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■47202 / 親記事)  不等式
□投稿者/ 髪の毛 一般人(1回)-(2015/05/14(Thu) 20:46:55)
    自然数nと実数a,b,cが
    a^n+b^n+c^n=0
    を満たすとき、
    ab+bc+ca≦0
    が成り立ちますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47205 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ IT 一般人(4回)-(2015/05/14(Thu) 22:48:16)
    2015/05/16(Sat) 12:39:23 編集(投稿者)

    a^n+b^n+c^n=0…(1)
    成り立つと思います。
    nが偶数のときは簡単
    nが奇数のとき
     abc=0の場合は簡単
     abc≠0のとき
     a≧b≧cとしても一般性を失わない
     a,b,cの3つとも正負が同じだと(1)を満たさないので下記2つの場合がある
     a≧b>0>cのとき
      (1)よりc<-a ※1 すなわちa+c<0
      また ca<0
      よって ab+bc+ca=b(a+c)+ca<b(a+c)<0
     a>0>b≧cのとき
      (1)よりa>-c ※2 すなわちa+c>0
      また ca<0
      よって ab+bc+ca=b(a+c)+ca<b(a+c)<0

     ※1 a^n+b^n=-c^n=(-c)^n、よってa^n<(-c)^n、よってa<-c
     ※2 a^n=-b^n-c^n=(-b)^n+(-c)^n よってa^n>(-c)^n よってa>-c
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47206 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 髪の毛 一般人(2回)-(2015/05/15(Fri) 21:16:41)
    成り立つんですね
    有難うございました
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47196 / 親記事)  線形代数
□投稿者/ 空豆 一般人(1回)-(2015/05/12(Tue) 14:31:07)
    を整数行列のなす群とします。
    個の整数で、とします。
    このとき、を第列にもつの元が存在しますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47198 / ResNo.1)  Re[1]: 線形代数
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2015/05/13(Wed) 07:50:54)
    #線型代数ではなくて加群の話ですね。

    存在します。
    有限生成アーベル群の基本定理の証明でも類似のことをするでしょうから、
    そのあたりの文献なりページなりを探せばちゃんとした証明がみつかると思います。

    マルチなのでこれで終わりにしようかと思いましたが、
    ユークリッドの互除法の原理を利用して構成する例を以下にあげます。
    この例から一般化し細部をつめれば1つの証明になるでしょう。
    L=|a_1|+...+|a_n| に関する数学的帰納法だと証明が簡単でしょう。


    5 13 23 を1行目に含む整数係数 3x3行列で、行列式が±1 のもの(GL3(Z)の元)を1つ求める。

    step 1
    23=5*4+3 3番目から1番目の4倍を引く
    13=5*2+3 2番目から1番目の2倍を引く

    5 3 3

    step 2
    5=3*1+2 1番目から3番目を引く
    3=3*1  2番目から3番目を引く

    2 0 3

    step 3
    3=2*1+1 3番目から1番目を引く

    2 0 1

    step 4
    2=1*2 1番目から3番目の2倍を引く

    0 0 1

    これを含むGL3(Z)の行列の1つは次のもの。

    0 0 1
    0 1 0
    1 0 0

    これに対して基本操作(行列式が変わらない操作)を行う

    step 4' 1列目に3列目の2倍を足す

    2 0 1
    0 1 0
    1 0 0

    step 3' 3列目に1列目を足す

    2 0 3
    0 1 0
    1 0 1

    step 2' 2列目に3列目を足し、1列目に3列目を足す

    5 3 3
    0 1 0
    2 1 1

    step 1' 3列目に1列目の4倍を足し、2列目に1列目の2倍を足す

    5 13 23
    0 1 0
    2 5 9

    1列目が 5, 13, 23 になり、これが求めるGL3(Z)の元(の1つ)。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47204 / ResNo.2)  Re[2]: 線形代数
□投稿者/ 空豆 一般人(2回)-(2015/05/14(Thu) 21:03:44)
    ありがとうございます。
    なかなか回答が付かなかったので自分で考えていたのですが、
    単因子論を使えばよかったんですね。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47203 / 親記事)  逆元
□投稿者/ q 一般人(1回)-(2015/05/14(Thu) 20:53:47)
    Q[x]/<1 + 2 x + x^3>の元(1/2)*(1 - x + x^2)+(1 + 2 x + x^3)*Q[x] の 逆元 を お願いします。
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■47195 / 親記事)  級数
□投稿者/ 解析勉強中 一般人(1回)-(2015/05/12(Tue) 10:49:49)
    {a_n}(n=1,2,3,...)は実数からなる数列で、次の条件をみたしています。
    条件 : Σ[n=1,∞](b_n)^2が収束するような任意の実数列{b_n}(n=1,2,3,...)に対してΣ[n=1,∞](a_n)*(b_n)が収束する。
    このときΣ[n=1,∞](a_n)^2が収束することの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47199 / ResNo.1)  Re[1]: 級数
□投稿者/ ひよこ 一般人(7回)-(2015/05/13(Wed) 17:12:35)
    関数解析使って良いなら、一様有界性定理を使って示せると思います。

    上の有界線形汎関数を、

    で定める。ここで、の元です。

    さて、仮定を用いると、が示せます。

    あとは、一様有界性定理を使うと、が有界線形汎関数となっていることがわかります。

    一方、の作り方から、

    となっているので、の有界性から結論が得られます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47201 / ResNo.2)  Re[2]: 級数
□投稿者/ 解析勉強中 一般人(2回)-(2015/05/14(Thu) 12:57:01)
    理解しました。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47200 / 親記事)  よくある問
□投稿者/ サクランボ 一般人(1回)-(2015/05/13(Wed) 22:57:47)
    1/(1+7^(1/2) + 5^(1/3) + 3^(1/5)) の分母の有理化を お願いします。

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