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■47276 / 親記事)  3次関数
□投稿者/ 高山 一般人(1回)-(2015/05/24(Sun) 08:46:29)
    a,bは実数とし
    f(x)=x^3+ax^2+2bx+1
    としたとき、
    f(b^2-a)≧0
    を示せ。

    お願いします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47277 / ResNo.1)  Re[1]: 3次関数
□投稿者/ IT 一般人(10回)-(2015/05/24(Sun) 09:14:06)
    2015/05/24(Sun) 09:16:40 編集(投稿者)

    t=b^2-aとおくとa=b^2-tなので
    f(t)=t^3+(b^2-t)t^2+2bt+1
    =(b^2)t^2+2bt+1
    =(bt+1)^2≧0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47278 / ResNo.2)  Re[2]: 3次関数
□投稿者/ 高山 一般人(2回)-(2015/05/24(Sun) 09:22:10)
    ありがとうございます。
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■47274 / 親記事)  面積を2等分
□投稿者/ p 一般人(1回)-(2015/05/24(Sun) 01:52:02)
    3点A(3,1),B(−1,3),C(−6,−2)を頂点とする△ABCがある。原点O(0,0)を通る直線を引いて、△ABCの面積を2等分したい。この直線の式を求めよ。

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■47271 / 親記事)  積分
□投稿者/ ヴェクター 一般人(4回)-(2015/05/23(Sat) 23:03:39)
    k<1ならば、
    ∫[0,1]f(x)g(x)dx=k
    ∫[0,1](f(x)+g(x))^2dx=4
    をみたすR上の一次独立な連続関数f(x),g(x):[0,1]→Rが存在する
    ことの証明を教えていただけないでしょうか?
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47272 / ResNo.1)  Re[1]: 積分
□投稿者/ IT 一般人(9回)-(2015/05/24(Sun) 00:58:31)
    (完全には出来ていませんが方針だけ)
    ∫[0,1]f(x)g(x)dx=k をみたすf(x),g(x)を考える
    f(x)>0,g(x)=k/f(x)とする
    ∫[0,1](f(x)+g(x))^2dx
    =∫[0,1](f(x)+k/f(x))^2dx
    =∫[0,1]{f(x)^2+2k+(k/f(x))^2}dx

    したがって∫[0,1]{f(x)^2+(k/f(x))^2}dx=4-2k をみたすf(x)を見つける
    たとえば、f(x)^2+(k/f(x))^2=(4-4k)x+2 なるf(x)がとれれば良い。
    このようなf(x)が存在し連続でf(x)とg(x)は一次独立であることを示せば良いと思います。
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■47273 / ResNo.2)  Re[1]: 積分
□投稿者/ らすかる 大御所(335回)-(2015/05/24(Sun) 01:15:55)
    (参考)
    例えば
    f(x)=x/2+(√(3-3k))x+(√141-3)/12
    g(x)=x/2-(√(3-3k))x+(√141-3)/12
    が条件を満たします。
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■47262 / 親記事)  約数の個数の和
□投稿者/ 麻子 一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 10:04:18)
    を正の整数とし、
    の約数のうちで割って余るものの個数
    の約数のうちで割って余るものの個数
    とします。

    を求めたいので、よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47267 / ResNo.1)  Re[1]: 約数の個数の和
□投稿者/ らすかる 大御所(334回)-(2015/05/23(Sat) 12:07:27)
    自信がありませんし厳密性にも欠けますが

    Σ[k=1〜n]d1(k)=Σ[4k+1≦n][n/(4k+1)] 〜 n(1/1+1/5+1/9+…)
    Σ[k=1〜n]d3(k)=Σ[4k+3≦n][n/(4k+3)] 〜 n(1/3+1/7+1/11+…)
    なので
    (求める極限)
    =(1/1+1/5+1/9+…)-(1/3+1/7+1/11+…)
    =1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…
    =arctan1
    =π/4
    となりそうな気がします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47269 / ResNo.2)  Re[2]: 約数の個数の和
□投稿者/ 麻子 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 22:31:17)
    有難うございます。
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■47268 / 親記事)  e
□投稿者/ e 一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 17:35:34)
    e=Σ[n=0,∞]1/n!
    を前提として、
    1/e=Σ[n=0,∞](-1)^n/n!
    は示せますか?
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