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■47238 / 親記事)  広義積分
□投稿者/ マリリン 一般人(1回)-(2015/05/20(Wed) 21:10:22)
    素朴な疑問ですが…

    f[n](x) : [0,∞)→(0,∞) (n=1,2,3,...) はみな連続関数で、
    ∫[0→∞] f[n](x) dx (n=1,2,3,...) はすべて収束していると仮定します。
    このとき、連続関数 f(x) : [0,∞)→(0,∞) で、以下の2条件を同時にみたすものは必ず存在しますか?
    ・∫[0→∞] f(x) dx は収束
    ・任意の n に対して lim[x→∞] f(x)/f[n](x) = ∞
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47297 / ResNo.1)  Re[1]: 広義積分
□投稿者/ ひよこ 一般人(11回)-(2015/05/29(Fri) 14:01:48)
    いまさらですが。

    結論として、出来ると思います。

    ちょっと面倒ですが、条件を満たすf(x)を構成します。

    まず、

    と定めます。このようにすると、k以下のnに対して

    が成り立つことに注意します。

    次に、いわゆるcut-off関数を、

    を満たすような連続関数とします。

    さらに、を次のように定めます。
    .

    では次を満たす。


    ここで、各kを固定すれば、は可積分であることから、を大きくとれば、上記を満たすようなものがとれることが分かります。
    作り方から、

    となっていることにも注意します。

    ここまでで準備完了。
    最後に、

    として、f(x)を定めます。これは、無限和ではありますが、xを固定すると、
    を満たすようなkは有限個ですので、x毎に有限和になっていて、f(x)が連続関数であることもわかります。

    また、となっています。

    積分値についても、の選び方から、

    となります。

    最後に、nを固定し、m>nに対して、となるようなを考えれば、

    が成り立つので、

    も得られます。

    以上でどうでしょうか。

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■47307 / ResNo.2)  Re[2]: 広義積分
□投稿者/ マリリン 一般人(2回)-(2015/06/04(Thu) 21:41:15)
    有難うございます。
    納得できました。
解決済み!
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■47072 / 親記事)  固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(1回)-(2015/04/07(Tue) 12:47:48)
    A,Bをn×n正値エルミート行列とするとき,
    ∃ε>0; ∀x∈(-ε,ε)に対して, A+xBの固有値は有界である,
    つまり,
    集合∪_{x∈(-ε,ε)}σ(A+xB)は有界であることはどうすれば示せますでしょうか?

    σ(A)と書いたらAの固有値の集合を表してます。
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▽[全レス19件(ResNo.15-19 表示)]
■47298 / ResNo.15)  Re[15]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(9回)-(2015/05/30(Sat) 01:58:24)
    あっ、なるほど。たしかに,
    ∂f(x,ε)/∂x|_{(x,ε)=(0,0)}=2x|_{(x,ε)=(0,0)}=0だから
    dε/dxは(0,0)の近傍で存在するがdx/dεは(0,0)の近傍で存在しないのですね。

    εはx(固有値に関して)陰関数定理を用いて解析的と示せるが
    xはεに対して解析的かどうかは陰関数定理では判定不能なのですね。
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■47300 / ResNo.16)  Re[16]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(10回)-(2015/06/01(Mon) 11:19:15)
    従って,
    (f_ε(x)=0はxはεについて解析的であるだろうが)
    f_ε(x)=0にて,xはεについて解析的である事の証明には陰関数定理は使えないのですね。
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■47301 / ResNo.17)  Re[17]: 固有値の問題
□投稿者/ ひよこ 一般人(12回)-(2015/06/01(Mon) 23:17:25)
    陰関数定理の仮定を満たさないことについては、それで良いと思います。

    >(f_ε(x)=0はxはεについて解析的であるだろうが)
    については、
    f(x,ε)=x^2+εの場合、
    f(x,ε)=0となるxをεで表そうとすると、


    ただし、εは0以下、となって、この関数x(ε)は、ε=0では解析的ではないと思います。

    ・まず、0の近傍では関数が定義されていない。普通、ある点cで解析的というためには、cを含むなんらかの領域(連結開集合上)で考える。
    ・上記を解消するため、x(ε)をε>0で、全体が奇関数になるように拡張したりしても、そもそもx'(0)=-∞とかになって、0ではテイラー展開できません。つまり、解析的にはなりません。

    いかがでしょうか。
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■47302 / ResNo.18)  Re[18]: 固有値の問題
□投稿者/ 桜子 一般人(11回)-(2015/06/02(Tue) 04:45:41)
    ご回答誠に有難うございます。

    今,x(ε)はεで決まるエルミート行列A+εBの固有値だからx(ε)は実関数でなければならないがx(ε)=√(-ε)は0<εでは実関数とはならないので,
    x(ε)は0≧εでしか定義されないのですね。
    ここで,ε=0の時のεは0≦εの内点にならないのでx(ε)が定義されるε=0の開領域は存在しませんね。

    > x(ε)をε>0で、全体が奇関数になるように拡張したりしても

    ここのくだりがいまいち分かりません。これはε=0でx(ε)の可除特異点が取れないということでしょうか?
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■47306 / ResNo.19)  Re[19]: 固有値の問題
□投稿者/ ひよこ 一般人(13回)-(2015/06/04(Thu) 01:09:56)
    えーと、もともとの問題はちょっとおいといて、実数に限って、f(x,ε):=x^2+εの場合に話をしています。

    ε>0の部分でx(ε)が定義されていないのが不都合の原因であるならば、
    それを取り除くことを考えたいというのが、よくある考え方です。

    それを実行するためには、とにかくx(ε)をε>0でうまく定義してしまえば良い、というわけですが、そういった場合に使われる手法の一つが奇関数拡張とか偶関数拡張とかなので例として挙げました(深い意味はありません)。

    例えば、
    「xが非負な部分でf(x)=sin xと定義されている関数が、x=0の近傍でC^1級か?」
    というと、
    「x<0ではf(x)が定義されていないためにx=0での微分が定義されないのでダメ」
    という考え方もありますが、x<0に対して、f(x)が全体で奇関数になる(f(-x)=-f(x)となる)ようにf(x)を定めれば、f(x)はC^1級になるわけです。

    これが奇関数に拡張するという話です。あくまで単なる拡張の仕方の一例です。



    さて、今考えている問題では、そもそも、

    となっているので、これはx(ε)がε=0で解析的であることに矛盾します。

    これは、ε=0が、x(ε)の可除でない特異点になっていることを意味しているわけです。

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■47305 / 親記事)  最大
□投稿者/ m 一般人(1回)-(2015/06/03(Wed) 00:43:27)
    C ; x^2 + y^2 =58 上に 2点 A = (-7, -3); B = (7, -3)を定める。

    C上の点P に ついて 2*AP+BP が 最大となる P を 求めて下さい。

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■47303 / 親記事)  漸近線
□投稿者/ ケモタイプ 一般人(1回)-(2015/06/02(Tue) 21:28:19)
    実数から実数への連続関数は何本の漸近線を持ち得ますか?
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47304 / ResNo.1)  Re[1]: 漸近線
□投稿者/ らすかる 大御所(342回)-(2015/06/02(Tue) 23:22:07)
    実数全体で定義された連続関数でしたら、0本か1本か2本だと思います。
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■47299 / 親記事)  表現
□投稿者/ tri 一般人(1回)-(2015/06/01(Mon) 01:55:27)
      3次方程式 x^3-15 x^2-18 x-1=0 の 解 を
    (1) α と するとき 他の解が αの 多項式 [係数は有理数]
       で 表現 されるのは 自明 でしょうか?

    (2) 他の解 を αの 多項式 で 表現 願います
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