数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 57]

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■47351 / 親記事)

　合成数

□投稿者/ べっきー一般人(1回)-(2015/06/20(Sat) 08:34:28)

自然数の逆数和は発散しますよね。
素数の逆数和も発散しますよね。
合成数の逆数和は発散しますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47353 / ResNo.1)

　Re[1]: 合成数

□投稿者/ らすかる大御所(350回)-(2015/06/20(Sat) 11:22:36)

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+… が発散しますので、先頭の二つを除いた
1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+… も発散しますね。するとそれぞれの分母から1を引いた
1/4+1/6+1/10+1/12+1/16+1/18+… も発散しますので、合成数の逆数和も発散します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47354 / ResNo.2)

　Re[1]: 合成数

□投稿者/ IT 一般人(14回)-(2015/06/20(Sat) 11:31:33)

2015/06/20(Sat) 12:29:58 編集(投稿者)

正の偶数の逆数（1/2を除く）の和は発散なので、合成数の逆数和は発散。　でもいいと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47361 / ResNo.3)

　Re[2]: 合成数

□投稿者/ ベッキー一般人(1回)-(2015/06/21(Sun) 15:14:40)

お二人とも明解な回答を有り難うございました。

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]

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■47337 / 親記事)

　有理数

□投稿者/ ジェーン一般人(1回)-(2015/06/14(Sun) 12:21:50)

平面上に長さが有理数の線分ABがあります。
ABの中点をMとします。
Mを中心として半径が有理数の円を描きます。
この円の周上の点Pで線分PAとPBの長さがいずれも有理数となるような点Pは必ず存在しますか？
ただし点Pは直線AB上にはないものを考えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■47360 / ResNo.1)

　Re[1]: 有理数

□投稿者/ ねむねむ一般人(2回)-(2015/06/21(Sun) 13:07:16)

線分 AB の長さを $2$2 a$ ，円の半径の長さを $2$b$ とおくと，そのような点 P が存在することと
$2$x^2,\ y^2\ne (a\pm b)^2,\ x^2+y^2=2 (a^2+b^2)$
をみたす正の有理数 $2$x$ ， $2$y$ が存在することは等価（ $2$x$ ， $2$y$ は線分PA，PBの長さになる）であり，例えば
$2$\{x,\ y\}=\left\{\frac{7 a+b}{5},\ \frac{|a-7 b|}{5}\right\}$
のように取れるので，それは成り立つ．

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■47355 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 鰓一般人(1回)-(2015/06/20(Sat) 17:09:33)

$2$ a,b,c$ が三角形の三辺であるとき、
$2$ \frac{3abc-a^3}{b+c-a} + \frac{3abc-b^3}{c+a-b} + \frac{3abc-c^3}{a+b-c} < 3(ab+bc+ca)$

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47357 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ ひよこ一般人(17回)-(2015/06/21(Sun) 08:41:26)

まず、第一項について、
$2$ \frac{3abc-a^3}{b+c-a}<\frac{3}{2}(ab+ac)$
を示す。これが出来れば、文字を入れ替えて足し合わせれば結論がでる。

仮定よりa>0, b+c-a>0であるので、上式を変形して
$2$ 2(3bc-a^2)<3(b+c)(b+c-a)$
を示せば良い。
右辺-左辺を整理すると、
$2$ 2a^2+3b^2+3c^2-3ab-3bc = (a^2+3b^2-3ab) + (a^2+3c^2-3ac) =(a-\sqrt{3}b)^2 +(2\sqrt{3}-3)ab + (a-\sqrt{3}c)^2 +(2\sqrt{3}-3)ac$
となるが、ここで、2√3-3>0であるから、a,b,c>0より、右辺は正である。
以上をまとめれば良い。

どうでしょうか？
あと、不等式の出どころについて、さしつかえなければ教えてもらえるとうれしいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47359 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ ねむねむ一般人(1回)-(2015/06/21(Sun) 12:46:07)

2015/06/21(Sun) 14:24:26 編集(投稿者)
2015/06/21(Sun) 14:24:08 編集(投稿者)

他にも
$2$\frac{3 a b c-a^3}{b+c-a}<3 b c$
を示す（3次関数の極小値が正であることは見易い）．あるいは，
$2$b+c-a=2 x,\ c+a-b=2 y,\ a+b-c=2 z$
とおくと， $2$x,\ y,\ z>0$ で
$2$a=y+z,\ b=z+x,\ c=x+y,$
なので，結論の不等式は
$2$\frac{x^4 (y+z)+y^4 (z+x)+z^4 (x+y)+6 x y z (x y+y z+z x)}{2 x y z}>0$
となる．と言った方法がありますね．

なお，右辺の係数の下限は
$2$6 + 6 \sqrt{3} \cos \frac{11 \pi}{18}=2.445\ldots$
辺りかと．

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■47349 / 親記事)

　素数

□投稿者/ 恵美子一般人(1回)-(2015/06/19(Fri) 13:52:24)

f(x)=4x+1 という多項式は、無数の自然数 n に対して f(n) が素数になりますよね。
2次の多項式でこのような性質をもつものは存在しますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47350 / ResNo.1)

　Re[1]: 素数

□投稿者/ みずき一般人(1回)-(2015/06/19(Fri) 19:26:56)

こちらに（↓）
https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes#Prime_formulas_and_polynomial_functions

『It is not even known whether there exists a univariate polynomial of degree at least 2 that assumes an infinite number of values that are prime』
と書いてあります。参考までに。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47356 / ResNo.2)

　Re[2]: 素数

□投稿者/ 恵美子一般人(2回)-(2015/06/21(Sun) 06:56:10)

有難うございます

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47358 / ResNo.3)

　不等式

□投稿者/ キワリモート一般人(1回)-(2015/06/21(Sun) 10:35:46)

場合分けの後の解答の仕方が分かりません

750×1334 => 140×250

1434850546.jpg/189KB

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■47344 / 親記事)

　３点を通る円

□投稿者/ まんまる一般人(1回)-(2015/06/18(Thu) 07:13:01)

Ｏを原点とする座標平面上に、異なる２点Ｐ、Ｑで交わる２円　
Ｃ１：（ｘ－１）＾２＋（ｙ－２）＾２＝４
Ｃ２：ｘ＾２＋ｙ＾２＝５
がある。

問１）　直線ＰＱの方程式を求めよ。
問２）　２点Ｐ、Ｑと点Ａ（１，３）を通る円の方程式を求めよ。

問１）の方は、ｘ＋２ｙ－３＝０とでました。

問２）は、問１の直線と円Ｃ２で形式的に方程式を作り、
ｘ＾２＋ｙ＾２－５＋ｋ（ｘ＋２ｙ－３）＝０　＊ｋは定数。
という方程式を立てることができるみたいです。

形式的に方程式を作るという言葉の意味と、
この方程式の意味を教えていただきたいです。

引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■47345 / ResNo.1)

　Re[1]: ３点を通る円

□投稿者/ らすかる大御所(347回)-(2015/06/18(Thu) 07:47:45)

問１の答えはどうやって求めましたか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47346 / ResNo.2)

　Re[2]: ３点を通る円

□投稿者/ まんまる一般人(2回)-(2015/06/18(Thu) 07:57:41)

■No47345に返信(らすかるさんの記事)
> 問１の答えはどうやって求めましたか？

Ｃ１－Ｃ２
⇔‐２ｘ＋１－４ｙ＋４＝－１
⇔２ｘ＋４ｙ－６＝０
⇔ｘ＋２ｙ－３＝０

こんなかんじです

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47347 / ResNo.3)

　Re[3]: ３点を通る円

□投稿者/ らすかる大御所(348回)-(2015/06/18(Thu) 08:32:00)

問２の解き方は、その求め方を逆方向に使ったものです。

問１は
f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2-4
g(x,y)=x^2+y^2-5
とおけば
C1は f(x,y)=0
C2は g(x,y)=0
であり、P,Qを通る直線は
f(x,y)-g(x,y)=2(x+2y-3)から
x+2y-3=0と求められますね。

問２は、求める円C3の式をh(x,y)=0とおけば
C3とC2が2点P,Qで交わり
C3の式からC2の式を引けばP,Qを通る直線の式の定数倍、つまり
h(x,y)-g(x,y)=k(x+2y-3)
となりますので、h(x,y)=g(x,y)+k(x+2y-3)と表せます。
つまり x^2+y^2-5+k(x+2y-3)=0 という式は
P,Qを通る任意の円を表す式ですので、
これにAの座標を代入してkを求めれば、目的の方程式が求められます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47348 / ResNo.4)

　Re[4]: ３点を通る円

□投稿者/ まんまる一般人(3回)-(2015/06/18(Thu) 13:00:36)

分かりやすい説明、ありがとうございます。
解決してすっきりしました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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