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■47712 / 親記事)  極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(1回)-(2016/07/15(Fri) 11:56:44)
    次の問題の解答を見た時、極限の使い方に疑問を覚え質問をさせていただきました。

    α、βは定数とする。
    極限
    lim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)}/{(1^β+2^β+・・・+n^β)^(α+1)}

    解答

    分子、分母を n^(α+1)(β+1)で割れば

    分子は
    {(1^α+2^α+・・・+n^α)/n^(α+1)}^(β+1)
    となり
    { }の中の極限は1/(α+1) @
    したがって分子の極限は
    1/(α+1)^(β+1) A

    ・・・ 続く

    以上が問題と解答の一部です。

    お伺いしたいのは、@からAへとなるときの^(β+1)の扱いなどについてです。
    累乗の部分の扱いといえばよいのでしょうか、自分でも上手く言葉にできないのですが、

    lim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)} B
    を求めるときに

    lim[n→∞](1^α+2^α+・・・+n^α) C
    の極限がわかれば、(Cの極限)^(β+1)がBの極限である。ただ(β+1)乗をつければ良いということがよくわからないでいます。

    またBでlim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)}
    となっているのを
    {lim[n→∞](1^α+2^α+・・・+n^α)}^(β+1) と考えるようなものだと思うのですが
    lim[n→∞]{ } の{ } の範囲、limの及ぼす範囲などがよくわからなくなってしまいました。

    参考書などで、極限の性質(公式)など調べたのですが、定数倍や、和、積、商などの性質については載っていたのですが、上記のようなことの記述を見つけること、気がつくことができませんでした。

    (@を区分求積法をつかって求めることは理解しているつもりです。)
    この問題は高校レベル(だと思います)の参考書からです。
    基本的なことかもしれませんが、詳しく教えていただけるとありがたいです。
    よろしくお願いいたします。
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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■47713 / ResNo.1)  Re[1]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2016/07/15(Fri) 16:16:40)
    何が疑問なのかよくわかりませんが、関連のことを書いてみます。

    lim[n→∞]a[n]=A, lim[n→∞]b[n]=B のとき
    lim[n→∞](a[n]×b[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]b[n])=AB
    なので
    lim[n→∞](a[n]×a[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])=A×A
    つまり書き方を変えれば
    lim[n→∞](a[n])^2=(lim[n→∞]a[n])^2=A^2
    同様に
    lim[n→∞](a[n]×a[n]×a[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])=A×A×A
    つまり
    lim[n→∞](a[n])^3=(lim[n→∞]a[n])^3=A^3

    また
    lim[n→∞]√a[n]=√lim[n→∞]a[n]=√A
    すなわち
    lim[n→∞]{a[n]^(1/2)}=(lim[n→∞]a[n])^(1/2)=A^(1/2)

    などが成り立ちます。

    一般には、f(x)が連続のとき
    lim[n→∞]f(a[n])=f(lim[n→∞]a[n])
    です。

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■47714 / ResNo.2)  Re[2]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(2回)-(2016/07/15(Fri) 16:47:15)
    らすかる様
    御回答ありがとうございました。

    詳しく記述いただきまして大変勉強になりました。しばらく悩んでいたので本当に助かりました。
    自分でもうまく言葉にできず、分かりずらい質問内容となってしまって申し訳ありませんでした。
    教えていただいたことで内容こそ私が求めていたものだと思います。
    また、確認させていただきたいのですが、下記の問題で教えていただいたことを使用できると考えたのですが、いかがでしょうか?

    双曲線x^2-y^2=1の上の2つの点P(1,0),Q(u,v)を結ぶ直線PQが漸近線y=xと交わる点をRとする。ただし、点Qは双曲線上の第1象限の部分にある。
    u→∞のとき、QRの長さはどんな値に近づくか?

    解答

    lim[u→+∞]QR^2 = lim[u→+∞] 2(u^2-u)/{u+√(u^2-1)-1} = 式変形省略 = 1/2 @
    ゆえに
    lim[u→+∞]QR =1/√2 A

    以上が問題と解答になります。

    lim[u→+∞]QR^2 = 1/2 @
    ゆえに
    lim[u→+∞]QR =1/√2 A

    という箇所ですが、教えていただいたことを使えば@からAが導ける。という理解でよろしいでしょうか。
    よろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47715 / ResNo.3)  Re[3]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2016/07/15(Fri) 16:50:53)
    はい、仰る通り、@からAが導けます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47716 / ResNo.4)  Re[3]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(3回)-(2016/07/15(Fri) 17:08:13)
    追記
    記述し忘れました。

    @からAは

    lim[x→a]f(x)・f(x)=α・α
    だから

    lim[u→+∞]QR^2=1/2

    α^2=1/2 と考えて
    QR=±√(1/2)
    QR>0より
    lim[u→+∞]QR=1/√2
    として良いのでしょうか?
    よろしくお願いいたします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47717 / ResNo.5)  Re[4]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(4回)-(2016/07/15(Fri) 17:56:31)
    御回答ありがとうございます。
    一つ前の返信(追記のもの)を投稿する時に、らすかる様のご返信に気がつくことができず、投稿してしまいました。大変失礼いたしました。

    御回答いただき、自分の考えに確信が持てました。今回は御回答いただき本当にありがとうございました。また掲示板は不慣れなため、失礼をしてしまい本当に申し訳ありませんでした。

    もしまた機会がありましたらよろしくお願いいたします。
    今回はありがとうございました。

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■47711 / 親記事)  偏微分後でも連続性は保たれますか?
□投稿者/ にゃんこ 一般人(1回)-(2016/07/14(Thu) 03:09:16)
    φ≠A⊂C^2でf:A→Cは(y_0,z_0)∈Aで連続な複素関数f(y,z)について,f(y,z)はzについてz=z_0にて偏微分可能とする時,yについての関数f_z(y,z_0)はy=y_0で連続となることの証明を教えてください。

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■47704 / 親記事)  組合せの問題?
□投稿者/ 数学弱者 一般人(1回)-(2016/06/26(Sun) 21:54:38)
    大変申し訳ありません…、
    某試験に出題された問題なのですが、
    下記の問題の解き方を教えて頂けないでしょうか…

    問題
    六角形の頂点(時計回りに)A〜Fがあり、頂点Aにコインを置く。
    そして、1〜10までの数字が書かれた10枚の札を無作為に引いて、
    書かれている数だけ、コインを時計回りに動かす。
    例えば、「3」の札を引いたらA→B→C→Dと動かす。
    このとき、7枚の札を引いて、コインを動かしたところ、
    コインは頂点Aに戻り、残りの3枚の数字は全て奇数であった。
    この残り3枚の数字の組み合わせは何通りあるか?

    ただし、書かれている数字は、それぞれ1枚ずつで、
    引いた札は戻さないものとする。

    万が一、問題の転記ミスがあり、
    問題に不備がございましたらご指摘ください。

    宜しくお願い致します。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47706 / ResNo.1)  Re[1]: 組合せの問題?
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2016/06/26(Sun) 23:39:41)
    1〜10を全部引くと合計55ですから最後はBに止まります。
    ということは、残った3枚の合計は6n+1であり、
    1+3+5=9以上5+7+9=21以下ですから
    13か19となります。
    合計が13になる組合せは(1,3,9)(1,5,7)の2通り
    合計が19になる組合せは(3,7,9)の1通りですから、
    条件を満たす組合せは全部で3通りです。

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■47707 / ResNo.2)  Re[2]: 組合せの問題?
□投稿者/ 数学弱者 一般人(2回)-(2016/06/27(Mon) 21:38:04)
    らすかる様

    ご回答くださり有難うございます。
    助かりました。
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■47692 / 親記事)  A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ ちゃぼ 一般人(1回)-(2016/06/13(Mon) 04:14:34)
    2016/06/13(Mon) 04:37:35 編集(投稿者)

    A,Bとも零集合ではないとします。

    直積集合A×Bが2次元ルベーグσ集合体L(R^2)の元

    AとBともL(R)の元。

    の反例を探してます。どなたか教えてください。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47693 / ResNo.1)  Re[1]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ 通りすがり 一般人(1回)-(2016/06/14(Tue) 05:56:27)
    Aを非可測集合、Bを一点とかじゃだめですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47695 / ResNo.2)  Re[2]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ ちゃぼ 一般人(2回)-(2016/06/15(Wed) 10:03:27)
    この場合のBは零集合ではないのでしょうか?
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■47698 / ResNo.3)  Re[3]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ 通りすがり 一般人(2回)-(2016/06/16(Thu) 21:51:53)
    問題文見落としてました。すみません。

    AxBの定義関数をf(x,y)とすると、仮定よりfは直積空間で可測。

    fについてFubiniの定理を使うと、
    f(・,y)はほとんどいたるところのy∈Bについて可測となって、
    Bは零集合ではないから、f(・,y)が可測となるyがある。

    そして、f(・,y)はAの定義関数であるから、Aは可測。

    というわけで、反例はないような気がするのですが。

    どうでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47699 / ResNo.4)  Re[4]: A×Bがσ集合体だがAかBかがσ集合体ではない例とは?
□投稿者/ ちゃぼ 一般人(3回)-(2016/06/17(Fri) 00:49:47)
    A,Bとも零集合ではないなら

    直積集合A×Bが2次元ルベーグσ集合体L(R^2)の元

    AとBともL(R)の元。

    となるのですね。どうも有難うございます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47696 / 親記事)  これには選択公理が要るの?
□投稿者/ JJJ 一般人(1回)-(2016/06/15(Wed) 10:11:37)
    2016/06/15(Wed) 10:12:31 編集(投稿者)

    Cは複素数体,
    φ≠A⊂Cでα∈CはAの集積点の時,
    {a_n;n∈N}⊂Aでlim_{n→∞}a_n=αなる数列(a_n)_{n∈N}が存在する事は選択公理が仮定されてないと言えないのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]






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