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■48406 / 親記事)  不等式
□投稿者/ 高橋優 一般人(1回)-(2017/12/28(Thu) 11:00:00)
    0<x<1でx>sin(√(1+x)-√(1-x))であることの証明って高校生にもできますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■48408 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2017/12/28(Thu) 12:58:09)
    sinxのテイラー展開を使ってよければ、できます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48409 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 高橋優 一般人(2回)-(2017/12/28(Thu) 13:31:41)
    x-x^3/6<sinx<x-x^3/6+x^5/120
    みたいな不等式を使うということでしょうか?
    ちょっと想像がつきません...
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48411 / ResNo.3)  Re[3]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2017/12/28(Thu) 19:16:22)
    y=√(1+x)-√(1-x) とおくと x=y√(4-y^2)/2
    また 0<x<1 のとき 0<y<√2

    0<y<√2のとき
    {y√(4-y^2)/2}^2-(y-y^3/6+y^5/120)^2
    ={y^8(4-y^2)+4y^4(3y^2-2)^2+592y^4(2-y^2)}/14400>0 から
    {y√(4-y^2)/2}^2>(y-y^3/6+y^5/120)^2
    y√(4-y^2)/2>y-y^3/6+y^5/120>siny
    ∴x>sin(√(1+x)-√(1-x))

    # y√(4-y^2)/2>y-y^3/6+y^5/120 の示し方は他にもあると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48418 / ResNo.4)  Re[4]: 不等式
□投稿者/ 高橋優 一般人(3回)-(2017/12/30(Sat) 02:39:48)
    ありがとうございます
    素晴らしいです
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■48417 / 親記事)  自然数の和と倍数の性質
□投稿者/ 奥多摩 一般人(1回)-(2017/12/30(Sat) 00:28:47)
    nとkは自然数とし、k<nとする。
    n/kの切り上げをc(n/k)と書く。
    1,2,...,n-1の中から重複なくk個を選び出す。
    そのk個の数の中から重複を許してc(n/k)個以下の数を
    うまく選べば、その和をnの倍数にすることができる。

    これって正しいでしょうか?
    正しければ証明を教えてほしいです。
    よろしくお願いします。
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■48404 / 親記事)  円環
□投稿者/ ロードムービー 一般人(1回)-(2017/12/28(Thu) 04:02:42)
    xy平面で1≦x^2+y^2≦4かつa≦x≦a+1で表される領域の面積をS(a)とします。
    aが実数を動いたときのS(a)の最大値は何になりますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■48405 / ResNo.1)  Re[1]: 円環
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2017/12/28(Thu) 04:49:29)
    自作問題ですか?
    y≧0の部分でx=bが円環を切る長さをT(b)とすると
    b≧0に対するT(b)は
    b=0のとき1
    0<b<1で増加
    b=1のとき√3
    1<b<2で減少
    b=2で0
    となりますので
    0<b<1でT(b)=T(b+1)となるとき
    S(b)が最大値になります。
    これを式にすると
    √(4-(a+1)^2)=√(4-a^2)-√(1-a^2)
    これを整理して
    3a^4+4a^3-20a^2-8a+12=0
    この適解は
    a=0.64937650279271053573542013931590976133167538436917…
    これを、積分で得た面積の式
    (a+1)√(3-2a-a^2)-a√(4-a^2)+a√(1-a^2)
    +4arcsin((a+1)/2)-4arcsin(a/2)+arcsin(a)-π/2
    に代入することにより
    S(a)=2.82301777887522403405247654637239676648465183078042…
    を得ます。

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■48415 / ResNo.2)  Re[2]: 円環
□投稿者/ ロードムービー 一般人(2回)-(2017/12/29(Fri) 11:05:42)
    有り難うございました!!
    東大後期の問題なのですが、どこをどう探しても答がなかったので助かりました!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48416 / ResNo.3)  Re[3]: 円環
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2017/12/29(Fri) 11:31:02)
    2017/12/29(Fri) 11:48:19 編集(投稿者)

    > 東大後期の問題

    ということは、数値解でなく解析的に書き表された解があるということですね?

    (追記)
    とりあえず a={√(26+2√7)-√7-1}/3 と書けますので
    厳密解も書けることは書けますね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48401 / 親記事)  三角関数
□投稿者/ 餅入りお好み焼き 一般人(1回)-(2017/12/23(Sat) 11:29:30)
    aを実数の定数として、tを変数とする関数
    f(t)=sin(2t)+sin(t+a)
    のtが実数を動いたときの最大値をM(a)、最小値をm(a)とします。
    aが実数を動いたときのM(a)-m(a)の値域はどうなるのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48403 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2017/12/27(Wed) 01:23:15)
    自作問題ですか?
    多分、
    M(0)-m(0)=√(414+66√33)/8≒3.52 が最大値
    M(π/4)-m(π/4)=25/8=3.125 が最小値
    となると思います。

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■48398 / 親記事)  微分
□投稿者/ 質問者 一般人(1回)-(2017/12/23(Sat) 00:48:26)
    問:f(x)は微分可、f(-x)=f(x)+x、f'(1)=1、f(1)=0を満たしている。次の値を求めよ。
    (1)f'(-1)

    解1
    f'(-x)=(f(x)+x)'
    =f'(x)+1
    f'(-1)=f'(1)+1
    =2

    解2
    f'(-1)=lim[h→0](f(-1+h)-f(-1))/h
    =lim[h→0](f(1-h)+(1-h)-f(1)-1)/h
    =lim[h→0][(f(1-h)-f(1))/h-1}
    =f'(1)-1
    =0

    解1と2ではどちらが正しいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48399 / ResNo.1)  Re[1]: 微分
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2017/12/23(Sat) 02:54:36)
    どちらも間違っています。

    解1は1行目が誤りです。
    f(-x)=f(x)+x の両辺を微分すると
    f'(-x)・(-x)'=(f(x)+x)'
    ですから
    -f'(-x)=(f(x)+x)'=f'(x)+1
    となり
    f'(-x)=-f'(x)-1なので
    f'(-1)=-f'(1)-1=-2
    となります。

    解2は3行目から4行目への式変形が誤りです。
    lim[h→0]{(f(1-h)-f(1))/h-1}
    =lim[h→0]{(f(1+h)-f(1))/(-h)-1}
    =lim[h→0]{-(f(1+h)-f(1))/h-1}
    =-f'(1)-1
    =-2
    となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48400 / ResNo.2)  Re[2]: 微分
□投稿者/ 質問者 一般人(3回)-(2017/12/23(Sat) 10:18:13)
    とても納得しました。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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