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■47131 / 親記事)  三角関数
□投稿者/ sincostan 一般人(1回)-(2015/04/23(Thu) 11:30:45)
    実数θが
    sinθ+sin2θ+sin3θ=cosθ+cos2θ+cos3θ
    をみたすとき、
    tanθ+tan2θ+tan3θ
    の値を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47133 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数
□投稿者/ みずき 付き人(70回)-(2015/04/23(Thu) 20:42:12)
    sinθ+sin2θ+sin3θ=cosθ+cos2θ+cos3θ
    (sinθ-cosθ)+(sin3θ-cos3θ)+(sin2θ-cos2θ)=0
    -(√2)sin(π/4-θ)-(√2)sin(π/4-3θ)-(√2)sin(π/4-2θ)=0
    sin(π/4-θ)+sin(π/4-3θ)+sin(π/4-2θ)=0
    2cosθsin(π/4-2θ)+sin(π/4-2θ)=0
    (2cosθ+1)sin(π/4-2θ)=0
    cosθ=-1/2 または sin(π/4-2θ)=0
    θ=2π/3+2nπ または θ=4π/3+2nπ または θ=π/8-nπ/2
    (ただし、nは任意の整数)

    ・θ=2π/3+2nπのとき
     2θ=4π/3+4nπ、3θ=2π+6nπにより
     tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(2π/3)+tan(4π/3)+tan(2π)=-√3+√3+0=0

    ・θ=4π/3+2nπのとき
     2θ=8π/3+4nπ、3θ=4π+6nπにより
     tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(4π/3)+tan(8π/3)+tan(4π)=√3-√3+0=0

    ・θ=π/8-nπ/2のとき
     2θ=π/4-nπ、3θ=3π/8-3nπ/2
    n=4mのとき、θ=π/8-2mπ、2θ=π/4-4mπ、3θ=3π/8-6mπで
    tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(π/8)+tan(π/4)+tan(3π/8)=√2-1+1+√2+1=2√2+1
    n=4m+1のとき、θ=-3π/8-2mπ、2θ=-3π/4-4mπ、3θ=-9π/8-6mπで
    tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(-3π/8)+tan(-3π/4)+tan(-9π/8)=-1-√2+1+1-√2=1-2√2
    n=4m+2のとき、θ=-7π/8-2mπ、2θ=-7π/4-4mπ、3θ=-21π/8-6mπで
    tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(-7π/8)+tan(-7π/4)+tan(-21π/8)=√2-1+1+1+√2=2√2+1
    n=4m+3のとき、θ=-11π/8-2mπ、2θ=-11π/4-4mπ、3θ=-33π/8-6mπで
    tanθ+tan2θ+tan3θ=tan(-11π/8)+tan(-11π/4)+tan(-33π/8)=-1-√2+1+1-√2=1-2√2

    以上により、tanθ+tan2θ+tan3θ=0 または 1±2√2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47134 / ResNo.2)  Re[1]: 三角関数
□投稿者/ val 一般人(1回)-(2015/04/23(Thu) 20:42:39)
    1 - 2 Sqrt[2], 0 , 1 + 2 Sqrt[2] です

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47140 / ResNo.3)  Re[2]: 三角関数
□投稿者/ sincostan 一般人(2回)-(2015/04/25(Sat) 17:35:12)
    有難うございました。
    とてもよく分かりました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47135 / 親記事)  調和級数
□投稿者/ あヴちゃん 一般人(1回)-(2015/04/23(Thu) 23:52:21)
    nを1より大きい整数とし、
    H[n]=Σ[k=1,n]1/k
    とする。
    (1)H[n]は整数ではないことを示せ。
    (2)Σ[k=1,n]H[k]は整数ではないことを示せ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47136 / ResNo.1)  Re[1]: 調和級数
□投稿者/ みずき 付き人(71回)-(2015/04/24(Fri) 02:35:56)
    (1)
    例えば、こちら(↓)をご覧になられてはいかがでしょう。
    http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sum/sum4.htm

    (2)
    n>1に対してΣ[k=1,n]H[k]が整数であると仮定します。
    Σ[k=1,n]H[k]
    =Σ[k=1,n]Σ[i=1,k]1/i
    =Σ[i=1,n](1/i)Σ[k=i,n]1
    =Σ[i=1,n](1/i)(n-i+1)
    =(n+1)Σ[i=1,n](1/i)-Σ[i=1,n]1
    =(n+1)H[n]-n
    =(n+1)(H[n+1]-1)
    なので (n+1)H[n+1]は整数です。
    pをn以下の最大の素数とすると
    {(n+1)!}H[n+1]/p-{(n+1)!}{Σ[k≠p,1≦k≦n](1/k)}/p=(n+1)!/p
    左辺は整数ですが、右辺は整数ではありません。
    これは矛盾なので、冒頭の仮定が誤りであることが導かれました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47137 / ResNo.2)  Re[2]: 調和級数
□投稿者/ みずき 付き人(72回)-(2015/04/24(Fri) 02:53:04)
    最後のところがやや説明不足だったかもしれませんので、
    次を補足しておきます。

    「ベルトラン=チェビシェフの定理により、
    pはn+1以下のどの正整数とも互いに素です。」
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47138 / ResNo.3)  Re[3]: 調和級数
□投稿者/ IT 一般人(1回)-(2015/04/24(Fri) 19:49:55)
    No47137に返信(みずきさんの記事)
    横から失礼します。
    > 「ベルトラン=チェビシェフの定理により、
    > pはn+1以下のどの正整数とも互いに素です。」
    pはp自身と互いに素ではないと思いますが?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47139 / ResNo.4)  Re[4]: 調和級数
□投稿者/ みずき 付き人(73回)-(2015/04/24(Fri) 20:14:19)
    >>ITさん
    おっしゃる通りですね。ご指摘ありがとうございます。

    >>あヴちゃんさん
    失礼しました。
    「pはp自身を除くn+1以下のどの正整数とも互いに素です」
    に訂正します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47132 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ 高校生 一般人(1回)-(2015/04/23(Thu) 16:05:23)
    次の2つの条件をみたす自然数a,b,cを求めよ
    ・√(abc)は自然数
    ・(a-1)(b-1)(c-1)は√(abc)で割り切れる

    教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47129 / 親記事)  格子点
□投稿者/ Z 一般人(7回)-(2015/04/23(Thu) 00:16:50)
    16 x^5 + 4 x^3 y^2 - 128 x^4 z - 144 x^2 y^2 z - 27 y^4 z + 256 x^3 z^2=0
             の整数解をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47125 / 親記事)  格子点
□投稿者/ Z 一般人(6回)-(2015/04/22(Wed) 15:22:50)
    -x^3 z-3 x y^2 z+y^4-y^2 z^2=0 の 整数解をお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47126 / ResNo.1)  Re[1]: 格子点
□投稿者/ みずき 付き人(68回)-(2015/04/22(Wed) 20:31:35)
    -x^3z-3xy^2z+y^4-y^2z^2=0

    x=0のときy^2(y-z)(y+z)=0により、y=0またはy=±z

    以下x≠0として両辺をx^4で割り、y/x=s,z/x=tとおくと
    -t-3s^2t+s^4-s^2t^2=0⇔s^2t^2+(3s^2+1)t-s^4=0(・・・★)

    s=0のときはt=0

    以下s≠0と仮定して、★をtについて解くと
    t={-3s^2-1±(s^2+1)√(4s^2+1)}/(2s^2)
    tが有理数であるためには、4s^2+1が有理数の2乗であることが必要。
    s=q/p(p,qは整数でpは正)とおくと
    4s^2+1=4(q/p)^2+1=(4q^2+1)/(p^2)
    だから、4q^2+1が平方数であることが必要。
    4q^2+1が平方数になるのはq=0のときだけであることが知られているので
    s=0を導くが、これは矛盾。

    以上により、格子点は以下で全てです。ただし、kを任意の整数とします。
    (x,y,z)=(0,0,k),(0,k,k),(0,k,-k),(k,0,0)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47127 / ResNo.2)  Re[1]: 格子点
□投稿者/ WIZ 付き人(53回)-(2015/04/22(Wed) 23:46:29)
    みずきさんへ

    > 4s^2+1=4(q/p)^2+1=(4q^2+1)/(p^2)

    計算間違いしてませんか?
    4(q/p)^2+1 = (4q^2+p^2)/(p^2)
    ですよね?

    4q^2+p^2が平方数になるのは、q ≠ 0の場合もあると思います。
    q = 2, p = 3とか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47128 / ResNo.3)  Re[2]: 格子点
□投稿者/ みずき 付き人(69回)-(2015/04/23(Thu) 00:02:17)
    >>WIZさん

    おっしゃる通りですね。ご指摘ありがとうございます。

    >>Zさん

    失礼しました。私の47126の回答は無視してください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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