数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 77]

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デデキントの切断による実数の構成(0) |

ベルトラン・チェビチェフの定理について。(0) |

$D_n$加群のフーリエ変換と関数のフーリエ変換との関係について(0) |

群の問題(5) |

合同式の計算(2) |

プログラミング言語BASIC言語について。(14) |

対数の取り方、シグモイド、ロジスティック関数(0) |

緩和曲線の開始位置と終了地点および途中の高さxについて(0) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明9(23) |

（削除）(0) |

ケプラー方程式による惑星の会合計算(0) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明8(74) |

中学生でも解けそうな入試問題001(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明7(101) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明6(101) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明5(101) |

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線形代数(1) |

整数問題(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明４(101) |

isometric matrix,p-ノルムについて(0) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明3(76) |

d(cos^2θ)/dθ＝と置けるような相似の図を見つけたいです！(0) |

1/ cos^2θの微分を画像の図を用いて解きたい！(0) |

ラグランジュの剰余項(1) |

log2とマクローリン展開についての証明(1) |

フェルマーの最終定理の簡単な証明２(101) |

■記事リスト / ▼下のスレッド

■47478 / 親記事)

　像

□投稿者/ Ｍ一般人(3回)-(2015/08/24(Mon) 17:13:25)

F(t1,t2)=(Cos[t1] + Cos[t2], Sin[t1] + Sin[t2]) とする。

F に　よる　[0,2*Pi)×[0,2*Pi)　の　像は　{(x,y)∈R^2| x^2+y^2≦(Sqrt[2])^2}　
　　　　　　　　　　　　　　　を　証明して下さい。

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■47472 / 親記事)

　行列式の証明で

□投稿者/ Keito 一般人(1回)-(2015/08/15(Sat) 12:56:21)

A1:=(1_a_1,1_a_2,…,1_a_n),A2:=(2_a_1,2_a_2,…,2_a_n),…,An:=(n_a_1,n_a_2,…,n_a_n)を正値n×nエルミート行列とする時,
但し,1_a_1,1_a_2,…,1_a_n,2_a_1,2_a_2,…,2_a_n,n_a_1,n_a_2,…,n_a_nは列ベクトルとする。

この時,

det(1_a_1,2_a_2,…,n_a_n)>0となる事を示したいのですが何かいい方法はありませんでしょうか?

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47473 / ResNo.1)

　Re[1]: 行列式の証明で

□投稿者/ ひよこ一般人(1回)-(2015/08/16(Sun) 03:18:30)

$2$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
は正値エルミート行列ですが、
$2$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
は0を固有値に持つので、成立しないのでは？

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■47474 / ResNo.2)

　Re[2]: 行列式の証明で

□投稿者/ Keito 一般人(2回)-(2015/08/16(Sun) 05:22:28)

なぬ! そうでしたか。全くの勘違いでした(^_^;)。どうもお騒がせいたしました。

解決済み!

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■47467 / 親記事)

　極限値

□投稿者/ 掛け流し一般人(1回)-(2015/08/14(Fri) 10:49:15)

ご教授下さい。
nを自然数として、
極限 lim〔n→∞〕∫〔0→nπ〕（Cost）/（2n+t）dt = 0
を示したいのですがうまく、はさみ打ち出来ません。
よろしくお願いします。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■47468 / ResNo.1)

　Re[1]: 極限値

□投稿者/ Samantha 一般人(2回)-(2015/08/14(Fri) 12:35:29)

部分積分するのがよいと思います。

$2$ \displaystyle\int_{0}^{n \pi} \frac{\cos t}{2n+t} \, \rm{d}t \\ = \displaystyle\int_{0}^{n \pi} \frac{(\sin t)'}{2n+t} \, \rm{d}t \\ = \cdots$

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■47469 / ResNo.2)

　Re[2]: 極限値

□投稿者/ 掛け流し一般人(2回)-(2015/08/14(Fri) 13:40:58)

Samanth様
早速のご返事ありがとうございます。
ご指摘の通り置換すると、
∫〔0→nπ〕Cost/(2n+t)dt = ∫〔0→nπ〕Sint/(2n+t)^2 dt となり
絶対値をとり、結局のところ
｜∫〔0→nπ〕Cost/(2n+t)dt｜＜ ∫〔0→nπ〕1/(2n+ｔ)~2 dt
＝π/2n(2+π)→0 （n→∞）
となりました。
これでよろしいでしょうか。
よろしくお願いします。

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■47470 / ResNo.3)

　Re[3]: 極限値

□投稿者/ Samantha 一般人(3回)-(2015/08/14(Fri) 13:59:37)

よろしいと思います。

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■47471 / ResNo.4)

　Re[4]: 極限値

□投稿者/ 掛け流し一般人(3回)-(2015/08/14(Fri) 14:50:11)

Samantha様
ありがとうございました。

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■47458 / 親記事)

　多項式の係数

□投稿者/ あかいろ一般人(1回)-(2015/08/11(Tue) 18:23:46)

多項式 $2$P(z)$ が任意の $2$z \in \mathbb{C}$ に対して
$2$P(\overline{z}) = \overline{P(z)}$
をみたすとき、 $2$P(z)$ の係数は全て実数である。

これを教えて下さい。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■47459 / ResNo.1)

　Re[1]: 多項式の係数

□投稿者/ IT 一般人(27回)-(2015/08/11(Tue) 19:29:37)

「代数学の基本定理」を使ってよければ簡単ですが

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■47460 / ResNo.2)

　Re[2]: 多項式の係数

□投稿者/ あかいろ一般人(2回)-(2015/08/11(Tue) 19:56:54)

■No47459に返信(ITさんの記事)
> 「代数学の基本定理」を使ってよければ簡単ですが

教えて下さい。

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■47461 / ResNo.3)

　Re[3]: 多項式の係数

□投稿者/ IT 一般人(28回)-(2015/08/11(Tue) 20:29:50)

2015/08/12(Wed) 07:28:50 編集(投稿者)

P(z)がn次式の場合、「代数学の基本定理」より
P(z)=0 は複素数の範囲で必ず根を持つので
P(z)=c(z-α[1])(z-α[2])...(z-α[n])と表せる

P(α[j]~)=P(α[j])~=0　なのでαが根ならその共役複素数も根である
したがって、α[1],...α[n]は、実数および、「共役複素数のペア」からなる。
実数のものをa[1],a[2]...a[k],
虚数のものをβ[1],β[1]~,β[2],β[2]~,...,β[m],β[m]~とすると
P(z)=c(z-a[1])(z-a[2])...(z-a[k])(z-β[1])(z-β[1]~)...(z-β[m])(z-β[m]~)
=c(z-a[1])(z-a[2])...(z-a[k]){z^2-(β[1]+β[1]~)z+β[1]β[1]~}...{z^2-(β[m]+β[m]~)z+β[m]β[m]~}
=cQ(z),Q(z)は実数係数多項式である

zとしてP(z)=0の根以外の実数をとれば
P(z~)=P(z)=P(z)~
cQ(z)={cQ(z)}~=(c~)Q(z)~=(c~)Q(z)

よってcも実数。

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■47462 / ResNo.4)

　Re[4]: 多項式の係数

□投稿者/ あかいろ一般人(3回)-(2015/08/11(Tue) 20:41:41)

有難うございます！

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■47437 / 親記事)

　級数

□投稿者/ 晃一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 09:10:43)

正項級数Σa_nが収束すると仮定します。
このとき、収束する正項級数Σb_nで、
lim[n→∞]b_n/a_n=∞
をみたすものが存在しますか？

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■47439 / ResNo.1)

　Re[1]: 級数

□投稿者/ らすかる大御所(365回)-(2015/08/09(Sun) 10:52:36)

例えばa[n]=1/n^4, b[n]=1/n^2ならば
Σa[n]=π^4/90, Σb[n]=π^2/6, lim[n→∞]b[n]/a[n]=∞
となります。

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■47441 / ResNo.2)

　Re[2]: 級数

□投稿者/ 晃一般人(3回)-(2015/08/09(Sun) 10:59:03)

すみません、聞きたいのは
どのようなΣa_nについても、そのようなΣb_nが存在するだろうか？
ということでした。
分かりにくくてすみません…。

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■47444 / ResNo.3)

　Re[3]: 級数

□投稿者/ らすかる大御所(367回)-(2015/08/09(Sun) 15:34:35)

「収束が最も遅い正項級数」が存在するか？
ということでしょうか。
難しいですね。存在しないような気がします
（つまりΣb[n]は必ず存在する気がします）が、
私には証明できそうにありません。

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■47457 / ResNo.4)

　Re[2]: 級数

□投稿者/ at 一般人(1回)-(2015/08/11(Tue) 07:00:53)

＞どのようなΣa_nについても、そのようなΣb_nが存在するだろうか？
＞ということでした。

はい。どのようなΣa_nに対しても、そのようなΣb_nが必ず存在します。
つまり、収束する任意の正項級数Σa_nに対して、
lim[n→∞]b_n/a_n=∞ を満たすような収束する正項級数Σb_nが存在します。

s_n = a_1 + a_2 + .. + a_n,
s = lim[n→∞]s_n
とします。
数列 {M_n} を次で定義します。
1/M_1 = s, 1/M_(n+1) = s - s_n.
このとき、{M_n}は単調増加であって、lim[n→∞]M_n = ∞ です。
b_n = a_n * (M_n)^(1/2) とすれば、
lim[n→∞]b_n/a_n = ∞　かつ　Σb_n は収束　となります。

Σb_n が収束することは次のように示せます。
b_n = a_n * (M_n)^(1/2) = (M_(n+1)-M_n )/(M_(n+1)*(M_n)^(1/2))
と書き表せます。
一般に、正数α(≠1)と正整数 m,n (m < n) に対して、
(1-α^m)/m > (1-α^n)/n
が成り立ちます。
α^n=c, m/n=k とおくと、
(1-c^k) > k*(1-c)
となります。ここで、
c = M_n/M_(n+1), m = 1, n = 2 とすることによって、
1-(M_n/M_(n+1))^(1/2) > (1/2)*(1-M_n/M_(n+1)),
つまり、(M_(n+1)-M_n )/(M_(n+1)*(M_n)^(1/2)) < 2*((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2))
となります。
これは、b_n < 2*((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2)) を意味します。
したがって、
Σb_n < 2*Σ((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2)) = 2*(1/M_1)^(1/2).

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