 | 2024/04/12(Fri) 22:42:14 編集(投稿者)
k^2-7は整数なので、3^nも整数であり、よってn ≧ 0です。
3^n ≡ k^2 (mod 7)となりますが、7の剰余類において3は平方数に合同にはなりません。
# このことを「3は法7の平方非剰余である」と言います。
# 7の剰余類は、0^2 ≡ 0, 1^2 ≡ 6^2 ≡ 1, 2^2 ≡ 5^2 ≡ 4, 3^2 ≡ 4^2 ≡ 2 (mod 7)
# と3が平方剰余でないことが確認できます。
よって、nは偶数ではなくてはならないので、mを非負整数としてn = 2mとおけます。
3^n = k^2-7
⇒ 7 = k^2-3^(2m) = (k-3^m)(k+3^m)
k-3^mもk+3^mも整数で、k-3^m < k+3^mです。
その積が7に等しいので、(k-3^m, k+3^m) = (-7, -1)(1, 7)となります。
(1) (k-3^m, k+3^m) = (-7, -1)とすると、
(k-3^m)+(k+3^m) = (-7)+(-1)
⇒ 2k = -8
⇒ k = -4
(k-3^m)-(k+3^m) = (-7)-(-1)
⇒ (-2)(3^m) = -6
⇒ m = 1, n = 2
(2) (k-3^m, k+3^m) = (1, 7)とすると、
(k-3^m)+(k+3^m) = 1+7
⇒ 2k = 8
⇒ k = 4
(k-3^m)-(k+3^m) = 1-7
⇒ (-2)(3^m) = -6
⇒ m = 1, n = 2
以上から、(k, n) = (-4, 2)(4, 2)
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