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■52473 / 親記事)  相関係数と共分散
□投稿者/ robo 一般人(5回)-(2024/02/22(Thu) 08:25:39)
    3つの試験科目の得点を標準化したものをそれぞれX1、X2、X3とする。
    X1とX2の相関係数をρ12、X2とX3の相関係数をρ23、X3とX1の相関係数をρ31とする。
    標準化しているので、V[X1]=V[X2}=V[X3}=1である。
    XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
    cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか?X1とX1/3の共分散は1/3ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52474 / ResNo.1)  Re[1]: 相関係数と共分散
□投稿者/ ポテトフライ 一般人(1回)-(2024/02/24(Sat) 19:17:01)
    >cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか?
    はい、そうです。
    まずE[X_i]=0と期待値の線形性からE[(X_1+X_2+X_3)/3]=(E[X_1]+E[X_2]+E[X_3])/3=0
    またX_iは標準化されているのでV[X_i]=E[(X_i-E[X_i])^2]=E[X_i^2]=1
    さらにCov(X_i,X_j)=E[(X_i-E[X_i])*(X_j-E[X_j])]=E[X_i,X_j]
    >XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
    よって
    Cov(X_1,(X_1+X_2+X_3)/3)
    =E[(X_1-E[X_1])*( (X_1+X_2+X_3)/3-E[(X_1+X_2+X_3)/3])]
    =E[X_1*(X_1+X_2+X_3)/3]
    =(E[X_1^2]+E[X_1*X_2]+E[X_1*X_3])/3
    =(V[X_1]+Cov(X_1,X_2)+Cov(X_1,X_3))/3
    =(1+ρ_{12}+ρ_{13})/3


    >X1とX1/3の共分散は1/3ですか?
    はい、そうです。
    Cov(X_1、X_1/3)=E[X_1*(X_1/3)]=E[X_1^2]/3=V[X_1]/3=1/3

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52468 / 親記事)  logの計算
□投稿者/ robo 一般人(1回)-(2024/02/10(Sat) 23:32:18)
    log((1+0.776)/(1-0.776))/2
    の答えは1.035だそうです。
    電卓で計算すると、約0.45になるのですが、何が間違っているのでしょうか?

引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52469 / ResNo.1)  Re[1]: logの計算
□投稿者/ WIZ 一般人(22回)-(2024/02/10(Sat) 23:53:29)
    2024/02/11(Sun) 09:37:54 編集(投稿者)

    常用対数(底が10)だと0.4495・・・
    自然対数(底がe ≒ 2.718281828・・・)だと1.0352・・・
    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52470 / ResNo.2)  Re[1]: logの計算
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2024/02/11(Sun) 00:02:16)
    電卓のlogは普通常用対数ですから、「log」の代わりに「ln」を使いましょう。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52471 / ResNo.3)  Re[1]: logの計算
□投稿者/ robo 一般人(3回)-(2024/02/11(Sun) 00:42:15)
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52463 / 親記事)  tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
□投稿者/ スフィンクス 一般人(1回)-(2024/02/06(Tue) 00:21:31)
    tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開するときの係数 c_1 を求める。

    c_1
    = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan(z) }/(2!)
    = lim[z→π/2] (d/dz) { tan(z) + (z - π/2)/(cos(z))^2 }/2
    = lim[z→π/2] { 2/(cos(z))^2 + (z - π/2)(2 sin(z))/(cos(z))^3 }/2
    = lim[z→π/2] { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) }/(cos(z))^3
    = lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) } }/{ (d/dz) (cos(z))^3 }
    = lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) } …… (A)
    = lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }    …… (B)
    = (-1/3)(1/1)/{ -1 }
    = 1/3.

     A)から(B)の変形をもう少し詳しく教えてください。また、(B)の分母
      (cos(z) - 0)/(z - π/2)
    がz→π/2で-1になるのもよくわかりません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52464 / ResNo.1)  Re[1]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
□投稿者/ WIZ 一般人(21回)-(2024/02/06(Tue) 08:16:21)
    計算の部分だけ
    > { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) } …… (A)
    ⇒ (-1/3)(1/sin(z)){(z-π/2)/cos(z)}
    ⇒ (-1/3)(1/sin(z))/{cos(z)/(z-π/2)}
    > (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }    …… (B)

    # あえて{(z-π/2)/cos(z)}を1/{(z-π/2)/cos(z)}変形する必要はないと思うけど
    # 模範解答(?)がそうなっているのなら仕方ない。

    cos(π/2) = 0だから、
    lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
    = lim[z→π/2](cos(z)-cos(π/2))/(z-π/2)
    = cos'(π/2)
    = -sin(π/2)
    = -1

    或いはz→π/2で、(cos(z)-0)→0かつ(z-π/2)→0だから、ロピタルの定理より
    lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
    = lim[z→π/2](-sin(z))/1
    = -1
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52465 / ResNo.2)  Re[2]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
□投稿者/ スフィンクス 一般人(2回)-(2024/02/06(Tue) 16:11:31)
    丁寧な回答まことにありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52451 / 親記事)  複素数平面
□投稿者/ 大学数学 一般人(1回)-(2024/01/14(Sun) 05:04:33)
    どう手をつけたらいいかも分からないです。

    画像参照です。

    (携帯)
1077×226 => 250×52

IMG_0738.jpeg
/91KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52462 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数平面
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/02/05(Mon) 22:14:11)
    w=z^(-1)
    (A)
    z=x+ai
    a≠0とする
    w=(x+ai)^(-1)=(x-ai)/(x^2+a^2)
    wの共役複素数をw~とすると
    w~=(x+ai)/(x^2+a^2)
    ww~=1/(x^2+a^2)
    w-w~=-2ai/(x^2+a^2)=-2aiww~
    w-w~=-2aiww~
    ↓両辺に2aiww~を加えると
    2aiww~+w-w~=0
    ↓a≠0両辺に-i/(2a)をかけると
    ww~-wi/(2a)+w~i/(2a)=0
    ↓両辺に1/(4a^2)を加えると
    {w+i/(2a)}{w~-i/(2a)}=1/(4a^2)
    {w+i/(2a)}{w-i/(2a)}~=1/(4a^2)
    |w+i/(2a)|^2=1/(4a^2)
    ↓両辺を1/2乗すると
    |w+i/(2a)|=1/(2a)

    中心-i/(2a)半径1/(2a)の円

    (B)
    z=a+yi
    a≠0とする
    w=(a+yi)^(-1)=(a-yi)/(a^2+y^2)
    w~=(a+yi)/(a^2+y^2)
    ww~=1/(a^2+y^2)
    w+w~=2a/(a^2+y^2)=2aww~
    2aww~=w+w~
    ↓両辺に-w-w~を加えると
    2aww~-w-w~=0
    ↓a≠0両辺に1/(2a)をかけると
    ww~-w/(2a)-w~/(2a)=0
    ↓両辺に1/(4a^2)を加えると
    {w-1/(2a)}{w~-1/(2a)}=1/(4a)^2
    {w-1/(2a)}{w-1/(2a)}~=1/(4a)^2
    |w-1/(2a)|^2=1/(4a)^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |w-1/(2a)|=1/(2a)

    中心1/(2a)半径1/(2a)の円
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52449 / 親記事)  複素数 証明(難)
□投稿者/ (т-т) 一般人(1回)-(2024/01/14(Sun) 05:02:31)
    2024/01/14(Sun) 05:06:50 編集(投稿者)
    2024/01/14(Sun) 05:05:40 編集(投稿者)

    複素数の証明ができません。
    zw=-1+√3i
    極形式が
    w=2e^(2π/3-θ)i
    (θは実数)
    という所までしか分かりません。

    画像参照です!
    (携帯)
1019×182 => 250×44

IMG_0735.jpeg
/104KB
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