数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■ 過去ログ検索の勧め⇒ここを読んでみてください
google検索

 
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。
検索条件:
現在のログを検索過去のログを検索
■ 2006/2/20より、累計:、本日:、昨日:
数式の記述方法
TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \] あるいは,$ TeX形式数式 $ で数式を記述します。
 TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは New で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは UpDate で表示されます。

記事リスト ( )内の数字はレス数
UpDate多項式の既約性(1) | Nomal円錐台の断面積(9) | Nomal相関係数と共分散(1) | Nomallogの計算(3) | Nomaltan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) | Nomal複素数平面(1) | Nomal複素数 証明(難)(0) | Nomal確率の問題が分かりません 助けてください(1) | Nomal極限(3) | Nomalメビウス変換(0) | Nomal複素数 写像 (0) | Nomal複素数平面(0) | Nomal解答を教えてください(1) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal確率の不等式(1) | Nomal無理関数の積分(大学)(2) | Nomal複素数(1) | Nomal確率(2) | Nomal囲まれた面積(2) | Nomal複素数(2) | Nomal微分可能な点を求める問題(1) | Nomal初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) | Nomal極限の問題 2改(1) | Nomal極限の問題2(1) | Nomal極限の問題(1) | Nomal多項式の整除(1) | Nomal三角形(1) | Nomal三角数の和(0) | Nomalコラッツ予想(0) | Nomal平方数(1) | Nomal整数問題(1) | Nomal低レベルな問題ですいません(2) | Nomal中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) | Nomalガウス整数の平方和(8) | Nomal環でしょうか(2) | Nomal三角関数の式(0) | Nomal大学数学 位相数学(1) | Nomal確率(1) | Nomal1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) | Nomal速度(2) | Nomali^iについて(2) | Nomal(x+1)^n-x^n(1) | Nomal定積分(1) | Nomal複素数平面(6) | Nomal円に内接する四角形(2) | Nomal不等式(4) | Nomal代数学(1) | Nomal極限(0) | Nomal大学数学(0) | Nomal三角形(2) | Nomal多項式(1) | Nomal有限体(0) | Nomal場合の数(2) | Nomal同値関係が分かりません(0) | Nomal素因数(1) | Nomal質問(2) | Nomal周期関数(1) | Nomal不等式(2) | Nomal確立 基礎問題(2) | NomalCELINE コピー(0) | Nomal整数問題(2) | Nomal二項係数2nCn(1) | Nomal係数(4) | Nomalこれだけで求められるの?(3) | Nomal不等式(2) | Nomal期待値(2) | Nomal整数問題(1) | Nomal二次方程式の定数を求める(3) | Nomal正十二面体(2) | Nomal複素数と図形(1) | Nomal整数の例(4) | Nomal大学の積分の問題です(0) | Nomal位相数学(0) | Nomalコラッツ予想について(0) | Nomalコラッツ予想について(0) | Nomal線形代数(0) | Nomalkkk(0) | Nomalお金がかからない(0) | Nomal関数方程式(2) | Nomal大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) | Nomal大学数学難しすぎて分かりません。。(0) | Nomalコラッツ予想(0) | Nomalべズーの定理(0) | Nomal数学はゲーム(3) | Nomal解析学(0) | Nomal位相数学(1) | Nomal大学数学 位相数学(2) | Nomal数検準2級は難しい(0) | Nomal条件付き最大値問題について(0) | Nomal数列(2) | Nomal三角関数(0) | Nomalガウス記号(0) | Nomal式の値(2) | Nomal確率(0) | Nomal式の値(4) | Nomal外接円と内接円(1) | Nomal最小値(2) |



■記事リスト / ▼下のスレッド
■52413 / 親記事)  三角数の和
□投稿者/ きんぴら5号 一般人(8回)-(2023/12/18(Mon) 16:11:18)
    ガウスの三角数定理「全ての自然数は3個以下の三角数の和に表せる」の証明ですが
    ガウス整数論の二次形式論(三元二次形式)から帰結される
    三平方和定理「mとkを非負整数とし(4^m)(8k+7)の形に表せない自然数は3個以下の自然数の平方の和に表せる」
    を根拠としているものしか見つけられませんでした。

    二次形式論を使用しない初等的な証明はないのでしょうか?
    (三角数定理または三平方和定理の初等的な証明は存在するのでしょうか?)

    もう一つ「全ての自然数が3個以下の三角数の和」かつ「自然数は乗法に閉じている」ことから
    「3個以下の三角数の和に表せる数は乗法に閉じている」といえると思います。
    このことを直接証明することはできるのでしょうか?

    n,u,a,b,c,v,p,q,rは非負整数としてT(n)=n(n+1)/2とおきます。
    u=T(a)+T(b)+T(c),v=T(p)+T(q)+T(r)ならば
    uv=T(x)+T(y)+T(z)となる非負整数x,y,zは存在すると言えるでしょうか?

    よろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52412 / 親記事)  コラッツ予想
□投稿者/ 成清 愼 一般人(1回)-(2023/12/17(Sun) 12:43:52)
    twitter.com/makotonarikiyo/status/1733705839184331230
    宜しくご査収の上ご批評賜りたくお願い申し上げます。
引用返信/返信 [メール受信/ON]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52301 / 親記事)  平方数
□投稿者/ 鯖鮨 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 01:38:28)
    整数n,x,yが|x^2-(n^2+1)y^2|<2nを満たしているとき
    |x^2-(n^2+1)y^2|が平方数になるのは何故ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52410 / ResNo.1)  Re[1]: 平方数
□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2023/12/12(Tue) 16:47:06)
    x, yを整数として、f(x, y) = x^2-(n^2+1)y^2とおきます。
    y = 0の場合、f(x, 0) = x^2なので、|f(x, y)| < 2nという条件に関わらず題意は成立します。
    以下、y ≠ 0つまりy^2 ≧ 1とします。

    0 ≦ |f(x, y)| < 2nなので、nは正の整数です。

    |f(x, y)| < 2n
    ⇒ -2n < x^2-(n^2+1)y^2 < 2n
    ⇒ (n^2+1)y^2-2n < x^2 < (n^2+1)y^2+2n
    ⇒ (n^2+1)-2n/(y^2) < (x/y)^2 < (n^2+1)+2n/(y^2)
    ⇒ (n^2+1)-2n ≦ (n^2+1)-2n/(y^2) < (x/y)^2 < (n^2+1)+2n/(y^2) ≦ (n^2+1)+2n
    ⇒ (n-1)^2 < (x/y)^2 < (n+1)^2
    ⇒ n-1 < |x/y| < n+1
    ⇒ n-1 < |x|/|y| < n+1
    ⇒ (n-1)|y| < |x| < (n+1)|y|

    よって、整数rを|r| < |y|として、|x| = n|y|+rとおけます。
    また、f(±x, y) = f(|x|, y)です。

    f(x, y) = f(|x|, y) = f(n|y|+r, y)
    = (n|y|+r)^2-(n^2+1)y^2
    = ((ny)^2+2n|y|r+r^2)-(ny)^2-y^2
    = 2n|y|r+r^2-y^2
    = r^2+(nr)^2-((nr)^2-2n|y|r+y^2)
    = (n^2+1)r^2-(nr-|y|)^2
    = -f(nr-|y|, r)

    つまり、|f(x, y)| = |f(n|y|+r, y)| = |f(nr-|y|, r)|と変形できます。
    |r| < |y|だから、この変形を繰り返していけば、いずれr = 0に到達します。
    f(z, 0) = z^2なので、|f(x, y)| < 2nであれば|f(x, y)|は平方数と言えます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52230 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ 葉 一般人(2回)-(2023/06/29(Thu) 00:05:39)
    整数 a,b,c が |a^2-b^2-2abc|<2c を満たしているとき、
    abc が偶数であることの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52409 / ResNo.1)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2023/12/11(Mon) 20:44:17)
    2023/12/13(Wed) 17:27:27 編集(投稿者)

    0 ≦ |a^2-b^2-2abc| < 2cよりc > 0です。
    a = 0またはb = 0ならばabc = 0は偶数なので題意は成立します。
    以下a ≠ 0かつb ≠ 0とします。

    a = bと仮定すると、|a^2-b^2-2abc| = |-2(a^2)c| = 2(a^2)c < 2c
    より、a = 0となりますので、以下a ≠ bとします。

    a < 0かつb > 0ならば、-a > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |(-a)^2-b^2+2(-a)bc| = |b^2-(-a)^2-2(-a)bc| < 2c

    a > 0かつb < 0ならば、-b > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |a^2-(-b)^2+2a(-b)c| = |(-b)^2-a^2-2a(-b)c| < 2c

    a < 0かつb < 0ならば、-a > 0かつ-b > 0なので、
    |a^2-b^2-2abc| = |(-a)^2-(-b)^2-2(-a)(-b)c| < 2c

    いずれも、a > 0かつb > 0における|a^2-b^2-2abc| < 2cの形の不等式評価に帰着します。

    a < bと仮定すると、a^2-b^2 < 0かつ-2abc < 0と同符号になりますので、
    |a^2-b^2-2abc| = |a^2-b^2|+|-2abc| > 2abc > 2cと題意の条件を満たしません。
    # a > 0かつb > 0かつa ≠ bなので、ab > 1*2です。
    よって、a > bと言えます。

    -2c < a^2-b^2-2abc < 2c
    ⇒ b^2-2c < a^2-2abc < b^2+2c

    b^2 ≧ 1なので、
    ⇒ 1-2c/(b^2) < (a/b)^2-2(a/b)c < 1+2c/(b^2)
    ⇒ 1-2c < 1-2c/(b^2) < (a/b)^2-2(a/b)c < 1+2c/(b^2) < 1+2c
    ⇒ 1-2c+c^2 < (a/b)^2-2(a/b)c+c^2 < 1+2c+c^2
    ⇒ (c-1)^2 < (c-a/b)^2 < (c+1)^2
    ⇒ |c-1| < |c-a/b| < |c+1|・・・(3)
    # c-1 ≧ 0かつc+1 > 0です。

    以下で場合分けします。
    (1.1)c-a/b ≧ 0
    (1.2)c-a/b < 0

    (1.1)ならば(3)より、
    ⇒ c-1 < c-a/b < c+1
    ⇒ -1 < -a/b < 1
    ⇒ -1 < a/b < 1
    ⇒ 0 < a < b

    a > bが必要なので、(1.1)c-a/b ≧ 0の場合は存在しないと言えます。

    (1.2)ならば
    c-a/b < 0より、a-bc > 0或いはa > bcです。

    (3)より、
    ⇒ c-1 < a/b-c < c+1
    ⇒ -1 < a/b-2c = (a-2bc)/b < 1
    ⇒ -b < a-2bc < b
    ⇒ b(2c-1) < a < b(2c+1)

    rを整数で-b < r < bとして、a = 2bc+rとおきます。

    -2c < (2bc+r)^2-b^2-2(2bc+r)bc < 2c
    ⇒ -2c < (4(bc)^2+4bcr+r^2)-b^2-(4(bc)^2+2bcr) < 2c
    ⇒ -2c < 2bcr+r^2-b^2 < 2c
    ⇒ -2c < b^2-r^2-2bcr < 2c・・・(4)
    ⇒ 0 < b^2-r^2 < 2c(br+1)

    0 < 2c(br+1)より、0 < br+1となり、0 ≦ brから、r ≧ 0といえます。

    a > b > rですから、(4)は正の整数aがより小さい非負整数rに置き換わっただけです。
    r = 0ならa = 2bcなので題意の成立が示されたことになるので、
    (a, b)が(b, r)というより小さな正の整数の評価へ還元された訳です。

    この還元を繰り返すことでrは徐々に小さくなっていき、最終的には0になるはずです。
    a = 2bc+rですから、a ≡ r (mod 2)なので、abc ≡ bcr (mod 2)と言えます。

    a ≧ 2bc ≧ 2なら、(a, b)⇒(b, r)つまりa/2 ≧ b > rに置き換えられる。
    a > b > 0なので、2がaの最小値。a = 2を還元すると、
    a = 2 = 2bc+1 ≧ 2*1*1+1 = 3は不可能なので、r = 0つまりa = 2bc+0しかないので題意は成立する。

    r = 0であれば、a^2-b^2-2abc = r^2-b^2+2bcr = -b^2なので、
    |a^2-b^2+2abc| = |-b^2|と絶対値が平方数となるのも頷けますね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]



■記事リスト / ▲上のスレッド
■52406 / 親記事)  低レベルな問題ですいません
□投稿者/ kei 一般人(4回)-(2023/12/09(Sat) 12:17:53)

     -cos0°.6165t = 0.9744

     ゆえに t ≒ 271

     数学が苦手でして、
     なぜ、tになるのでしょうか?
     tにいたるまでの式がどうしてもわかりません。

     夜も眠れません&#128557;
     
     なにとぞ御教授宜しくお願い致します。
     


     


引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52407 / ResNo.1)  Re[1]: 低レベルな問題ですいません
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2023/12/09(Sat) 13:54:27)
    -cos(0.6165t)°=0.9744
    cos(0.6165t)°=-0.9744
    (0.6165t)°=arccos(-0.9744)
    t=arccos(-0.9744)/0.6165°
    arccos(-0.9744)≒167°なので
    t=167°/0.6165°≒271
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52408 / ResNo.2)  Re[2]: 低レベルな問題ですいません
□投稿者/ kei 一般人(5回)-(2023/12/09(Sat) 16:14:58)
    ありがとうございます!
    これでやっと眠れます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]






Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター