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□投稿者/ こいち 一般人(1回)-(2018/07/28(Sat) 12:04:12)
 | ∫(積分区間0→∞){e^(-ax)}sin(bx)dx の解き方を教えてください。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■48500 / ResNo.1) |
Re[1]: 広義積分の質問
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□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2018/07/28(Sat) 14:40:35)
 | a≠0かつb≠0のとき ∫e^(-ax)・sin(bx)dx =e^(-ax)/(-a)・sin(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・bcos(bx)dx =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a)∫e^(-ax)・cos(bx)dx =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){e^(-ax)/(-a)・cos(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・(-b)sin(bx)dx} =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){-{e^(-ax)・cos(bx)}/a-(b/a)∫e^(-ax)sin(bx)dx} =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2-(b^2/a^2)∫e^(-ax)sin(bx)dx なので (1+b^2/a^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2+C1 (a^2+b^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}+C1 ∴∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)+C2 従って b=0のとき (与式)=∫[0〜∞]0dx=0 b≠0,a=0のとき (与式)=∫[0〜∞]sin(bx)dx=[-cos(bx)/b][0〜∞]は発散 b≠0,a<0のとき (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]は発散 b≠0,a>0のとき (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)
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■48501 / ResNo.2) |
Re[2]: 広義積分の質問
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□投稿者/ こいち 一般人(3回)-(2018/07/28(Sat) 15:11:29)
 | b≠0,a>0のとき (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2) の部分がどうしてこうなるのか詳しく教えていただきたいです。すみません。
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■48503 / ResNo.3) |
Re[3]: 広義積分の質問
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□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:24)
 | a>0,x→∞のとき e^(-ax)→0,|asin(bx)|≦a,|bcos(bx)|≦|b|なので lim[x→∞]-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=0 x=0のとき e^(-ax)=1, asin(bx)=0, bcos(bx)=bなので x=0のとき-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=-b/(a^2+b^2) よって(与式)=0-(-b/(a^2+b^2))=b/(a^2+b^2)
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■48506 / ResNo.4) |
Re[4]: 広義積分の質問
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□投稿者/ こいち 一般人(9回)-(2018/07/28(Sat) 16:13:17)
 | 解くことができました。ありがとうございました!
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