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■47103 / 親記事)  円錐
□投稿者/ 逃げる 一般人(1回)-(2015/04/12(Sun) 18:55:17)
    円錐の底面のある1点から出発して、円錐の側面を最短の距離で一周して
    出発した地点に戻ってくるとき、この経路は同一平面上にありますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47104 / ResNo.1)  Re[1]: 円錐
□投稿者/ らすかる 大御所(309回)-(2015/04/12(Sun) 19:50:07)
    ありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47106 / ResNo.2)  Re[1]: 円錐
□投稿者/ 今日は大丈夫! 一般人(1回)-(2015/04/13(Mon) 09:28:36)
    円錐が極めて扁平な場合の一周の定義はどうなるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47107 / ResNo.3)  Re[2]: 円錐
□投稿者/ らすかる 大御所(310回)-(2015/04/13(Mon) 11:03:22)
    一般常識の「一周」にあてはまる定義を考えると(勝手に考えるだけですが)
    始点を含む母線以外のすべての母線を1回通過する(ただし円錐の頂点は母線に含まない)
    という定義が妥当な気がしますので、その意味では扁平な場合は
    「最短の距離で一周して出発した地点に戻ってくるとき」という
    条件を満たさない(その条件では最小値が存在しない)ので無関係となり、
    (母線の長さ)<(底面の直径)である円錐だけ考えれば良いような気がします。

    というより、扁平な場合の定義が何であっても、
    少なくとも同一平面上にない例が一つでもあるというだけで
    「ありません」とは答えられると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47093 / 親記事)  整数解
□投稿者/ zenkin 一般人(1回)-(2015/04/11(Sat) 01:22:50)
    近年の入試で頻出している「典型的な整数問題問題」が あるそうですが

    -15 - 2 a + a^2 - 22 b - 2 a b - b^2=0 の 整数解 を お願いします。

    (また こんなのを 解説されている 書籍があれば 教えて下さい)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47102 / ResNo.1)  Re[1]: 整数解
□投稿者/ WIZ 付き人(51回)-(2015/04/12(Sun) 13:20:00)
    2次の不定方程式の整数解だからフェルマーの方程式(ペルの方程式)に帰着します。
    特殊な場合は因数分解できて1次の不定方程式に帰着できます。

    -15-2a+(a^2)-22b-2ab-(b^2) = 0
    ⇒ {(a^2)-2ab+(b^2)}-15-2a-22b-2(b^2) = 0
    ⇒ {(a-b)^2}-2(a-b)-24b-2(b^2) = 15
    ⇒ {(a-b)^2}-2(a-b)+1-24b-2(b^2) = 16
    ⇒ {(a-b-1)^2}-2{36+12b+(b^2)} = 16-2*36
    ⇒ {(a-b-1)^2}-2{(b+6)^2} = -56

    2{(b+6)^2}と56は偶数ですから、(a-b-1)^2も偶数、つまりa-b-1は偶数であることが必要です。
    よって、(a-b-1)^2と56は4の倍数ですから、(b+6)^2も偶数、つまりb+6は偶数であることが必要です。

    u, vを整数として、a-b-1 = 2u, b+6 = 2vとおきます。
    {(2u)^2}-2{(2v)^2} = -56
    ⇒ (u^2)-2(v^2) = -14

    上記からuも偶数ですので、wを整数としてu = 2wとおくと、
    {(2w)^2}-2(v^2) = -14
    ⇒ 2(w^2)-(v^2) = -7

    最近見た式だなと思ったら、本掲示板のスレ47073「双曲線」の私の回答に出て来た途中式とほぼ同じですね。
    なので、解法はレス47074を参考にしてください。

    注意点としては、レス47074は「2(w^2)-(v^2) = 7」の一般解を求めたのですが、
    ここでは右辺の符号が違いますので、w, vの符号を度外視して、nを奇数である整数とすれば、
    w(√2)-v = {2(√2)-1}{(1-√2)^n}
    w(√2)+v = {2(√2)+1}{(1+√2)^n}
    と表せるということですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47094 / 親記事)  x^n+y^n+z^n
□投稿者/ a[n] 一般人(1回)-(2015/04/11(Sat) 15:16:48)
    x,y,zを複素数とし、数列{a[n]}(n=1,2,3,…)を
    a[n]=x^n+y^n+z^n
    と定めます。
    このとき以下は成り立ちますか?
    相異なる3つの自然数p,q,rに対してa[p],a[q],a[r]が整数ならば、
    任意の自然数nに対してa[n]は整数である。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■47097 / ResNo.2)  Re[2]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ a[n] 一般人(2回)-(2015/04/11(Sat) 19:42:58)
    なるほど…

    gcd(p,q,r)=1なら成り立ちますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47098 / ResNo.3)  Re[3]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ らすかる 大御所(307回)-(2015/04/11(Sat) 20:16:04)
    成り立ちません。
    x=1+i, y=-1-i, z=0のとき
    a[1],a[3],a[4],a[5],a[7],a[8],…は整数ですが
    a[2],a[6],a[10],…は整数ではありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47099 / ResNo.4)  Re[4]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ a[n] 一般人(3回)-(2015/04/11(Sat) 21:03:02)
    なるほど…

    相異なる3つの自然数p,q,rに対してa[p],a[q],a[r]が整数ならば、
    任意の自然数nに対してa[n]は整数である。

    という命題が真となるような{p,q,r}≠{1,2,3}の例がありましたらおしえていただけないでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47100 / ResNo.5)  Re[5]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ らすかる 大御所(308回)-(2015/04/11(Sat) 21:36:04)
    それは自分で証明できなければいけないわけですから難しいですね。
    「{p,q,r}≠{1,2,3}」としているということは、もしかして元の問題が
    「a[1],a[2],a[3]が整数ならば任意のnに対してa[n]が整数」を証明する問題で
    それを一般化してみたということでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47101 / ResNo.6)  Re[6]: x^n+y^n+z^n
□投稿者/ a[n] 一般人(4回)-(2015/04/11(Sat) 21:40:40)
    そうです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47081 / 親記事)  距離が整数
□投稿者/ フレッチャー 一般人(1回)-(2015/04/09(Thu) 22:09:08)
    座標平面上に
    O(0,0)
    A(√2,0)
    B(0,√2)
    があるとき、線分OP,AP,BPの長さが全て整数となるような点Pを全て求めたいのですが、よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47087 / ResNo.1)  Re[1]: 距離が整数
□投稿者/ らすかる 大御所(304回)-(2015/04/10(Fri) 08:29:27)
    条件から|OP-AP|≦1、|OP-BP|≦1です。

    OP-AP=OP-BP=1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=(k-1)^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k-1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=(1+2k)/(2√2)
    (1)-(3)から y=(1+2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=-1/4となるので解なし。

    OP-AP=OP-BP=-1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=(k+1)^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=(1-2k)/(2√2)
    (1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=1/4となるので解なし。

    OP-AP=1、OP-BP=-1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=(k-1)^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=(1+2k)/(2√2)
    (1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入すると成り立たないので解なし。

    OP-AP=-1、OP-BP=1の場合も同様。

    OP-AP=OP-BP=0の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=k^2 … (3)
    (1)-(2)から x=1/√2
    (1)-(3)から y=1/√2
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=1となりこれは適解。
    従って(1/√2,1/√2)は条件を満たす点。

    OP-AP=0、OP-BP=1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k-1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=1/√2
    (1)-(3)から y=(1+2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=(1±√6)/2となるので解なし。

    OP-AP=1、OP-BP=0の場合も同様。

    OP-AP=0、OP-BP=-1の場合
    OP=kとおくと
    x^2+y^2=k^2 … (1)
    (x-√2)^2+y^2=k^2 … (2)
    x^2+(y-√2)^2=(k+1)^2 … (3)
    (1)-(2)から x=1/√2
    (1)-(3)から y=(1-2k)/(2√2)
    これらを(1)に代入してkを求めるとk=(-1±√6)/2となるので解なし。

    OP-AP=-1、OP-AP=0の場合も同様。

    以上により、条件を満たす点は(1/√2,1/√2)のみ。
    (このときOP=AP=BP=1)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47090 / ResNo.2)  Re[2]: 距離が整数
□投稿者/ フレッチャー 一般人(2回)-(2015/04/10(Fri) 13:14:12)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47083 / 親記事)  cos(π/7)
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(1回)-(2015/04/09(Thu) 23:07:06)
    x = cos(π/7) と有理数 p, q, r が
       px^2 + qx + r = 0
    をみたすならば,
       p = q = r = 0
    であることの証明を教えて下さい.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47084 / ResNo.1)  Re[1]: cos(π/7)
□投稿者/ みずき 付き人(63回)-(2015/04/10(Fri) 00:36:35)
    a=π/7とします。
    3a+4a=πよりsin(3a)=sin(4a)なので
    (sina)(3-4(sina)^2)=2(sin(2a))(cos(2a))=4(sina)(cosa)(cos(2a))
    ∴3-4(1-(cosa)^2)=4(cosa){2((cos)^2)-1}
    ∴8{(cosa)^3}-4{(cosa)^2}-4(cosa)+1=0
    よって、x=cosaは8(X^3)-4(X^2)-4X+1=0(・・・(1))の解です。
    (1)の有理数解は、±1/(8の約数)に限られますが、
    いずれも(1)の解ではないので(1)は有理数解を持ちません。

    ここで、p(x^2)+qx+r=0となるような有理数の組(p,q,r)
    (ただし、p≠0かつr≠0)
    が存在すると仮定します。
    すると、(1)から
    A(x-B){p(x^2)+qx+r}=8(x^3)-4(x^2)-4x+1
    となるようなA,Bが存在する必要があります。
    よって、係数を比較して、Ap=8,-ABr=1
    p≠0かつr≠0により、A,Bとも有理数であることが導かれます。
    ところが、これは(1)が有理数解を持つ事を意味するので、矛盾です。

    よって、p=0またはr=0が導かれました。
    ・p=0のとき、qx+r=0。q≠0とするとx=-r/qが有理数となるので矛盾。
     よって、q=0でr=0。
    ・r=0のときは、x(px+q)=0。x≠0なので、px+q=0。
     p≠0とするとx=-q/pが有理数となるので矛盾。よって、p=0でq=0。

    従って、結局、p=q=r=0を導きます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47085 / ResNo.2)  Re[2]: cos(π/7)
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(2回)-(2015/04/10(Fri) 02:07:53)
    すみません, これは証明になってるんでしょうか ?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47086 / ResNo.3)  Re[3]: cos(π/7)
□投稿者/ みずき 付き人(64回)-(2015/04/10(Fri) 02:58:07)
    すみません。私自身、自分の回答を読み返してみて
    怪しい点があるような気がしているので、改めて回答します。
    (上の回答は無視してください。失礼しました。)

    cos(π/7)が無理数であることは既知とします。
    cos(π/7)=αとおきます。

    p,q,rを有理数とします。
    8α^3-4α^2-4α+1=0・・・(1)
    pα^2+qα+r=0・・・(2)

    (1)×p-8α×(2)から
    p(8α^3-4α^2-4α+1)-8α(pα^2+qα+r)=0
    (-4p-8q)α^2+(-4p-8r)α+p=0・・・(3)

    (-4p-8q)×(2)-p×(3)から
    (-4p-8q)(pα^2+qα+r)-p{(-4p-8q)α^2+(-4p-8r)α+p}=0
    {q(-4p-8q)-p(-4p-8r)}α+r(-4p-8q)-p^2=0

    ここで、
    q(-4p-8q)-p(-4p-8r)≠0と仮定するとαが有理数となり矛盾。
    よって、
    q(-4p-8q)-p(-4p-8r)=0 かつ r(-4p-8q)-p^2=0
    ここで、-4p-8q≠0と仮定すると、r=(p^2)/(-4p-8q)なので
    q(-4p-8q)+4(p^2)+{8(p^3)/(-4p-8q)}=0
    両辺に -4p-8q をかけて
    q{(-4p-8q)^2}+4(p^2)(-4p-8q)+8p^3=0・・・(4)
    p=0とすると、q(-8q)^2=0からq=0となるので、p≠0。
    (4)の両辺をp^3で割って、q/p=sとおくと
    s(-4-8s)^2+4(-4-8s)+8=0
    8s^3+8s^2-2s-1=0
    これは有理数解を持たないことが分かるので、-4p-8q=0
    よって、-p(-4p-8r)=0 かつ -p^2=0
    p=0,q=0から、r=0となります。

    # 今度はたぶん問題ないと思います。再び間違いがありましたらすみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47088 / ResNo.4)  Re[4]: cos(π/7)
□投稿者/ ナヴィス子 一般人(3回)-(2015/04/10(Fri) 10:12:41)
    ありがとうございます, とてもよく分かりました.
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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