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■47855 / 親記事)  多項式の決定
□投稿者/ からすがれい 一般人(1回)-(2017/02/05(Sun) 13:51:55)
    aを正の定数とするとき、次の(1),(2)の条件を同時に満たすような
    実数係数の5次関数y=f(x)をすべて求めよ。
    (1) f(a)=a, f(-a)=-a
    (2) -a<x<a の範囲で極大、極小となる点が2点ずつ存在し、 
       極大値はいずれもa、極小値はいずれも-aである。

    教えて下さい!
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■47856 / ResNo.1)  Re[1]: 多項式の決定
□投稿者/ みずき 一般人(1回)-(2017/02/06(Mon) 17:07:44)
    条件から
    f(x)=b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a=b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a
    なる実数b,c,d,f,g (b>0,c<d,f<g)が存在します。

    (b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a)'=5b(x-c)(x-d)(x^2+(-4a-3c-3d)x/5+(2a(c+d)+cd)/5)
    x^2+(-4a-3c-3d)x/5+(2a(c+d)+cd)/5=0 の2解は c,d だから
    f+g=-(-4a-3c-3d)/5
    fg=(2a(c+d)+cd)/5

    (b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a)'=5b(x-f)(x-g)(x^2+(4a-3f-3g)x/5+(-2a(f+g)+fg)/5)
    x^2+(4a-3f-3g)x/5+(-2a(f+g)+fg)/5=0 の2解は c,d だから
    c+d=-(4a-3f-3g)/5
    cd=(-2a(f+g)+fg)/5

    よって c+d=-a/2, cd=-a^2/4, f+g=a/2, fg=-a^2/4
    ∴ c=(-1-√5)a/4, d=(-1+√5)a/4, f=(1-√5)a/4, g=(1+√5)a/4

    b(x-c)^2(x-d)^2(x-a)+a=b(x-f)^2(x-g)^2(x+a)-a の定数項を比較して
    b(c^2d^2+f^2g^2)=2
    ∴ b=16/a^4

    以上から
    f(x)=(16/a^4)x^5+(-20/a^2)x^3+5x
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■47853 / 親記事)  場合の数について。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2017/01/28(Sat) 18:02:17)
    平面上に直線aと直線βがある。2直線とも平行で、直線aに点が6こ直線βに3こ点がある。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47854 / ResNo.1)  Re[1]: 場合の数について。
□投稿者/ コルム 一般人(2回)-(2017/01/28(Sat) 18:03:08)
    (2)の答えは、186通り(3)の答えは、15通り
    (4)は540通り(5)は10通り(6)は701通り
    となるような問題文を考えていただけると幸いです。
    まとめて書いてすみません。
    無理でしたら、答えなくても大丈夫です。
    でも、答えていただけると、幸いです。
    ご迷惑をおかけします。
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■47838 / 親記事)  連結集合のはなし
□投稿者/ コメムシ 一般人(1回)-(2016/12/05(Mon) 03:12:43)
    X_1,X_2を位相空間とし,A⊂X_1×X_2を連結集合とする時,
    {x_1∈X_1;(x_1,x_2)∈A}と{x_2∈X_2;(x_1,x_2)∈A}も連結集合になる事を示していただけませんでしょうか?
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47851 / ResNo.1)  Re[1]: 連結集合のはなし
□投稿者/ 集合 一般人(1回)-(2017/01/11(Wed) 12:03:05)
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■47847 / 親記事)  位相空間の問題
□投稿者/ ユークリッド 一般人(1回)-(2017/01/07(Sat) 23:55:27)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする。AはdのAへの制限により距離空間となる。このとき、次の条件が同値であることを示せ。

    (1)(A,d)は完備。

    (2)Aは(X,d)の閉集合。

    全然分かりません。よろしくお願いします。
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■47843 / 親記事)  超フィルタの定義はこれでOK?
□投稿者/ EE 一般人(1回)-(2016/12/29(Thu) 23:38:13)
    Ωを全体集合とする。
    [定義1] F⊂2^ΩがΩ上のフィルタ ⇔(def) (i) Ω∈F,φ∈F, (ii) F∋a⊂b⊂Ω⇒b∈F, (iii) a,b∈F⇒a∩b∈F.
    [定義2] F⊂2^ΩがΩ上の超フィルタ ⇔(def) (i) FはΩ上のフィルタ, (ii) a∈F ⇒ Ω\a∈F.

    どこか間違ってますでしょうか? 間違ってましたら訂正をお願い致します。
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