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■50619 / 親記事) 　カタラン数
□投稿者/ 冨士 一般人(1回)-(2021/02/12(Fri) 15:32:13)
    nを自然数とします。
    xy平面上で点Pが(0,0)を出発してx軸正の方へ1移動するかy軸正の方へ1移動するかを繰り返して(n,n)まで移動します。
    このような移動の方法は全部で2nCn通りあり、y≦xの部分だけを通っていく方法は2nCn/(n+1)通りあります。
    質問ですが、y≦xの部分だけを通っていく方法2nCn/(n+1)通りのうち点Pがy=x (0<x<n)に触れる回数が全部で何回なのか知りたいです。

    数学的にどう書くのがよいのかよく分からないのですが、y≦xの部分だけを通っていく2nCn/(n+1)通りのうち
    y=x (0<x<n)に触れる回数がk (k=0,1,2,...,n-1)回のものをa[k]通りとすると(Σ[k=0,n-1]a[k]=2nCn/(n+1) )、
    s[k]=Σ[k=0,n-1] k*a[k]
    の値、その求め方などが知りたいです。
    s[3]=4、s[4]=14などです。
    よろしくお願いします。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50620 / ResNo.1) 　Re[1]: カタラン数
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2021/02/12(Fri) 17:04:48)
    「s[k]=Σ[k=0,n-1] k*a[k]」は
    「s[n]=Σ[k=0,n-1] k*a[k]」の間違いですよね。

    f(n)=2nCn/(n+1)とすると
    例えばs[4]のとき
    (1,1)に触れる回数はf(1)×f(3)
    (2,2)に触れる回数はf(2)×f(2)
    (3,3)に触れる回数はf(3)×f(1)
    なので
    f(1)×f(3)+f(2)×f(2)+f(1)×f(3)=5×1+2×2+1×5=14
    のようになりますね。
    よって一般には
    s[n]=Σ[k=1～n-1]f(k)f(n-k)=2・(2n)C(n-2)/n
    と表されます。

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■50621 / ResNo.2) 　Re[2]: カタラン数
□投稿者/ 富士 一般人(1回)-(2021/02/12(Fri) 18:36:03)
    s[k]とs[n]間違えていました。失礼しました。

    たしかにこの方法で数えられそうです！全然気付きませんでした。
    シグマ計算についてはまだ確認できていませんが、ありがとうございます。

    もうひとつよろしいでしょうか。
    S[n]=Σ[k=0,n-1] 2^k * a[k]
    の求め方も教えてほしいです。
    自分で色々計算すると(2n-1)C(n-1)になりそうな気がするのですが、どう求めるのかは分かりません。
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■50622 / ResNo.3) 　Re[3]: カタラン数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2021/02/12(Fri) 22:13:04)
    経路の交差点に順に数字を書き込んでいって何通りか調べる方法で考えて、
    その方法でy=xに当たった時に2倍すればΣ[k=0～n-1]2^k*a[k]が求まります。
    y=0の行はすべて1
    y=1の行は(1,1)が2、(2,1)が3、(3,1)が4、…のようになるのでx+1
    y=2の行は(2,1)の3の2倍に4,5,6,…を加えていけばよいので
    3×2+Σ[k=3～x](k+1)=(x+1)(x+2)/2
    同様にy=3の行は(3+1)(3+2)/2×2+Σ[k=4～x]{(k+1)(k+2)/2}=(x+1)(x+2)(x+3)/6
    y=4の行は(4+1)(4+2)(4+3)/6×2+Σ[k=5～x]{(k+1)(k+2)(k+3)/6}=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)/24
    一般にy=kの行が(x+k)Ckとなりそうなので
    これを仮定してy=k+1の行を求めると
    ((k+1)+k)Ck×2+Σ[m=k+2～x](m+k)Ck=(x+k+1)C(k+1)
    なのでy=nのとき(x+n)Cn
    S[n]はy=n-1のときのx=nの値なので
    S[n]=(2n-1)C(n-1)

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■50623 / ResNo.4) 　Re[4]: カタラン数
□投稿者/ 富士 一般人(2回)-(2021/02/13(Sat) 09:57:19)
    ありがとうございました。
    とても説明が分かりやすかったです。
解決済み!
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■50617 / 親記事) 　無限級数
□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2021/02/02(Tue) 18:28:20)
    S_n=∑[k=1→n](2/(9k^2-7k+16))で、極限lim[n→∞]S_nを求めよ。という問題です。よろしくお願いします。
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50618 / ResNo.1) 　Re[1]: 無限級数
□投稿者/ waka 一般人(2回)-(2021/02/03(Wed) 15:11:25)
    すみません。解決しました。
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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]


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■50592 / 親記事) 　写像の問題です。
□投稿者/ mtdtw 一般人(1回)-(2021/01/20(Wed) 10:41:14)
    A, B, C を集合とし，f : A → B, g: B → C, h: B → C とする.f が A から B への 全射であり
    ，g &#9702; f = h &#9702; f ならば，g = h が成り立つことを証明せよ.

    この証明がどうしても出来ないのですが、どなたか教えていただけないでしょうか？
    宜しくお願い致します。
    質問丸投げの形になってしまい、申し訳ございません。
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■50591 / 親記事) 　離散数学　有向グラフの問題
□投稿者/ カエサル 一般人(1回)-(2021/01/20(Wed) 10:37:31)
    離散数学　グラフの問題なのですが、以下の13個の二項関係を教えていただけないでしょうか？…
    良ければ宜しくお願い致します。

    「集合 {1, 2, 3} 上の 2 項関係のうち，次の 3 つの条件を同時に満たすものは，全部で 13 個ある.
    &#8226; (1,2)を要素として含む &#8226; (2,3)を要素として含む &#8226; 推移的である
    これらの 13 個の 2 項関係をすべて有向グラフで表せ」

    二項関係というのが
    {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)｝でその中での条件に合致した複数の組み合わせを作れば良いというのは分かるのですが、「推移的」というのがよく分かりません、、、
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■50584 / 親記事) 　原始関数問題
□投稿者/ どなたかよろしくお願いします 一般人(1回)-(2021/01/08(Fri) 22:25:00)
    ①
    H(x) をf(x)g′(x) の原始関数とすると，f(x)g(x)－H(x) は f′(x)g(x)の原始関数であることを確かめよ。


    ②
    ∫f′(x)g(x)dx = f(x)g(x) －∫f(x)g′(x)dx　を証明せよ。

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50590 / ResNo.1) 　Re[1]: 原始関数問題
□投稿者/ あじっことったって 一般人(1回)-(2021/01/19(Tue) 01:44:05)
    ■No50584に返信(どなたかよろしくお願いしますさんの記事)
    > ①
    > H(x) をf(x)g′(x) の原始関数とすると，f(x)g(x)－H(x) は f′(x)g(x)の原始関数であることを確かめよ。
    >
    >
    > ②
    > ∫f′(x)g(x)dx = f(x)g(x) －∫f(x)g′(x)dx　を証明せよ。
    >

    うんちんぐファイヤー
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