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□投稿者/ 滝川 一般人(1回)-(2022/10/10(Mon) 14:35:01)
 | dを実数のユークリッド距離とし、U={x∈R | x≧0}とする。
d_U(x,y)=|x-y| としたとき、Uの部分集合S=[0,1]に対して、(U, d_U)において、
Sの内部は[0,1)で、Sの境界は{1}になることはどうやって示せばよいでしょうか？
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
| ■52134 / ResNo.1) |
Re[1]: 距離空間
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□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2023/03/26(Sun) 21:19:32)
| a∈U
ε>0
に対して
B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
をaのε近傍という
G⊂U
に対して
任意の
a∈G
に対して
B(a,ε)⊂G
となるようなε>0が存在するとき
GはUの開集合と定義する
a∈[0,1)
とする
ε=(1-a)/2
とする
a<1だから
1-a>0だから
ε=(1-a)/2>0
となる
x∈B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
とすると
|x-a|<(1-a)/2
0≦x<a+(1-a)/2=(1+a)/2<1
だから
x∈[0,1)
だから
B(a,ε)⊂[0,1)
だから
[0,1)はUの開集合となる
任意のε>0に対して
x=1+(ε/2)
とすると
|x-1|=ε/2<ε
だから
x∈B(1,ε)
x>1だから
x∈B(1,ε)-S
だから
B(1,ε)⊂Sでないから
SはUの開集合でないから
Sの内部(Sに含まれる最大開集合)は[0,1)となる
a∈U-S
とする
a∈U-S={x|x>1}だから
a>1
となる
ε=(a-1)/2
とすると
ε=(a-1)/2>0
x∈B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
とすると
|x-a|<(a-1)/2
a-(a-1)/2<x
1<(a+1)/2<x
だから
x∈{x|x>1}=U-S
だから
B(a,ε)⊂U-S
だから
U-SはUの開集合だから
SはUの閉集合となる
SはSの閉包
{1}=S-[0,1)
だから
Sの境界(閉包と内部の差)は{1}
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不等式(1)