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■47910 / 親記事) |
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□投稿者/ めるかり 一般人(1回)-(2017/03/10(Fri) 14:40:24)
 | 座標平面上に原点O(0,0)、点A(4,0)、点B(0,3)がある。 直交する直線2本によって△OABの面積を4等分するとき、 これらの直線の方程式を求めよ。
教えて下さい。 お願いいたします。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47912 / ResNo.1) |
Re[1]: (1/4)(3:4:5)
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□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2017/03/11(Sat) 12:15:14)
 | 自作問題ですか?
線分AB,線分OAと交わり△OABを二等分する直線の方程式は 3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s (1≦s≦2)… (1) 線分OA,線分OBと交わり△OABを二等分する直線の方程式は 3x+2t^2y=6t (1≦t≦2)… (2) この2直線が直交するので 3・3s^2+2t^2(4s^2-8)=0 ∴t^2=9s^2/(16-8s^2) (→ 1≦s≦8/√41, 3√2/4≦t≦2) これを(2)に代入して整理すると (24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2) … (3)
(1)と(3)の交点のy座標は {18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)} (1)の傾きは 3s^2/(8-4s^2) なので、2直線とx軸で囲まれる直角三角形の面積は {{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・ {3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}/2 これが3/2でなければならないので {{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・ {3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}=3 これを整理すると 9649s^8-27392s^7-6400s^6+87552s^5-67456s^4-49152s^3+81920s^2-32768s+4096=0 (2乗したので不適解を含む) 数値的に解くと適解は s=1.190315408356102635648805458007… よって求める2直線はsをこの値として 3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s と (24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2)
ちなみに 2直線の交点は P(1.256834056326256745226150776051…,1.124846960943165497230454772467…) 2直線とOAとの交点は C(0.639546147248281670517592509358…,0) D(3.306575622515343617176951966100…,0) 直線とABとの交点は E(1.619369183287794728702389083984…,1.785473112534153953473208187011…) 直線とOBとの交点は F(0,1.814566090412214061669002877310…) 直線CEの傾きは 1.822240391235455361214466451085… 直線DFの傾きは -0.548775016078977902736900547199… で、検算したところ4つの領域の面積がすべて正しく1.5になっていました。
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■47920 / ResNo.2) |
Re[2]: (1/4)(3:4:5)
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□投稿者/ めるかり 一般人(2回)-(2017/03/12(Sun) 10:45:15)
 | 数学パズルの本に、抽象的に解くと簡単(直交する直線の"存在")だけど、具体的には難しい問題として紹介されていたものです。
こんなとんでもないことになるんですね。 途中の8次方程式を解くなんて私には無理でした…。 教えていただき有難うございます。
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