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□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2017/02/25(Sat) 09:45:12)
 | 以下、文字は整数とし、xとyの最大公約数を(x,y)と表すこととする。
互除法の原理
x,yに対して、y=xq＋ｒ（q,rは整数〜必ず存在する）であるとき、(x,y)=(x,r)。
(q,rの大きさは問わない)
を利用して、次の2つを証明したいのですが、
(1) (x,y)=1⇒(xy,x+y)=1
(証明) xy=(x+y)･1+(xy-x-y)
x+y=(xy-x-y)+xy
xy-x-y=xy･1-(x+y)
であるから、
(xy,x+y)=(x+y,xy-x-y)=(xy-x-y,xy)=(xy,-(x+y))=1 （証明終）
(2)(x,y)=1⇒(xy,x^2+y^2)=1
を上と同様に示したいのですが、うまくいきません。ご教授下さい。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
| ■47884 / ResNo.1) |
Re[1]: 互いに素？
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□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2017/02/25(Sat) 13:54:14)
| (2)以前に、(1)の証明がおかしいのでは？
(x,y)=1がどこにも使われていないように見えますし、
最後の1行も(xy,x+y)=(xy,-(x+y))と言っているだけで
意味のある計算には思えません。
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| ■47885 / ResNo.2) |
Re[2]: 互いに素？
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□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2017/02/25(Sat) 15:23:35)
| らすかる様 早速のお返事ありがとうございます。
ご指摘の通り(1)について、全く証明になっていませんでした。
やはり、背理法を使って以下のようにするしかないのでしょうか？
(1)の証明
(xy,x+y)=g(≧２なる素数)とすると、
xyはgの倍数で、x,yは互いに素ゆえ、xまたはyの一方はgの倍数であるから、
xをgの倍数として（一般性を失わず）、x=gk(kは整数)とする。
x+yもgの倍数であるから、x+y=gA(Aは整数)とおくと、y=g(A-k)となり、yもgの倍数となる。これは，x,yが互いに素である事に矛盾する。
(2)の証明も同じようにやるしかないでしょうか？
(1)(2)とも、式変形（互除法の原理）を利用してどうにか証明できないものか、と考えているのですが、うまくいかない状態です。アドバイス頂ければ幸いです。
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| ■47886 / ResNo.3) |
Re[3]: 互いに素？
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□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2017/02/26(Sun) 03:17:38)
| 互除法の原理を利用すると
(1)
(x,y)=1 から (x,x+y)=1, (y,x+y)=1 （∵互除法の原理から）
∴(xy,x+y)=1
(2)
(xy,x+y)=1 から (xy,(x+y)^2)=1
(xy,x^2+y^2+2xy)=1 から (xy,x^2+y^2)=1 （∵互除法の原理から）
# 両方とも、互除法の原理を使った式変形だけで導くのは
# 不可能だと思います。
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| ■47887 / ResNo.4) |
Re[4]: 互いに素？
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□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2017/02/26(Sun) 06:40:57)
| らすかる様
素晴らしい解説ありがとうございました。
よく分かりました。今後とよろしくお願いします。
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