0により、A,Bとも有理数であることが導かれます。
ところが、これは(1)が有理数解を持つ事を意味するので、矛盾です。
よって、p=0またはr=0が導かれました。
・p=0のとき、qx+r=0。q≠0とするとx=-r/qが有理数となるので矛盾。
よって、q=0でr=0。
・r=0のときは、x(px+q)=0。x≠0なので、px+q=0。
p≠0とするとx=-q/pが有理数となるので矛盾。よって、p=0でq=0。
従って、結局、p=q=r=0を導きます。
|
|
|
| ■47085 / ResNo.2) |
Re[2]: cos(π/7)
|
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(2回)-(2015/04/10(Fri) 02:07:53)
| すみません, これは証明になってるんでしょうか ?
|
|
|
| ■47086 / ResNo.3) |
Re[3]: cos(π/7)
|
□投稿者/ みずき 付き人(64回)-(2015/04/10(Fri) 02:58:07)
| すみません。私自身、自分の回答を読み返してみて
怪しい点があるような気がしているので、改めて回答します。
（上の回答は無視してください。失礼しました。）
cos(π/7)が無理数であることは既知とします。
cos(π/7)=αとおきます。
p,q,rを有理数とします。
8α^3-4α^2-4α+1=0・・・(1)
pα^2+qα+r=0・・・(2)
(1)×p-8α×(2)から
p(8α^3-4α^2-4α+1)-8α(pα^2+qα+r)=0
(-4p-8q)α^2+(-4p-8r)α+p=0・・・(3)
(-4p-8q)×(2)-p×(3)から
(-4p-8q)(pα^2+qα+r)-p{(-4p-8q)α^2+(-4p-8r)α+p}=0
{q(-4p-8q)-p(-4p-8r)}α+r(-4p-8q)-p^2=0
ここで、
q(-4p-8q)-p(-4p-8r)≠0と仮定するとαが有理数となり矛盾。
よって、
q(-4p-8q)-p(-4p-8r)=0 かつ r(-4p-8q)-p^2=0
ここで、-4p-8q≠0と仮定すると、r=(p^2)/(-4p-8q)なので
q(-4p-8q)+4(p^2)+{8(p^3)/(-4p-8q)}=0
両辺に -4p-8q をかけて
q{(-4p-8q)^2}+4(p^2)(-4p-8q)+8p^3=0・・・(4)
p=0とすると、q(-8q)^2=0からq=0となるので、p≠0。
(4)の両辺をp^3で割って、q/p=sとおくと
s(-4-8s)^2+4(-4-8s)+8=0
8s^3+8s^2-2s-1=0
これは有理数解を持たないことが分かるので、-4p-8q=0
よって、-p(-4p-8r)=0 かつ -p^2=0
p=0,q=0から、r=0となります。
# 今度はたぶん問題ないと思います。再び間違いがありましたらすみません。
|
|
|
| ■47088 / ResNo.4) |
Re[4]: cos(π/7)
|
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(3回)-(2015/04/10(Fri) 10:12:41)
| ありがとうございます, とてもよく分かりました.
|
解決済み! |
|
■記事リスト /
レス記事表示 →
[親記事-4]
|
で表示されます。
で表示されます。
ベクトル(1)