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■52496 / 親記事) 　整数の表現の同値証明
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□投稿者/ エクセルシオール 一般人(1回)-(2024/04/07(Sun) 16:33:10)
    負でない整数nに対して、以下の(A)と(B)は同値であることを示せ。
    (A)整数xとyが存在して、n=x^2+3y^2と表せる。
    (B)整数uとvが存在して、n=u^2+uv+v^2と表せる。

    同値と言うことは、(A)の成立を仮定すれば(B)が成立することが証明できて
    尚且つ(B)の成立を仮定すれば(A)が成立することが証明できればよいのだと思いますが
    方法の見当がつきません。

    解き方を教えてください。よろしくお願いします。
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■52497 / ResNo.1) 　Re[1]: 整数の表現の同値証明
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2024/04/07(Sun) 20:08:31)
    任意のx,yに対して
    u=y-x, v=y+xとおくと
    u^2+uv+v^2=x^2+3y^2
    なので、n=x^2+3y^2と表せればn=u^2+uv+v^2と表せる。

    u,vの偶奇が同じであるとき
    x=(v-u)/2, y=(v+u)/2とおくと
    x^2+3y^2=u^2+uv+v^2
    なので、n=u^2+uv+v^2と表せればn=x^2+3y^2と表せる。

    u,vの偶奇が異なるとき、u=2k, v=2m+1として
    x=k+2m+1, y=kとおくと
    x^2+3y^2=u^2+uv+v^2
    なので、n=u^2+uv+v^2と表せればn=x^2+3y^2と表せる。

    従って(A)と(B)は同値。

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■52498 / ResNo.2) 　Re[1]: 整数の表現の同値証明
□投稿者/ エクセルシオール 一般人(2回)-(2024/04/07(Sun) 22:40:20)
    らすかるさん、回答ありがとうございます。
    変数を別の変数の式に置き換えて、他方の式と同じ形に変形できればよい訳ですね。
    具体的に置き換える式の発見方法とかコツとかはあるのでしょうか?
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■52499 / ResNo.3) 　Re[2]: 整数の表現の同値証明
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2024/04/08(Mon) 02:09:16)
    2024/04/08(Mon) 02:21:28 編集(投稿者)

    コツはよくわかりません。上の変形も簡単に思いついたわけではないです。
    ただ、x^2+3y^2という形は見覚えがありましたし、
    u=x+y, v=x-y のような置き換えはよくありますので前半はこれでわかりました。
    後半は、u=2k, v=2m+1をu^2+uv+v^2に代入し、その結果を○^2+3△^2の形に
    分けることができるか、のように考えました。

    ちなみに
    x^2+xy+y^2=1 という楕円は x^2+3y^2=2 という楕円を45°回転したものです。
    楕円を回転させるとき、u=(x+y)/2, v=(x-y)/2 のような変換をすることが
    ありますので、これの関連から考えました。
    また
    「x^2+xy+y^2=1のとき、x+yの最大値を求めよ」のような問題でも
    x=u+v, y=u-vのような置き換えをすることがあり、x^2+3y^2という形は
    その問題で見覚えがあった式でした。
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■52500 / ResNo.4) 　Re[1]: 整数の表現の同値証明
□投稿者/ エクセルシオール 一般人(3回)-(2024/04/08(Mon) 18:32:11)
    らすかるさん、再び回答ありがとうございます。
    置き換えにについては、過去に解いたことがある問題からの類推なのですね。
    つまり経験を積んでいくことが重要ということですね。
    とても参考になりました。ありがとうございました。
解決済み!
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