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■47521 / 親記事)  不等式と積分
□投稿者/ tihiro 一般人(1回)-(2015/10/15(Thu) 17:37:29)
    「数列{a_n},{b_n}を
      a_n=(-1)^n ∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx (n=1,2,3,・・・)
    b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,2,3・・・)
    と定めるとき次の問いに答えよ。ただし、対数は自然対数である。」という問題です。

    (1)a_1=log2-1を示せ。(これはできました。)
    (2)b_n=(-1)^{n+1}/(n+1)を示せ。(これはできました。)
    (3)a_n=log2-Σ[k:1〜n](-1)^{k+1}/k (n=2,3,・・・)
    を示せ。(これはできました)
    (4)x≧0のとき1/(1+x)≦1であることを用いて、
        |a_n|≦1/(n+1)を示せ。

    この(4)の解答で、
       1/(1+x)≦1であるので、両辺にx^n(≧0)をかけて
          
      
            x^n/(1+n)≦x^n ・・・@
    となる。また、0≦x≦1において、x^n/(1+n)≧0であるから、

        ∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx≧0

      よって、|a_n|=∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx≦∫[x:0〜1]x^n dx=1/(n+1)

    となっています。@の式から∫をつけた後、確か学校では、等号は常に成り立たない場合、等号が外れると習った気がするのですが、どうして今回は等号がついたままなのですか。ちなみにこの問題は、2015山形大の3番の問題です。よろしくお願いします。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47522 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式と積分
□投稿者/ IT 一般人(2回)-(2015/10/15(Thu) 18:31:33)
    > どうして今回は等号がついたままなのですか
    等号がついたままで間違いがなく、元の命題が正しいことを示すには、それで足りるからだと思います。
    (等号を外すためには、断り書きが必要)
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■47513 / 親記事)  コラッツの予想
□投稿者/ 成清 愼 一般人(4回)-(2015/10/08(Thu) 23:58:22)
http:// http://koubeichizoku.doujin.so/collatz/collatz2.htm
    コラッツの予想について考えてみました。よろしくご査収の上ご批評賜れば幸いです。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47515 / ResNo.1)  Re[1]: コラッツの予想
□投稿者/ 成清 愼 一般人(5回)-(2015/10/10(Sat) 23:30:32)
http://koubeichizoku.doujin.so/collatz/collatz2.htm
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■47519 / ResNo.2)  Re[2]: コラッツの予想
□投稿者/ 成清 愼 一般人(7回)-(2015/10/12(Mon) 21:13:17)
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■46889 / 親記事)  角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(12回)-(2015/02/24(Tue) 08:30:57)
    2015/02/24(Tue) 11:46:59 編集(投稿者)
    2015/02/24(Tue) 11:46:40 編集(投稿者)

    (既出だったらごめんなさい)

    角谷・コラッツ予想の数列の挙動を調べていたところ、
    次のような興味深い性質を見つけました。

    以下で、角谷数列を

    例)n=9⇒28→14→7⇒22→11⇒34→17⇒52→26→13
    ⇒40→20→10→5⇒16→8→4→2→1

    のように表記するものとします。
    ここで、
    ⇒は左辺が奇数なので3倍して1を足す操作、
    →は左辺が偶数なので2で割る操作とします。

    この時、系列に現れる⇒の個数をf(n)と表示することにすると、
    次の性質が成り立つように見受けられます。

    f(1・2^(2n-1)-1)=f(1・2^(2n )-1) (n≧2)
    f(3・2^(2n )-1)=f(3・2^(2n+1)-1) (以下、n≧1)
    f(5・2^(2n-1)-1)=f(5・2^(2n )-1)
    f(7・2^(2n )-1)=f(7・2^(2n+1)-1)
    f(9・2^(2n-1)-1)=f(9・2^(2n )-1)
    ...

    例)
    f(7)=f(15)
    f(31)=f(63)
    ...
    f(11)=f(23)
    f(47)=f(95)
    ...
    f(9)=f(19)
    f(39)=f(79)
    ...
    f(27)=f(55)
    f(111)=f(223)
    ...
    f(17)=f(35)
    f(71)=f(143)
    ...

    これらは証明可能でしょうか?
    数列(掲載省略)を見たところ、→と⇒の配置の同型
    という箇所がありそうに思えます。

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▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■46900 / ResNo.3)  Re[3]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ みずき 一般人(44回)-(2015/02/27(Fri) 18:41:13)
    No46897に返信(CEGIPOさんの記事)

    > →{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
    > →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]
    > (もっと簡単に示す方法もありますか?)

    あります。以下、合同式の法を4とします。

    [A1]について:3^(2n-1)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n-1)・(-3)-1≡3-1≡2
    [B1]について:3^(2n)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n)・(-3)-1≡-3-1≡0

    > ↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します
    (略)
    > ということでよいでしょうか?

    良いと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46902 / ResNo.4)  Re[4]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(15回)-(2015/02/28(Sat) 06:36:29)
    なる程、よくわかりました。ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47497 / ResNo.5)  Re[5]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(1回)-(2015/09/11(Fri) 05:22:54)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47510 / ResNo.6)  Re[6]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(2回)-(2015/10/07(Wed) 18:27:29)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47518 / ResNo.7)  Re[7]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(6回)-(2015/10/12(Mon) 21:11:39)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47516 / 親記事)  C^ω級の意味
□投稿者/ kinley 一般人(1回)-(2015/10/12(Mon) 08:12:08)
    C^∞(無限回微分可能)だがC^ω(無限冪級数に展開可能)でない例として

    x<0のときf(x)=e^(1/x)、
    x≧0のときf(x)=0。

    を知りましたがいまいちピンときません。

    無限冪級数に展開可能な曲線って幾何学的にどんな曲線なのでしょうか?
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■47511 / 親記事)  極座標表示の連立方程式
□投稿者/ ライカー 一般人(1回)-(2015/10/07(Wed) 21:20:46)
    下記の極座標表示(r,θ)の連立方程式の解き方がわかりません。
    アドバイスをお願いします。

     rcos(θ−(π/2))=2a

     rcos(θ-(π/6))=a

    上記の交点の極座標を求めたいのですが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47514 / ResNo.1)  Re[1]: 極座標表示の連立方程式
□投稿者/ ライカー 一般人(2回)-(2015/10/09(Fri) 20:37:38)
    No47511に返信(ライカーさんの記事)
    > 下記の極座標表示(r,θ)の連立方程式の解き方がわかりません。
    > アドバイスをお願いします。
    >
    >  rcos(θ−(π/2))=2a
    >
    >  rcos(θ-(π/6))=a
    >
    > 上記の交点の極座標を求めたいのですが。


    わかりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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