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■48875 / 親記事)  ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(3回)-(2018/10/27(Sat) 18:37:44)
    各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。 (1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
    (2)四角形APRQの面積をtで表せ。
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■48879 / ResNo.3)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(5回)-(2018/10/30(Tue) 20:40:32)
    すみません。
    (1)
    基準点と3つの基本ベクトルを適切に定める(解答者任意)
    定める例
    点OとOA↑,OB↑,OD↑
    点AとAO↑,AB↑,AD↑
    四角形ABCDの中心(点Hと呼ぶ)とHA↑,HB↑,HO↑

    AP↑、AQ↑を上で定めた基本ベクトルで表す

    AR↑を(解答者任意に定める文字3つを使って)2つの方法で基本ベクトルで表す
    表し方1:文字1つ:点RはOC上の点
    表し方2:文字2つ:点Rは3つの点A,P,Qで定まる平面上にある

    同じベクトルの基本ベクトルによる表し方は同じ基本ベクトルの係数が同じになるから
    連立方程式(3つの方程式)ができるので、解答者が定めた3つの文字が t で表せる

    表し方2を t で書いて終了

    (2) うまいやり方が思いつかなかったので地道に

    一般論 △ABCの面積は、AB↑,AC↑の大きさと内積が計算できれば求められます
    (計算が面倒)

    この問題 (1)で考えた基本ベクトルの和で各点は表せるのでベクトルの大きさと内積は計算できます

    解き方1(面倒な計算が2回)
    四角形を2つの三角形に分解して面積を合計

    解き方2(面倒な計算が1回)
    (1)の結果よりAP'↑=2*AP↑ となる点P'を考えると
    四角形APRQの面積は△AP'Q の面積から△PP'Rの面積を引けば求められて
    △AP'Qと△PP'Rの面積比が t を使った比で表せることから△AP'Qの面積を求めて比を使って四角形の面積を計算
    この通りにすべて解いていただけないでしょうか?
    教えていただけると幸いです。本当にすみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48888 / ResNo.4)  Re[2]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(6回)-(2018/11/11(Sun) 19:32:58)
    (2)の解き方2を教えていただければと思います。無理でしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48891 / ResNo.5)  Re[3]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(14回)-(2018/11/14(Wed) 21:47:43)
    AP'=2APとなる点P'をとると
    |△AP'Q|:|△PP'Q|=2:1
    |△PP'Q|:|△PP'R|=1+t:1
    だから
    |△AP'Q|:|△PP'R|=2(1+t):1
    だから
    |△PP'R|=[1/{2(1+t)}]|△AP'Q|
    だから
    |□APRQ|
    =|△AP'Q|-|△PP'R|
    =|△AP'Q|-[1/{2(1+t)}]|△AP'Q|
    =[(2t+1)/{2(1+t)}]|△AP'Q|

    |△AP'Q|
    =(1/2)|AP'||AQ|sin∠PAQ
    =|AP||AQ|sin∠PAQ
    =√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]

    △OABは辺長1の正3角形で
    APはAからOBへの垂直2等分線だから
    |AP|=(√3)/2
    |AP|^2=3/4

    △OADは辺長1の正3角形で
    ∠AOQ=∠AOD=60°
    |OA|=1
    |OQ|=t|OD|
    だから
    |AQ|^2
    =|OA|^2+|OQ|^2-2|OA||OQ|cos∠AOQ
    =t^2-t+1
    だから
    |AP|^2|AQ|^2=3(t^2-t+1)/4

    (AP,AQ)
    =((1/2)OB-OA,tOD-OA)
    =(t/2)(OB,OD)-t(OA,OD)-(1/2)(OB,OA)+|OA|^2
    =(t/2)|OB||OD|cos∠BOD-t|OA||OD|cos∠AOD-(1/2)|OB||OA|cos∠AOB+1
    =(t/2)|OB||OD|cos90°-t|OA||OD|cos60°-(1/2)|OB||OA|cos60°+1
    =-(t/2)-(1/4)+1
    =3/4-t/2
    =(3-2t)/4
    だから
    (AP,AQ)^2=(3-2t)^2/16=(4t^2-12t+9)/16
    だから
    |AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2
    =3(t^2-t+1)/4-(4t^2-12t+9)/16
    =(8t^2+3)/16

    |△AP'Q|
    =√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
    ={√(8t^2+3)}/4

    |□APRQ|
    =[(2t+1)/{2(1+t)}]|△AP'Q|
    =[(2t+1)/{2(1+t)}]√[|AP|^2|AQ|^2-(AP,AQ)^2]
    =[(2t+1)√(8t^2+3)]/{8(1+t)}
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48894 / ResNo.6)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ コルム 一般人(7回)-(2018/11/17(Sat) 20:58:30)
    ありがとうございます。
    (2)の解き方2を次の5つを使って示していただきたいのですが。本当にすみません。
    次の5つを示してください

    @(一般論)△ABCの面積をAB↑、AC↑で計算する式

    A(この問題について)AQ↑、AP↑を
    HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑を使って表した式
    点Hを正方形ABCDの対角線の交点として

    B(この問題)点Rは線分QP'をどのように内分しているか
    点P'はAP'↑=2*AP↑を満たす点として

    C(この問題)△AP'Qの面積をSとしたときの△PP'Rの面積、四角形APRQの面積を表す式(Sとtで)

    D(この問題)(1)の答
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48895 / ResNo.7)  Re[2]: ベクトルについて。
□投稿者/ 菩菩紙御炉 一般人(1回)-(2018/11/17(Sat) 22:01:02)
    No48894に返信(コルムさんの記事)
    > ありがとうございます。
    > (2)の解き方2を次の5つを使って示していただきたいのですが。本当にすみません。
    > 次の5つを示してください
    >
    > @(一般論)△ABCの面積をAB↑、AC↑で計算する式
    >
    > A(この問題について)AQ↑、AP↑を
    > HA↑=a↑、HB↑=b↑、HO↑=o↑を使って表した式
    > 点Hを正方形ABCDの対角線の交点として
    >
    > B(この問題)点Rは線分QP'をどのように内分しているか
    > 点P'はAP'↑=2*AP↑を満たす点として
    >
    > C(この問題)△AP'Qの面積をSとしたときの△PP'Rの面積、四角形APRQの面積を表す式(Sとtで)
    >
    > D(この問題)(1)の答
    > 教えていただけると幸いです。

    いくら何でもこれは

    ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/10825711.html

    で誠実に回答されている方に失礼だろう。

    ttps://6900.teacup.com/cgu135/bbs

    で 'ベクトルの割り算' でもしていてください(笑)



引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48893 / 親記事)  整数の個数と極限
□投稿者/ ボンボニエール 一般人(1回)-(2018/11/17(Sat) 19:08:40)
    nを自然数とする。整数kに関する次の条件(C),(D)を考える。
    (C) 0≦k<n 
    (D) k/n≦1/m<(k+1)/n を満たす自然数mが存在する。
    条件(C),(D)をどちらも満たす整数kの個数をT[n]とする。
    lim[n→∞](log(T[n]))/(log(n))
    を求めよ。

    この問題を教えて下さい。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■48889 / 親記事)  数列
□投稿者/ いらが 一般人(1回)-(2018/11/14(Wed) 11:54:47)
    数列a[n](n=1,2,3,...)を
    a[n]=n!*(Σ[k=n+1,∞]1/k!)
    と定めると、
    a[n]>a[n+1] (n=1,2,3,...)
    であることの証明を
    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48890 / ResNo.1)  Re[1]: 数列
□投稿者/ らすかる 一般人(32回)-(2018/11/14(Wed) 15:49:21)
    a[n]-a[n+1]
    ={n!Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{(n+1)!Σ[k=n+2〜∞]1/k!}
    =n!{{Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{(n+1)Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    =n!{{Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}-n{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    =n!{1/(n+1)!-n{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    >n!{1/(n+1)!-n{Σ[k=1〜∞]1/{(n+1)!(n+2)^k}}}
    ={n!/(n+1)!}{1-n{Σ[k=1〜∞]1/(n+2)^k}}
    ={1/(n+1)}{1-n/(n+1)}
    ={1/(n+1)}{1/(n+1)}
    =1/(n+1)^2
    >0
    なので
    a[n]>a[n+1]

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48892 / ResNo.2)  Re[2]: 数列
□投稿者/ いらが 一般人(2回)-(2018/11/15(Thu) 10:23:52)
    有り難うございます。
    大変助かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48850 / 親記事)  極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)
    x,y,zは0≦x,y,z<2πをみたす実数で、さらに
    数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が
    n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。

    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■48878 / ResNo.2)  Re[2]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)
    どういうことでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48880 / ResNo.3)  Re[3]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)
    x=0
    y=0
    z=0
    とすると
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3
    cosnx+cosny+cosnzは3に収束する
    lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0
    sinnx+sinny+sinnzは0に収束する

    x=0
    y=0
    z=0


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48882 / ResNo.4)  Re[4]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、
    sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)
    が収束するならば、
    x=y=z=0である

    ことを示していただけませんか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48883 / ResNo.5)  Re[1]: 極限
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)
    x,y,zがどんな値であっても、
    nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を
    いくらでも3に近くすることができるから、
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。
    よってx=y=z=0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48887 / ResNo.6)  Re[1]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)
    x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
    0≦x/(2π)<1
    0≦y/(2π)<1
    0≦z/(2π)<1

    Q=(全有理数)
    Z=(全整数)
    N=(全自然数)
    f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
    lim_{n→∞}f(n)=α
    {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
    とすると
    x/(2π)=u/a
    y/(2π)=v/b
    z/(2π)=w/c
    {a,b,c}⊂N
    {u,v,w}⊂Z
    となるa,b,c,u,v,wがある
    ax=2uπ
    by=2vπ
    cz=2wπ
    だから
    n∈Nに対して
    k(n)=abcn
    とすると
    lim_{n→∞}f(k(n))
    =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
    =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
    =3
    {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
    部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
    {f(n)}も3に収束しなければならないから
    α=3
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

    n∈Nに対して
    m(n)=abcn+1
    とすると
    lim_{n→∞}f(m(n))
    =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
    =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
    =cos(x)+cos(y)+cos(z)
    ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
    ↓{f(n))}が3に収束するのだから
    ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
    =3

    cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
    ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
    cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
    ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
    x=y=z=0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48884 / 親記事)  統計学についての質問
□投稿者/ telly 一般人(1回)-(2018/11/07(Wed) 18:51:05)
    この写真の問いが分かりません。

    どのように解けばよいのでしょうか?
2293×3244 => 177×250

cbz6s-q4prx-001-min.jpg
/76KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48885 / ResNo.1)  Re[1]: 統計学についての質問
□投稿者/ muturajcp 一般人(9回)-(2018/11/10(Sat) 11:06:27)
    Pは区間(0,1]における1次元ルベーグ測度とする
    確率変数Xに対する確率測度として考える
    ||X||∞=inf{x|P(|X|>x)=0}
    とすると
    (1)
    ω∈(0,1]
    X(ω)=ω
    の時
    ||X||∞
    =inf{x|P(|X|>x)=0}
    =inf{x|P(|ω|>x)=0}
    ↓ω∈(0,1]→0<ω≦1だから
    =inf{x|P(x<ω≦1)=0}
    =inf{x|P((x,1])=0}
    ↓P((x,1])=1-xだから
    =inf{x|1-x=0}
    =inf{x|x=1}
    =inf{1}
    =1

    (2)
    ω∈(0,1]
    X(ω)=cosω
    の時
    ||X||∞
    =inf{x|P(|X|>x)=0}
    =inf{x|P(|cosω|>x)=0}
    ↓ω∈(0,1]→0<ω≦1だから
    =inf{x|P(0<ω<arccos(x),ω≦1)=0}
    =inf{x|P((0,min(arccos(x),1)])=0}
    ↓P((0,min(arccos(x),1)])=min(arccos(x),1)だから
    =inf{x|arccos(x)=0}
    =inf{x|x=1}
    =inf{1}
    =1
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48886 / ResNo.2)  Re[1]: 統計学についての質問
□投稿者/ muturajcp 一般人(10回)-(2018/11/10(Sat) 20:32:25)
    x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の場合
    0≦x/(2π)<1
    0≦y/(2π)<1
    0≦z/(2π)<1
    だから
    Q=(全有理数)
    Z=(全整数)
    N=(全自然数)
    f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
    lim_{n→∞}f(n)=α
    {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
    とすると
    x/(2π)=u/a
    y/(2π)=v/b
    z/(2π)=w/c
    {a,b,c}⊂N
    {u,v,w}⊂Z
    となるa,b,c,u,v,wがある
    ax=2uπ
    by=2vπ
    cz=2wπ
    だから
    n∈Nに対して
    k(n)=abcn
    とすると
    lim_{n→∞}f(k(n))
    =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
    =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
    =3
    {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
    部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
    {f(n)}も3に収束しなければならないから
    α=3
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

    n∈Nに対して
    m(n)=abcn+1
    とすると
    lim_{n→∞}f(m(n))
    =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
    =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
    =cos(x)+cos(y)+cos(z)
    ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
    ↓{f(n))}が3に収束するのだから
    ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
    =3

    cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
    ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
    cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
    ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
    x=y=z=0
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