数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 61]

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三角形と円の関係について(0) |

大学数学重積分(0) |

原始関数問題(0) |

簡単な論理式～変な質問ですみませんが・・・(2) |

割り算(1) |

確率の問題です。大至急お願い致します(0) |

素数(1) |

体積(1) |

フェルマーの最終定理の証明(z=x+rとおく方法)(1) |

熱力学の本に出てくる式変形がわかりません。(0) |

ピタゴラス数の求め方(0) |

二項定理を使ったピタゴラスの定理の証明(0) |

二項定理を使ったフェルマーの最終定理の証明(0) |

2次方程式(3) |

数学A 図形の計算(0) |

ある式の微分における式変形について(2) |

1/(z^2-1) を z = 1 でローラン展開する。(2) |

ベクトル解析のスカラー場について(2) |

フーリエ展開とフーリエ変換(0) |

加速度の次元と速度の次元(1) |

弘前大学　2010年度　理系　過去問です。(1) |

第2可算公理(0) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25) |

大学で出された行列の課題がわかりません。(1) |

広義積分(0) |

至急この問題を解説していただきたいです(0) |

■48842 / 親記事)

　三角関数

□投稿者/ Galaxy 一般人(1回)-(2018/09/26(Wed) 14:45:37)

a,b,cは定数で、任意の実数θに対して
(cos3θ+acos2θ+bcosθ+c)^2+(sin3θ+asin2θ+bsinθ+c)^2=1
が成り立つならばa=b=c=0であることの証明を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48843 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角関数

□投稿者/ らすかる一般人(24回)-(2018/09/26(Wed) 16:17:55)

θ=π/2を代入すると (-a+c)^2+(-1+b+c)^2=1 … (1)
θ=-π/2を代入すると (-a+c)^2+(1-b+c)^2=1 … (2)
(1)-(2)を整理すると (b-1)c=0 … (a)
θ=π/3を代入すると (-1-a/2+b/2+c)^2+((√3/2)a+(√3/2)b+c)^2=1 … (3)
θ=-π/3を代入すると (-1-a/2+b/2+c)^2+(-(√3/2)a-(√3/2)b+c)^2=1 … (4)
(3)-(4)を整理すると (a+b)c=0 … (b)
θ=2π/3を代入すると (1-a/2-b/2+c)^2+(-(√3/2)a+(√3/2)b+c)^2=1 … (5)
θ=-2π/3を代入すると (1-a/2-b/2+c)^2+((√3/2)a-(√3/2)b+c)^2=1 … (6)
(5)-(6)を整理すると (a-b)c=0 … (c)
c≠0と仮定すると(b)(c)からa+b=0,a-b=0なのでa=b=0
すると(a)が成り立たず不適、従ってc=0
(1)+(2)を整理してc=0を代入すると a^2+b^2=2b … (7)
(3)+(5)を整理してc=0を代入すると a^2+b^2=b … (8)
(7)-(8)からb=0、これを(8)に代入してa=0
よって任意の実数θについて与式が成り立つならばa=b=c=0

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■48844 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角関数

□投稿者/ Galaxy 一般人(1回)-(2018/09/26(Wed) 20:44:55)

有り難うございました。
とても助かりました。

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■48824 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 虚言症一般人(1回)-(2018/09/21(Fri) 08:33:32)

$2$0 < x < 2 \pi$ において
$2$ ( \pi -x) \sin x - 2 \cos x \, \log \left( 2 \sin \frac{x}{2} \right) \ge 1$
が成り立つことの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48838 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(22回)-(2018/09/23(Sun) 14:22:56)

与不等式の左辺はx=πに関して対称なので、0＜x≦πに関して示せば十分。

0＜x≦π/2のとき
sinx＞x-x^3/6=(-x^3+6x)/6
cosx＜1-x^2/2+x^4/24=(x^4-12x^2+24)/24
2sin(x/2)＜xから
log(2sin(x/2))＜logx＜(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
=(2x^3-9x^2+18x-11)/6
なので
(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
＞(3-x)(-x^3+6x)/6-2(x^4-12x^2+24)/24・(2x^3-9x^2+18x-11)/6
=(-2x^7+9x^6+6x^5-85x^4+132x^3+12x^2-216x+264)/72
=(2t^7+129xt^5+(783x^3+4796)t^2+3(5x+36)t^3+17654t+41984)/157464+1
＞1　（ただしt=5-3x＞0）

π/2≦x≦πのときy=π-xとおくと0≦y≦π/2で
(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))
=ysin(π-y)-2(cos(π-y))log(2sin((π-y)/2))
=ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
siny＞y-y^3/6=(-y^3+6y)/6
cosy＞1-y^2/2=(-y^2+2)/2
2cos(y/2)＞(16-3y)/8から
log(2cos(y/2))＞log((16-3y)/8)＞(8-3y)/8-((8-3y)/8)^2/2
=(-9y^2+64)/128
なので
ysiny+2(cosy)log(2cos(y/2))
＞y(-y^3+6y)/6+2(-y^2+2)/2・(-9y^2+64)/128
=(-37y^4+138y^2+384)/384
=y^2(138-37y^2)/384+1
≧1

∴(π-x)sinx-2(cosx)log(2sin(x/2))≧1

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■48839 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ 虚言症一般人(2回)-(2018/09/24(Mon) 22:50:11)

有り難うございます。

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■48827 / 親記事)

　三次方程式

□投稿者/ 大阪なほみ一般人(2回)-(2018/09/22(Sat) 16:04:38)

実数a,b,cが0＜a＜c＜b＜1を満たすとき、
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=0
の解は全て絶対値が2以下であることを示せ。

教えて下さい。よろしくお願いします。

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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]

■48828 / ResNo.1)

　Re[1]: 三次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(15回)-(2018/09/22(Sat) 18:19:08)

x＞2のとき
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x-2)(x^2+x-1)+(x^2-2)(1-a)+b(x-1)+(b-c)＞0
x＜-2のとき
x^3-ax^2+(b-3)x+2a-c=(x+2){x^2+(1-x)}-(x+1)^2-ax^2+bx-(c-a)-(1-a)＜0
∴解の絶対値は2以下

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■48829 / ResNo.2)

　Re[2]: 三次方程式

□投稿者/ 大阪なほみ一般人(3回)-(2018/09/22(Sat) 20:07:36)

ひとつ質問よろしいでしょうか。
虚数解をもつことはないのでしょうか？

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■48831 / ResNo.3)

　Re[3]: 三次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(16回)-(2018/09/22(Sat) 23:28:17)

ごめんなさい、勝手に実数範囲と思い込んでいました。
でも虚数解を持つかどうか調べたところ、
この方程式はたまたま全ての解が実数ですので
（そのことを示す必要はありますが）大丈夫でした。

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■48836 / ResNo.4)

　Re[4]: 三次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(21回)-(2018/09/23(Sun) 07:31:02)

解答を以下のように訂正します。

f(x)=x^3-ax^2+(b-3)x+2a-cとすると
f(-2)=-(2a+2b+c+2)＜0
f(-1)=a+(1-b)+(1-c)＞0
f(1)=-{(1-a)+(1-b)+c}＜0
f(2)=2(1-a)+(b-c)+b＞0
なので、f(x)=0は(-2,-1),(-1,1),(1,2)の各区間内に実数解を一つずつ持つ。
従ってf(x)=0の解は全て絶対値が2以下。

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■48837 / ResNo.5)

　Re[5]: 三次方程式

□投稿者/ 大阪なほみ一般人(4回)-(2018/09/23(Sun) 11:36:47)

ありがとうございます！！
こうやれば良かったんですね。
非常に爽快な解法を教えていただき
大変勉強になりました。

解決済み!

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■48830 / 親記事)

　数列

□投稿者/ 楼蘭山一般人(1回)-(2018/09/22(Sat) 20:44:15)

数列{a[n]}は、a[1]=1/2であり、
全てのn≧2に対して
a[n]=(1/2)Σ[k=1,n-1]a[k]a[n-k]
を満たしている。
(1)全てのn≧2に対して、
Σ[i=1,n-1]a[i](Σ[j=1,n-i]a[j])=2Σ[k=2,n]a[k]
および
2na[n]=1-Σ[k=1,n-1]a[k]
が成り立つことを示せ。
(2)a[n]をnで表せ。

(1)から分かりません。お願いします。

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■48814 / 親記事)

　複素級数のコーシー積

□投稿者/ Make 一般人(1回)-(2018/09/15(Sat) 18:30:48)

複素級数のコーシー積の絶対収束性（写真の上の問い）を証明したのですが、これで正しいでしょうか？

解答は、次のコメントで添付します。

1700×2338 => 182×250