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■48435 / 親記事)  待ち行列
□投稿者/ 名有り 一般人(1回)-(2018/04/10(Tue) 20:12:43)
    1名の店員のレジ、1時間あたり40人の客が訪れるのに対し処理できる人数は1時間にμ人である

    1.1時間あたりλ人の客が注文に訪れ、店員は1時間あたりμ人の処理が可能であるという状況では、注文中を含め商品注文のためにn人の客が待っている確率は以下である
    Pn=(1-λ/μ)(λ/μ)^n (n>=0)
    このとき上記の式が確率になるためのμの条件を示せ

    2.小問1で得た条件の下、以下の関係を満たすことを示せ
    Σ0→∞ Pn=1

    3.上記の不等式を満たす最小のμの中で5の倍数となる値を求めよ

    4.店を訪れた客が注文を開始するまでの平均時間Wqは
    Wq=(λ/μ)/{λ(1-λ/μ)}
    で与えられることが知られている、小問2で求めたμの下、平均時間はどれくらいになるか、単位を分にして回答せよ
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48794 / ResNo.1)  Re[1]: 待ち行列
□投稿者/ muturajcp 一般人(21回)-(2018/09/06(Thu) 19:47:31)
    1名の店員のレジ、1時間あたり40人の客が訪れるのに対し処理できる人数は1時間にμ人である
    1.
    1時間あたりλ人の客が注文に訪れ、
    店員は1時間あたりμ人の処理が可能であるという状況では、
    注文中を含め商品注文のためにn人の客が待っている確率は以下である
    n>=0
    Pn=(1-λ/μ)(λ/μ)^n
    このとき上記の式が確率になるためのμの条件は
    0<Pn<1
    だから
    0<(1-λ/μ)(λ/μ)^n<1
    だから
    0<(1-λ/μ)(λ/μ)<1
    だから
    0<λ/μ<1
    だから
    0<λ<μ

    2.
    Σ_{0→∞}Pn
    =Σ_{0→∞}(1-λ/μ)(λ/μ)^n
    =(1-λ/μ)Σ_{0→∞}(λ/μ)^n
    =(1-λ/μ)/(1-λ/μ)
    =1

    3.
    0<λ<μ
    40<μ
    を満たす最小のμの中で5の倍数となる値は
    45

    4.店を訪れた客が注文を開始するまでの平均時間Wqは
    Wq
    =(λ/μ)/{λ(1-λ/μ)}
    =1/(μ-λ)
    で与えられることが知られている、
    λ=40
    μ=45
    だから
    Wq=1/(45-40)=1/5(時間)=60/5(分)=12(分)

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■48775 / 親記事)  放物線と接線
□投稿者/ イントロドン 一般人(1回)-(2018/08/31(Fri) 19:13:37)
    放物線 y=-(x+1)^2+5, x>0, y>0 の接線とx軸とy軸で
    囲まれる部分の面積の取りうる最小の値を求めよ。

    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48780 / ResNo.1)  Re[1]: 放物線と接線
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2018/08/31(Fri) 22:53:56)
    y'=-2(x+1)なので
    接点を(t,-(t+1)^2+5)(0<t<√5-1)とすると
    接線の方程式はy=-2(t+1)(x-t)-(t+1)^2+5=-2(t+1)x+t^2+4
    接線とx軸との交点は((t^2+4)/{2(t+1)},0)、y軸との交点は(0,t^2+4)
    よってこの接線とx軸で囲まれる部分の面積Sは
    (t^2+4)/{2(t+1)}・(t^2+4)・(1/2)
    =(t^2+4)^2/{4(t+1)}
    S'={16t(t+1)(t^2+4)-4(t^2+4)^2}/{16(t+1)^2}
    =4(t+2)(3t-2)(t^2+4)/{16(t+1)^2}
    従ってt=2/3のとき最小値((2/3)^2+4)^2/{4(2/3+1)}=80/27

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48791 / ResNo.2)  Re[2]: 放物線と接線
□投稿者/ イントロドン 一般人(2回)-(2018/09/05(Wed) 09:01:32)
    ありがとうございました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48785 / 親記事)  確率
□投稿者/ 萩 一般人(1回)-(2018/09/02(Sun) 09:35:06)
    箱の中にk個の赤玉と4個の青玉がある。
    箱の中のk+4個の玉から無作為に1個を取り出し、
    それを新しい赤玉と交換して箱の中に戻す、
    という試行を繰り返す。
    n回目の試行で青玉を取り出す確率を求めよ。


    教えてほしいです。
    よろしくお願いします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48786 / ResNo.1)  Re[1]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2018/09/02(Sun) 17:01:51)
    2018/09/02(Sun) 19:10:30 編集(投稿者)

    4個の青玉を青1〜青4とします。
    n回目の試行で青1を取り出す確率は
    n-1回目までに青1を取り出さずn回目に青1を取り出す確率だから
    {(k+3)/(k+4)}^(n-1)・1/(k+4)=(k+3)^(n-1)/(k+4)^n
    青2〜青4も同じ計算でそれぞれ排反なので
    求める確率は4(k+3)^(n-1)/(k+4)^n

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48790 / ResNo.2)  Re[2]: 確率
□投稿者/ 萩 一般人(2回)-(2018/09/04(Tue) 11:29:34)
    ありがとうございます。
    こんなに簡単に解けるとは!
解決済み!
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■48787 / 親記事)  直角二等辺三角形と円の共通部分
□投稿者/ 北欧 一般人(1回)-(2018/09/03(Mon) 07:47:57)
    教えて下さい。

    △OABは∠O=90度、OA=OB=2の直角二等辺三角形である。
    Oを通りABに垂直である直線上に中心がある半径1の円と
    △OABの共通部分の面積は最大でいくらになるか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48788 / ResNo.1)  Re[1]: 直角二等辺三角形と円の共通部分
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2018/09/03(Mon) 13:20:09)
    ABの中点をCとし、DはOC上にありOD=1である点とすると、
    面積が最大になる時の円の中心Pは線分CD上のどこかになります。
    (∵PがDからCDの延長方向、あるいはCからDCの延長方向に
      移動すると明らかに面積が小さくなる)
    CP=x(0≦x≦√2-1)のとき、円がABを切り取る線分の長さは2√(1-x^2)、
    OA及びOBを切り取る線分の長さは√{(4√2)x-2x^2}であり
    前者は減少関数、後者は増加関数だから
    AB側にはみ出た部分の面積の減り方と
    OA,OB側にはみ出た部分の面積の増え方が等しいときに
    共通部分の面積が最大になる。
    xが凅増えた時にAB側にはみ出た部分の面積は凅・2√(1-x^2)減り、
    OA,OB側にはみ出た部分の面積は合計で(√2)凅・√{(4√2)x-2x^2}増えるから、
    凅・2√(1-x^2)=(√2)凅・√{(4√2)x-2x^2}を解いて得られる
    x=√2/4のときに面積が最大となり、その面積は
    π-∫[√2/4〜1]2√(1-x^2)dx-2∫[3/4〜1]2√(1-x^2)dx
    =√7/2+arctan(√7/5)

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■48789 / ResNo.2)  Re[2]: 直角二等辺三角形と円の共通部分
□投稿者/ 北欧 一般人(2回)-(2018/09/04(Tue) 09:15:49)
    とても分かりやすく教えていただき有り難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48774 / 親記事)  一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ モウフィス 一般人(1回)-(2018/08/31(Fri) 18:56:52)
    a,b,c,d,p,qは実数で、|ad-bc|=|pq|≠0をみたしている。
    xy平面上において|ax+by|≦|p|かつ|cx+dy|≦|q|をみたす
    点(x,y)全体からなる領域の面積を求めよ。

    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48779 / ResNo.1)  Re[1]: 一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2018/08/31(Fri) 22:36:58)
    しっかり考えていませんのであまり自信がありませんが

    直線ax+by±p=0と原点との距離は
    点と直線の距離の公式により|p|/√(a^2+b^2)
    直線cx+dy±q=0と原点との距離は同様に|q|/√(c^2+d^2)
    cos(2直線のなす角)=|ac+bd|/{√(a^2+b^2)・√(c^2+d^2)}
    sin(2直線のなす角)=√{1-(ac+bd)^2/{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}}
    =|ad-bc|/√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}
    なので、求める面積は
    2|p|/√(a^2+b^2)×2|q|/√(c^2+d^2)÷|ad-bc|/√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}
    =4|pq/(ad-bc)|

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48784 / ResNo.2)  Re[2]: 一次不等式で表される領域の面積
□投稿者/ モウフィス 一般人(2回)-(2018/09/01(Sat) 20:53:59)
    4、ということですね。
    有難うございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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