数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 関数方程式 / Page: 0]

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■52239 / 親記事)

　関数方程式

▼■

□投稿者/ オンス一般人(1回)-(2023/07/16(Sun) 08:58:07)

整数から実数への関数 f で、
任意の整数mと、任意の自然数nに対して
f(m+n)+f(m)+f(m-n)=0
を満たすものの求め方を教えて下さい。

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■52240 / ResNo.1)

　Re[1]: 関数方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2023/07/16(Sun) 14:07:34)

f(m+n)+f(m)+f(m-n)=0
f(m)+f(m-n)+f(m-2n)=0
差をとって
f(m+n)=f(m-2n)
これが任意のm,nで成り立つから
n=1とすれば
…=f(-7)=f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5)=…
…=f(-6)=f(-3)=f(0)=f(3)=f(6)=…
…=f(-5)=f(-2)=f(1)=f(4)=f(7)=…
そして
f(-4)+f(-1)+f(2)=0
f(-3)+f(0)+f(3)=0
f(-2)+f(1)+f(4)=0
でなければならないので、
任意の整数kに対してf(k)=0。

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■52243 / ResNo.2)

　Re[2]: 関数方程式

▲▼■

□投稿者/ オンス一般人(2回)-(2023/07/17(Mon) 10:52:11)

とてもよく分かりました。
ありがとうございました。

解決済み!

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