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■47015 / 親記事)  整数解
□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2015/03/30(Mon) 01:11:42)
    x^3+4 x^2+3 x-187 y^3-935 y^2-1122 y=0
    の整数解を求めよ。(の導出過程をお願いします)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47014 / 親記事)  有理数解
□投稿者/ Q 一般人(1回)-(2015/03/30(Mon) 00:37:04)
    以下を お願いします。

    257*x^2-322*x*y+100*y^2=1 について
    有理数解は無数にあることを証明せよ。

    具体的に 9個例示せよ。

    整数解は存在しないことを証明せよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■47004 / 親記事)  整数解
□投稿者/ Gan 一般人(1回)-(2015/03/28(Sat) 23:05:36)
    x^2+2*x-8*y^2-40*y=0 の整数解を求めよ。(の導出過程もおねがいします)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47013 / ResNo.1)  Re[1]: 整数解
□投稿者/ WIZ 一般人(41回)-(2015/03/29(Sun) 23:56:39)
    2015/03/30(Mon) 15:42:13 編集(投稿者)

    (x^2)+2x-8(y^2)-40y = x(x+2)-8y(y+5) = 0
    より、(x, y) = (0, 0)(-2, -5)は解です。

    (x^2)+2x-8(y^2)-40y = 0
    ⇒ {(x^2)+2x+1}-2{4(y^2)+20y+25} = 1-2*25
    ⇒ {(x+1)^2}-2{(2y+5)^2} = -49

    a = x+1, b = 2y+5とおくと、(a^2)-2(b^2) = -7^2となります。

    以下、2次体Q(√2)で考えます。
    Q(√2)では素因数分解の一意性が成立し、e = 1+√2は基本単数です。
    またeの共役数は1/e = 1-√2です。

    (a+b√2)(a-b√2) = -7^2となり、
    ノルムN(a+b√2) = N(a-b√2) = -7^2が有理数の整数の素数ではないので、
    a+b√2, a-b√2はQ(√2)の合成数です。

    7 = (3-√2)(3+√2)と因数分解されます。
    N(3-√2) = N(3+√2) = 7は有理数の整数の素数なので、3-√2, 3+√2はQ(√2)の素数です。

    bの符号を反転すれば、a+b√2とa-b√2は入れ替わるので、nを有理数の整数(負でも良い)として、
    a+b√2 = {(3+√2)^2}(e^n) = (11+6√2)(e^n)
    a-b√2 = -{(3-√2)^2}(e^n) = -(11-6√2)(e^(-n))
    とおいても一般性を失いません。

    a, bはnの値で定まるので、a[n], b[n]と書くことにすると、
    a[n] = (1/2){(11+6√2)(e^n)-(11-6√2)(e^(-n))}
    b[n] = (1/(2√2)){(11+6√2)(e^n)+(11-6√2)(e^(-n))}
    と表されます。

    よって、(x, y) = (a[n]-1, (b[n]-5)/2)が一般解となると思います。
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■46982 / 親記事)  稠密と一様分布
□投稿者/ 新幹線で 一般人(1回)-(2015/03/21(Sat) 20:54:39)
    (0,1)で稠密だが一様分布ではない数列の例を教えてください
    有理数でいいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■46983 / ResNo.1)  Re[1]: 稠密と一様分布
□投稿者/ らすかる 大御所(289回)-(2015/03/21(Sat) 21:24:27)
    「一様分布である数列」の定義は何ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46994 / ResNo.2)  Re[2]: 稠密と一様分布
□投稿者/ 新幹線で 一般人(2回)-(2015/03/26(Thu) 22:12:42)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46997 / ResNo.3)  Re[3]: 稠密と一様分布
□投稿者/ らすかる 大御所(293回)-(2015/03/26(Thu) 22:39:00)
    稠密で一様分布でない例でしたら、例えば
    {a[n]}:各要素a[k]が0<a[k]<1を満たし、稠密で一様分布である数列
    として
    b[n]=(a[n])^2
    とすれば稠密であり一様分布ではなくなりますね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46998 / ResNo.4)  Re[4]: 稠密と一様分布
□投稿者/ 新幹線で 一般人(3回)-(2015/03/27(Fri) 10:49:40)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-4]



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■46991 / 親記事)  正三角形
□投稿者/ マック 一般人(1回)-(2015/03/26(Thu) 14:58:30)
    以下の条件をみたす正三角形の辺の長さの最小値はいくらですか?
    条件:どのように座標平面上においても少なくともひとつの格子点を内部または周上に含む。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■46992 / ResNo.1)  Re[1]: 正三角形
□投稿者/ らすかる 大御所(291回)-(2015/03/26(Thu) 20:59:51)
    図が描けませんので詳しく説明できませんが

    正三角形に格子点3個以上が外接する場合を考えればよく、
    対称性から正三角形の回転角は0°〜15°の範囲だけ考えれば十分。
    格子点が正三角形の内部にないような最大の正三角形は
    正三角形の1辺に格子点が2個があり、残り2辺にそれぞれ格子点が
    1個ずつある場合で、このとき正三角形の一辺の長さは1+2/√3
    これが問題の条件を満たす正三角形。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46993 / ResNo.2)  Re[2]: 正三角形
□投稿者/ マック 一般人(2回)-(2015/03/26(Thu) 22:05:41)
    ありがとうございます。

    もしかして

    ある図形Aをどのように座標平面上に置いても格子点を少なくともひとつ含む
    ⇔ある図形Aは一辺の長さが1の正方形を含む

    が言えますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46995 / ResNo.3)  Re[3]: 正三角形
□投稿者/ らすかる 大御所(292回)-(2015/03/26(Thu) 22:24:43)
    言えないと思います。少なくとも
    「一辺の長さが1である正方形」は「一辺の長さが1である正方形」を含みますが、
    「どのように座標平面上に置いても格子点を少なくともひとつ含む」を満たしません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46996 / ResNo.4)  Re[4]: 正三角形
□投稿者/ マック 一般人(3回)-(2015/03/26(Thu) 22:28:01)
    本当ですね。

    ありがとうございました。
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