数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■ 過去ログ検索の勧め⇒ここを読んでみてください
google検索

 
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。
検索条件:
現在のログを検索過去のログを検索
■ 2006/2/20より、累計:、本日:、昨日:
数式の記述方法
TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \] あるいは,$ TeX形式数式 $ で数式を記述します。
 TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは New で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは UpDate で表示されます。

記事リスト ( )内の数字はレス数
UpDate互いに素(1) | UpDateベクトルについて。(1) | UpDate二次方程式について。(1) | UpDate図形について。(1) | UpDate埋め(1) | Nomalベクトル(1) | Nomal極値(1) | Nomal極値(1) | Nomal代数学の問題(1) | Nomal位相空間の問題(1) | Nomal剰余の定理について。(1) | Nomal積分計算(2) | Nomal広義積分の質問(4) | Nomal積分範囲の極限(2) | Nomal複素数計算(2) | Nomal複素数の実部と虚部の分け方がわかりません(3) | Nomal(削除)(0) | Nomal正接の値(2) | Nomal積分に関する質問(1) | Nomal順列(6) | Nomal確率(1) | Nomal直線の通過領域(1) | Nomal場合の数(3) | Nomal数学検定2級について。(0) | Nomal二次関数について。(4) | Nomal円(5) | Nomal円順列(2) | Nomal不等式(4) | Nomal複素数(1) | Nomal待ち行列(0) | Nomal模範解答の解説お願いします(1) | Nomal三角関数(1) | Nomal確率(1) | NomalP(a,b,c) = P(c|b) * P(b|a) 成立条件?(0) | Nomal確率統計についてです(0) | Nomal不等式(4) | Nomal自然数の和と倍数の性質(0) | Nomal円環(3) | Nomal模範解答の解説お願いします(0) | Nomal三角関数(1) | Nomal微分(2) | Nomal√3 v.s. √-3(2) | Nomal多項式の解と係数(0) | Nomal有理数と整数(2) | Nomal曲線の長さ(1) | Nomal数的推理(3) | Nomal数的推理(2) | Nomal連立(1) | Nomal接する(0) | Nomal複素数(3) | Nomal2階導関数・第2次導関数(0) | Nomal微分(1) | Nomal数学では循環する定義・公理は許されていますか(1) | Nomal実数解の取り得る値の範囲(2) | Nomalベクトルについて。(0) | Nomalクロム ハーツ 首饰 コピー(0) | Nomalベクトル場の問題(0) | Nomal自然数の謎(4) | Nomalバルビエの定理証明(1) | Nomal三角形(0) | Nomal数列(8) | Nomal整式について。(0) | Nomal確率について。(0) | Nomal直線と三角形(1) | Nomal2変数関数(1) | Nomal平行四辺形(2) | Nomal計算量について(1) | Nomal昔の東大模試の数列(2) | Nomal準同型写像(3) | Nomal互いに素(2) | Nomal数列の最大項(1) | Nomal数列とmod(2) | Nomal数列とmod(7) | Nomal2^(1/3)-1(0) | Nomalどう並べ替えても一部を取り出しても素数(5) | Nomal漸化式(10) | Nomal数と式(2) | Nomal不等式(2) | Nomal放物線と円(3) | Nomal四角形(3) | Nomal平方数の和(mod p)、個数(0) | Nomal複素数の計算(4) | Nomal調和級数(0) | Nomalcos方程式(0) | Nomal整数の方程式(4) | Nomalガンマ関数(0) | Nomal場合の数について。(0) | Nomalコンパクトである事の証明が(1) | Nomal(1/4)(3:4:5)(2) | Nomal漸化式(6) | Nomal等比数列の問題です(4) | Nomal3次方程式(6) | Nomal漸化式と極限(2) | Nomal互いに素?(4) | Nomal(削除)(5) | Nomalなぜy軸対称となるのかが理解できません。(2) | Nomal(削除)(2) | Nomal多項式の決定(1) | Nomal場合の数について。(1) | Nomal連結集合のはなし(1) |



■記事リスト / ▼下のスレッド
■47083 / 親記事)  cos(π/7)
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(1回)-(2015/04/09(Thu) 23:07:06)
    x = cos(π/7) と有理数 p, q, r が
       px^2 + qx + r = 0
    をみたすならば,
       p = q = r = 0
    であることの証明を教えて下さい.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47084 / ResNo.1)  Re[1]: cos(π/7)
□投稿者/ みずき 付き人(63回)-(2015/04/10(Fri) 00:36:35)
    a=π/7とします。
    3a+4a=πよりsin(3a)=sin(4a)なので
    (sina)(3-4(sina)^2)=2(sin(2a))(cos(2a))=4(sina)(cosa)(cos(2a))
    ∴3-4(1-(cosa)^2)=4(cosa){2((cos)^2)-1}
    ∴8{(cosa)^3}-4{(cosa)^2}-4(cosa)+1=0
    よって、x=cosaは8(X^3)-4(X^2)-4X+1=0(・・・(1))の解です。
    (1)の有理数解は、±1/(8の約数)に限られますが、
    いずれも(1)の解ではないので(1)は有理数解を持ちません。

    ここで、p(x^2)+qx+r=0となるような有理数の組(p,q,r)
    (ただし、p≠0かつr≠0)
    が存在すると仮定します。
    すると、(1)から
    A(x-B){p(x^2)+qx+r}=8(x^3)-4(x^2)-4x+1
    となるようなA,Bが存在する必要があります。
    よって、係数を比較して、Ap=8,-ABr=1
    p≠0かつr≠0により、A,Bとも有理数であることが導かれます。
    ところが、これは(1)が有理数解を持つ事を意味するので、矛盾です。

    よって、p=0またはr=0が導かれました。
    ・p=0のとき、qx+r=0。q≠0とするとx=-r/qが有理数となるので矛盾。
     よって、q=0でr=0。
    ・r=0のときは、x(px+q)=0。x≠0なので、px+q=0。
     p≠0とするとx=-q/pが有理数となるので矛盾。よって、p=0でq=0。

    従って、結局、p=q=r=0を導きます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47085 / ResNo.2)  Re[2]: cos(π/7)
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(2回)-(2015/04/10(Fri) 02:07:53)
    すみません, これは証明になってるんでしょうか ?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47086 / ResNo.3)  Re[3]: cos(π/7)
□投稿者/ みずき 付き人(64回)-(2015/04/10(Fri) 02:58:07)
    すみません。私自身、自分の回答を読み返してみて
    怪しい点があるような気がしているので、改めて回答します。
    (上の回答は無視してください。失礼しました。)

    cos(π/7)が無理数であることは既知とします。
    cos(π/7)=αとおきます。

    p,q,rを有理数とします。
    8α^3-4α^2-4α+1=0・・・(1)
    pα^2+qα+r=0・・・(2)

    (1)×p-8α×(2)から
    p(8α^3-4α^2-4α+1)-8α(pα^2+qα+r)=0
    (-4p-8q)α^2+(-4p-8r)α+p=0・・・(3)

    (-4p-8q)×(2)-p×(3)から
    (-4p-8q)(pα^2+qα+r)-p{(-4p-8q)α^2+(-4p-8r)α+p}=0
    {q(-4p-8q)-p(-4p-8r)}α+r(-4p-8q)-p^2=0

    ここで、
    q(-4p-8q)-p(-4p-8r)≠0と仮定するとαが有理数となり矛盾。
    よって、
    q(-4p-8q)-p(-4p-8r)=0 かつ r(-4p-8q)-p^2=0
    ここで、-4p-8q≠0と仮定すると、r=(p^2)/(-4p-8q)なので
    q(-4p-8q)+4(p^2)+{8(p^3)/(-4p-8q)}=0
    両辺に -4p-8q をかけて
    q{(-4p-8q)^2}+4(p^2)(-4p-8q)+8p^3=0・・・(4)
    p=0とすると、q(-8q)^2=0からq=0となるので、p≠0。
    (4)の両辺をp^3で割って、q/p=sとおくと
    s(-4-8s)^2+4(-4-8s)+8=0
    8s^3+8s^2-2s-1=0
    これは有理数解を持たないことが分かるので、-4p-8q=0
    よって、-p(-4p-8r)=0 かつ -p^2=0
    p=0,q=0から、r=0となります。

    # 今度はたぶん問題ないと思います。再び間違いがありましたらすみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47088 / ResNo.4)  Re[4]: cos(π/7)
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(3回)-(2015/04/10(Fri) 10:12:41)
    ありがとうございます, とてもよく分かりました.
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-4]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■47082 / 親記事)  楕円
□投稿者/ LP 一般人(3回)-(2015/04/09(Thu) 23:03:32)
    2次曲線 C ;2 x^2+4 x y+4 x+3 y^2+5 y=366 について
    (1) C は 楕円であることを 焦点 F1,F2 を求め PF1+PF2=一定 と表示し 示せ。
    (2) C上の格子点を求めよ。
    (3) 格子点のひとつをP1=(x1,y1)とする 角F1P1F2 を 求めよ。
    (4) C の 媒介変数表示を 求めよ。
    (5) Cで囲まれる部分の面積を色々な方法で求めよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■47076 / 親記事)  有理数
□投稿者/ ぴゅいず 一般人(1回)-(2015/04/09(Thu) 20:41:19)
    有理数 a, b, p, q が
      a^2 - 2b^2 + 5(p^2 - 3q^2) = 0
    をみたすならば,
      a = b = p = q = 0
    であることの証明を教えて下さい.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47078 / ResNo.1)  Re[1]: 有理数
□投稿者/ らすかる 大御所(303回)-(2015/04/09(Thu) 21:24:45)
    もしa=b=p=q=0以外に与式を満たす有理数があれば、
    適当に平方数倍することで与式を満たすa=b=p=q=0以外の整数もある。
    よってa=b=p=q=0以外の整数解がないことを示せばよいので、
    a,b,p,qは整数と仮定する。
    a^2-2b^2=5(3q^2-p^2)
    a≡0(mod5)のときa^2≡0(mod5)
    そうでないときa^2≡±1(mod5)
    b≡0(mod5)のとき2b^2≡0(mod5)
    そうでないとき2b^2≡±2(mod5)
    従ってa^2-2b^2が5の倍数になるためにはa≡b≡0(mod5)でなければならない。
    このときa^2-2b^2は25の倍数になるから、p^2-3q^2も5の倍数でなければならないが、
    上と同様の議論でp^2-3q^2が5の倍数になるためには
    p≡q≡0(mod5)でなければならないことがわかる。
    a=b=p=q=0でなくa,b,p,qが5の倍数のとき、
    a=b=0でないからa^2-2b^2の素因数5の個数は偶数個、
    p=q=0でないから5(3q^2-p^2)の素因数5の個数は奇数個となり、
    等式は成り立たない。
    従ってa=b=p=q=0のときのみ式が成り立つ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47080 / ResNo.2)  Re[2]: 有理数
□投稿者/ ぴゅいず 一般人(2回)-(2015/04/09(Thu) 21:59:18)
    ありがとうございました。
    よく分かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■47071 / 親記事)  楕円について
□投稿者/ LP 一般人(1回)-(2015/04/07(Tue) 01:42:47)
    楕円 21 x^2 + 10 Sqrt[3] x y + 31 y^2 = 2 (902 + 175 Sqrt[3])
    について 楕円上の格子点 と 面積を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47077 / ResNo.1)  Re[1]: 楕円について
□投稿者/ みずき 付き人(62回)-(2015/04/09(Thu) 21:12:17)
    (√3)(10xy-350)=1804-21x^2-31y^2
    10xy-350≠0と仮定すると、
    √3=(1804-21-31y^2)/(10xy-350)
    整数x,yに対して(無理数)=(有理数)となり矛盾。
    よって、10xy-350=0,1804-21x^2-31y^2=0を解いて、
    楕円上の格子点は(x,y)=(7,5),(-7,-5)の2点のみ。

    x,yをxcos(-π/6)-ysin(-π/6),xsin(-π/6)+ycos(-π/6)にそれぞれ置換すると
    (x^2)/(9α)+(y^2)/(4α)=1
    よって、面積は6απ(ただし、α=(902+175√3)/72)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47079 / ResNo.2)  Re[2]: 楕円について
□投稿者/ LP 一般人(2回)-(2015/04/09(Thu) 21:43:17)
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



■記事リスト / ▲上のスレッド
■47001 / 親記事)  線形写像の相似についての照明
□投稿者/ akina 一般人(1回)-(2015/03/28(Sat) 05:36:43)
    VをF上の有限次元線形空間とする。
    f,g∈L(V)に於いて,f〜g⇔∃h∈L(V);f=h^-1ghと定義してfとgは相似と呼ぶ事にする。

    この時,下記の真偽を判定せよ。
    (i) f^-1〜g^-1 ⇒ f〜g
    (ii) f〜g ⇒ f^2〜g^2
    (iii) fg〜gf
    (iv) fが逆写像を持つならfg〜gf.

    という問題なのですが,いまいち分かりません。
    (i)については,
    f^-1〜g^-1からf^-1=h^-1g^-1hと掛け,これから
    id=fh^-1g^-1hとなりますよね(idは恒等写像)?

    具体的にどのように変形してけばいいでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■47003 / ResNo.2)  Re[1]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ Samantha 一般人(1回)-(2015/03/28(Sat) 09:38:44)


    とすればいいのではないでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47010 / ResNo.3)  Re[2]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ akina 一般人(2回)-(2015/03/29(Sun) 11:31:48)
    f^-1(V)=h^-1g^-1h(V)
    ⇔h(V)=g^-1hf(V)
    ⇔gh(V)=hf(V)
    ⇔h^-1gh(V)=f(V)
    を示すのですよね。

    f^-1=h^-1g^-1h
    ⇔h=g^-1hf
    ⇔gh=hf
    ⇔h^-1gh=f
    という具合に方程式の変形の感じでいいのですね。簡単ですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47069 / ResNo.4)  Re[3]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ akina 一般人(3回)-(2015/04/06(Mon) 05:03:45)
    再度質問です。

    f〜g ⇒ f'〜g'
    はどうすれば導けますか?

    f',g'は夫々f,gの随伴写像,∀(x,y)∈V×L(V)に対し,(f'(y))(x)=y(f(x))です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47070 / ResNo.5)  Re[4]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ Samantha 一般人(6回)-(2015/04/06(Mon) 22:07:22)
    fh=hgのときh'f'=g'h'となることを示してみましょう。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47075 / ResNo.6)  Re[5]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ akina 一般人(4回)-(2015/04/09(Thu) 09:47:07)
    有難うございます。お蔭様で上手くいきました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-6]






Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター