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■48863 / 親記事)  複素関数
□投稿者/ 積分 一般人(1回)-(2018/10/13(Sat) 21:50:57)
    複素関数の問題です
    この問題の解き方を教えてください。

    ∫[0〜π/2]{log(sinx)}^2dxの値を求めよ。

    Σ(n=0,∞)|an|^2×r^2n
    =(1/2π)∫[0〜2π] |f(re^iθ)|^2dθとする。
    (このとき
     f(z)=Σ_{n=0}^{∞}(a_n z^n) (|z|<R), 0<r<Rとする。)

    また、Σ(n=0,∞) (1/n^2)=π^2/6

    ∫[0〜1/2π]log(sinx)= -π/2log2とする。

     
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■48857 / 親記事)  等式
□投稿者/ 喰レポ 一般人(1回)-(2018/10/07(Sun) 13:25:11)
    教えて下さい。

    相異なる数x,y,zが
    (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)
    を満たしているとき、x,y,zのうち少なく
    とも一つは虚数であることを示せ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48858 / ResNo.1)  Re[1]: 等式
□投稿者/ らすかる 一般人(28回)-(2018/10/07(Sun) 14:16:17)
    (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)=kとおく。
    もしk=0とすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
    分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので
    k≠0,x≠1/2,y≠1/2,z≠1/2
    k(x-y)=2x-1から y=((k-2)x+1)/k … (1)
    k(y-z)=2y-1から z=((k-2)y+1)/k … (2)
    k(z-x)=2z-1から x=((k-2)z+1)/k … (3)
    (1)を(2)に代入して整理すると
    z=(((k-2)^2)x+2k-2)/k^2 … (4)
    (4)を(3)に代入して整理すると
    (3k^2-6k+4)(2x-1)=0
    x≠1/2なので 3k^2-6k+4=0
    これを解いてk=1±i/√3
    x,y,zが全て実数のときkは実数となるので、
    k=1±i/√3であることからx,y,zのうち少なくとも一つは虚数。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48859 / ResNo.2)  Re[1]: 等式
□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2018/10/07(Sun) 14:36:40)
    別解
    もし式の値が0だとすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
    分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので矛盾。
    よって式の値は0ではないので全項を逆数にしても等号は成り立つ。
    (x-y)/(2x-1)=(y-z)/(2y-1)=(z-x)/(2z-1)から
    2(x-y)/(2x-1)=2(y-z)/(2y-1)=2(z-x)/(2z-1)
    1-(2y-1)/(2x-1)=1-(2z-1)/(2y-1)=1-(2x-1)/(2z-1)
    (2y-1)/(2x-1)=(2z-1)/(2y-1)=(2x-1)/(2z-1)
    この式の値をkとするとk^3=1だが
    もしk=1とするとx=y=zとなり矛盾するので
    kは1の虚数三乗根。
    従ってx,y,zのうち少なくとも二つは虚数とわかる。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48860 / ResNo.3)  Re[2]: 等式
□投稿者/ 喰レポ 一般人(2回)-(2018/10/07(Sun) 17:33:47)
    大変エレガントな別解に感動いたしました。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48855 / 親記事)  自然数の逆数和
□投稿者/ 訛 一般人(1回)-(2018/10/06(Sat) 13:02:16)
    n=10という自然数は、その任意の約数d=1,2,5,10に対して
    d+n/dという値が素数となる。
    1+10/1=11
    2+10/2=7
    5+10/5=7
    10+10/10=11
    というように。
    このような性質をもつ自然数の逆数和が収束することの証明を教えて下さい。


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48856 / ResNo.1)  Re[1]: 自然数の逆数和
□投稿者/ 訛 一般人(2回)-(2018/10/06(Sat) 13:06:18)
    ヒントにn>2ならn+1が素数なのでnは偶数。
    2+n/2が素数である。
    と書いてあって、本当にその通りだなと思うんですけど
    どうやってヒントを使えばいいのか分かりません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48853 / 親記事)  三角関数の面積
□投稿者/ スコルピオン 一般人(1回)-(2018/10/05(Fri) 23:28:57)
    θは0≦x≦πをみたす実数とする。
    xy平面において以下の二つの曲線
    y=2cosx   (0≦x≦2π)
    y=sin(x-θ) (0≦x≦2π)
    で囲まれた図形の面積をθで表せ。


    どうもうまく解けません。
    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48854 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数の面積
□投稿者/ らすかる 一般人(27回)-(2018/10/06(Sat) 01:16:04)
    面積をS(θ)とするとS(π-θ)=S(θ)なので
    0≦θ≦π/2で考えます。
    θ=π/2のときは2曲線の交点が(π/2,0)と(3π/2,0)となりますので
    S(θ)=∫[π/2〜3π/2]sin(x-π/2)-2cosx dx
    =∫[π/2〜3π/2]-3cosx dx
    =[-3sinx][π/2〜3π/2]
    =6
    0≦θ<π/2のときは
    2cosx=sin(x-θ)
    2cosx=sinxcosθ-cosxsinθ
    (2+sinθ)cosx=sinxcosθ
    tanx=(2+sinθ)/cosθ
    となり、交点は(arctan((2+sinθ)/cosθ),0)と
    (arctan((2+sinθ)/cosθ)+π,0)になりますので
    S(θ)=∫[arctan((2+sinθ)/cosθ)〜arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]sin(x-θ)-2cosx dx
    =[-cos(x-θ)-2sinx][arctan((2+sinθ)/cosθ)〜arctan((2+sinθ)/cosθ)+π]
    =2√(5+4sinθ)
    この式にθ=π/2を代入すると6となり、またS(π-θ)=S(θ)も成り立ちますので、
    θの定義域全体(0≦θ≦π)に対してS(θ)=2√(5+4sinθ)となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48862 / ResNo.2)  Re[2]: 三角関数の面積
□投稿者/ スコルピオン 一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 13:09:43)
    とても参考になりました。
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48852 / 親記事)  二次方程式の標準形への変換
□投稿者/ ライカー 一般人(1回)-(2018/10/04(Thu) 22:18:49)
    座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α=0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a(g-α)x+2(af-ha)y+ac-α^2=0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α=0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48861 / ResNo.1)  Re[1]: 二次方程式の標準形への変換
□投稿者/ ライカー 一般人(2回)-(2018/10/08(Mon) 05:16:54)
    No48852に返信(ライカーさんの記事)
    > 座標変換の公式よりこの新しい座標軸に対して、テキストに、「複号は直線ax+hy+α=0のどの向きをx'軸にとるかによって定まってくる。すなわち、直線2a(g-α)x+2(af-ha)y+ac-α^2=0に対して、原点と同じ側、または原点と反対側をx'軸の正の部分とするにしたがって、±は、ax+hy+α=0の符号と一致させて、または反対のものを採用すればよい。」とあるのですが、どのようなことを説明しているのかが理解できません。ご教授いただければと思います。


    わかりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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