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■47482 / 親記事)  行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(1回)-(2015/08/29(Sat) 00:26:16)
    3×3正値エルミート行列A=:(a_ij),B=:(b_ij)について,
    a22b33-a32~b32+b22a33-b32~a32>0となる事を示す問題です。

    どなたか証明をお願い致します。
    a32~はa32の共役複素数の意味です。

    a22b33-a32~b32+b22a33-b32~a32
    =Re(a22)Re(b33)+Re(b22)Re(a33)-2(Re(a32)Re(b32)+Im(a32)Im(b32))
    となると思いますがここから先に進めません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■47489 / ResNo.2)  Re[2]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(2回)-(2015/09/05(Sat) 12:35:25)
    なるほど納得です。どうも有難うございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47491 / ResNo.3)  Re[3]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(3回)-(2015/09/07(Mon) 10:32:33)
    まことに申し訳ありません。

    もう一つ質問なのですが

    A,Bは2×2正値エルミート行列とします。(A+B)~ijは行列A+Bのi,j成分に対する余因子を表すものとします。
    d_ij:=(A+B)~ij-A~ij-B~ijと定義すると,

    余因子行列,
    d_11,d_12
    d_21,d_22
    (これはエルミート行列になる事は直ぐに分かる)
    が正値になる事を示すにはどうすればいいでしょうか?

    d_21=\bar{d_12},d_11>0,d_22>0になる事は分かったのですがそこからが。。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47494 / ResNo.4)  Re[4]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ ひよこ 一般人(3回)-(2015/09/08(Tue) 15:57:54)
    ちょっとわかりません。

    行列の余因子行列をと表す。
    この書き方で、d_ijを並べたものは、

    のことですか?

    が二次正方行列なら、

    なので、d_ij=0となると思うのですが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47495 / ResNo.5)  Re[5]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(4回)-(2015/09/10(Thu) 05:04:35)
    2015/09/10(Thu) 06:58:09 編集(投稿者)
    2015/09/10(Thu) 06:56:31 編集(投稿者)
    2015/09/10(Thu) 06:30:51 編集(投稿者)

    cof(A+B)-cof(A)-cof(B)=Oは仰る通りでした。失礼いたしました。

    そもそも,n-1個のn×n正値エルミート行列A_1,A_2,…,A_{n-1}に於いて,
    記号A_1(i|j)はA_1からi行目とj列目を取り除いてできる(n-1)×(n-1)行列の意味でそれは(n-1)×(n-1)正値エルミート行列となる。

    そして,
    d_ij:=1/(n-1)!Σ_[k=0..n-2](-1)^kΣ_[{m_1,m_2,…,m_{(n-1)-k}}⊂{1,2,…,n-1}]det(A_{m_1}(i|j),A_{m_2}(i|j),…,A_{m_{(n-1)-k}(i|j)})
    とおいた時,d_ij=d_ji~,d_ii>0となる事も分かる。

    この時,

    D_n:=
    d_11,d_21~,…,d_n1~
    d_21,d_22,…, d_n2~
    : : :
    d_n1,d_n2,…,d_nn

    も正値エルミール行列になる事を示してます。

    そもそもn=3の時,
    D_3≠cof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)でした(^_^;)
    D_3の各成分の符号は正で一定ですがcof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)では(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)成分では負になるのでした。
    D_3=cof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)だとばっかり思い込んでおりました。

    兎に角,D_nが正値である事はどのように証明できますでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47496 / ResNo.6)  Re[6]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(5回)-(2015/09/10(Thu) 06:48:12)
    2015/09/10(Thu) 06:49:51 編集(投稿者)

    参考として
902×164 => 250×45

1441835292.jpg
/48KB
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■47478 / 親記事)  
□投稿者/ M 一般人(3回)-(2015/08/24(Mon) 17:13:25)
    F(t1,t2)=(Cos[t1] + Cos[t2], Sin[t1] + Sin[t2]) とする。

    F に よる [0,2*Pi)×[0,2*Pi) の 像は {(x,y)∈R^2| x^2+y^2≦(Sqrt[2])^2} 
                   を 証明して下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47472 / 親記事)  行列式の証明で
□投稿者/ Keito 一般人(1回)-(2015/08/15(Sat) 12:56:21)
    A1:=(1_a_1,1_a_2,…,1_a_n),A2:=(2_a_1,2_a_2,…,2_a_n),…,An:=(n_a_1,n_a_2,…,n_a_n)を正値n×nエルミート行列とする時,
    但し,1_a_1,1_a_2,…,1_a_n,2_a_1,2_a_2,…,2_a_n,n_a_1,n_a_2,…,n_a_nは列ベクトルとする。

    この時,

    det(1_a_1,2_a_2,…,n_a_n)>0となる事を示したいのですが何かいい方法はありませんでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47473 / ResNo.1)  Re[1]: 行列式の証明で
□投稿者/ ひよこ 一般人(1回)-(2015/08/16(Sun) 03:18:30)

    は正値エルミート行列ですが、

    は0を固有値に持つので、成立しないのでは?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47474 / ResNo.2)  Re[2]: 行列式の証明で
□投稿者/ Keito 一般人(2回)-(2015/08/16(Sun) 05:22:28)
    なぬ! そうでしたか。全くの勘違いでした(^_^;)。どうもお騒がせいたしました。
解決済み!
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■47467 / 親記事)  極限値
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2015/08/14(Fri) 10:49:15)
    ご教授下さい。
    nを自然数として、
    極限 lim〔n→∞〕∫〔0→nπ〕(Cost)/(2n+t)dt = 0
    を示したいのですがうまく、はさみ打ち出来ません。
    よろしくお願いします。

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47468 / ResNo.1)  Re[1]: 極限値
□投稿者/ Samantha 一般人(2回)-(2015/08/14(Fri) 12:35:29)
    部分積分するのがよいと思います。




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■47469 / ResNo.2)  Re[2]: 極限値
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2015/08/14(Fri) 13:40:58)
    Samanth様
    早速のご返事ありがとうございます。
    ご指摘の通り置換すると、
    ∫〔0→nπ〕Cost/(2n+t)dt = ∫〔0→nπ〕Sint/(2n+t)^2 dt となり
    絶対値をとり、結局のところ
    |∫〔0→nπ〕Cost/(2n+t)dt|< ∫〔0→nπ〕1/(2n+t)~2 dt
    =π/2n(2+π)→0 (n→∞)
    となりました。
    これでよろしいでしょうか。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47470 / ResNo.3)  Re[3]: 極限値
□投稿者/ Samantha 一般人(3回)-(2015/08/14(Fri) 13:59:37)
    よろしいと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47471 / ResNo.4)  Re[4]: 極限値
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2015/08/14(Fri) 14:50:11)
    Samantha様
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47458 / 親記事)  多項式の係数
□投稿者/ あかいろ 一般人(1回)-(2015/08/11(Tue) 18:23:46)
    多項式が任意のに対して

    をみたすとき、の係数は全て実数である。

    これを教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47459 / ResNo.1)  Re[1]: 多項式の係数
□投稿者/ IT 一般人(27回)-(2015/08/11(Tue) 19:29:37)
    「代数学の基本定理」を使ってよければ簡単ですが
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47460 / ResNo.2)  Re[2]: 多項式の係数
□投稿者/ あかいろ 一般人(2回)-(2015/08/11(Tue) 19:56:54)
    No47459に返信(ITさんの記事)
    > 「代数学の基本定理」を使ってよければ簡単ですが

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47461 / ResNo.3)  Re[3]: 多項式の係数
□投稿者/ IT 一般人(28回)-(2015/08/11(Tue) 20:29:50)
    2015/08/12(Wed) 07:28:50 編集(投稿者)

    P(z)がn次式の場合、「代数学の基本定理」より
    P(z)=0 は複素数の範囲で必ず根を持つので
    P(z)=c(z-α[1])(z-α[2])...(z-α[n])と表せる

    P(α[j]~)=P(α[j])~=0 なのでαが根ならその共役複素数も根である
    したがって、α[1],...α[n]は、実数および、「共役複素数のペア」からなる。
    実数のものをa[1],a[2]...a[k],
    虚数のものをβ[1],β[1]~,β[2],β[2]~,...,β[m],β[m]~とすると
    P(z)=c(z-a[1])(z-a[2])...(z-a[k])(z-β[1])(z-β[1]~)...(z-β[m])(z-β[m]~)
    =c(z-a[1])(z-a[2])...(z-a[k]){z^2-(β[1]+β[1]~)z+β[1]β[1]~}...{z^2-(β[m]+β[m]~)z+β[m]β[m]~}
    =cQ(z),Q(z)は実数係数多項式である

    zとしてP(z)=0の根以外の実数をとれば
    P(z~)=P(z)=P(z)~
    cQ(z)={cQ(z)}~=(c~)Q(z)~=(c~)Q(z)

    よってcも実数。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47462 / ResNo.4)  Re[4]: 多項式の係数
□投稿者/ あかいろ 一般人(3回)-(2015/08/11(Tue) 20:41:41)
    有難うございます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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