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■49052 / 親記事)  (削除)
□投稿者/ -(2019/03/21(Thu) 07:15:25)
    この記事は(投稿者)削除されました
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■49053 / ResNo.1)  Re[1]: 会計に関わるものなんですが
□投稿者/ mo 一般人(1回)-(2019/03/21(Thu) 15:23:39)
    2019/03/21(Thu) 15:25:46 編集(投稿者)

    参考です

    ●去年の理屈の推測と、それに基づく今年の例
    【昨年】コーチが4名なので、3万ずつで計12万
    2つの少年団で折半(A団22名、B団4名、合計22名)
    A団:120,000÷22×18人=98181.81…で、98,182円
    B団:120,000÷22×4人=21818.18…で、21,818円

    【今年】はコーチが5名なので、3万ずつで計15万
    2つの少年団で折半(A団22名、B団4名、合計22名)
    A団:150,000÷22×18人=122,727.27…で、122,727円】
    B団:150,000÷22×4人=27,272.72…で、27,273円】

    ●【今年の】団員1名当たりの負担について
    全体:150,000÷22=6,818.18…で、6,818円だと、4円不足
    A団:6,818×18=122,724【3円ずれ…団内で調整】
    B団:6,818×4=27,272【1円ずれ…団内で調整】




引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49155 / ResNo.2)  Re[2]: 会計に関わるものなんですが
□投稿者/ 主 一般人(1回)-(2019/04/04(Thu) 15:27:04)
    教えて下さりありがとうございます!!

    提出する予算案の備考欄に、
    一人当たりの負担額書いたほうが良いかな?と。
    (うちはA団です。)
    ですので、備考欄に、【A団費分@6,818円】

    と表記するのは間違っていますか?
    なんとかいたらわかりやすく、収まるか聞きたい

    No49053に返信(moさんの記事)
    > 2019/03/21(Thu) 15:25:46 編集(投稿者)
    >
    > 参考です
    >
    > ●去年の理屈の推測と、それに基づく今年の例
    > 【昨年】コーチが4名なので、3万ずつで計12万
    > 2つの少年団で折半(A団22名、B団4名、合計22名)
    > A団:120,000÷22×18人=98181.81…で、98,182円
    > B団:120,000÷22×4人=21818.18…で、21,818円
    >
    > 【今年】はコーチが5名なので、3万ずつで計15万
    > 2つの少年団で折半(A団22名、B団4名、合計22名)
    > A団:150,000÷22×18人=122,727.27…で、122,727円】
    > B団:150,000÷22×4人=27,272.72…で、27,273円】
    >
    > ●【今年の】団員1名当たりの負担について
    > 全体:150,000÷22=6,818.18…で、6,818円だと、4円不足
    > A団:6,818×18=122,724【3円ずれ…団内で調整】
    > B団:6,818×4=27,272【1円ずれ…団内で調整】
    >
    >
    >
    >
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49158 / ResNo.3)  Re[3]: 会計に関わるものなんですが
□投稿者/ mo 一般人(2回)-(2019/04/05(Fri) 00:03:48)
    No49155に返信(主さんの記事)
    > 提出する予算案の備考欄に、
    > 一人当たりの負担額書いたほうが良いかな?と。
    > (うちはA団です。)
    > ですので、備考欄に、【A団費分@6,818円】
    > と表記するのは間違っていますか?
    > なんと書いたらわかりやすく、収まるか聞きたい

    ★表記の方法は、きちんとした書式がなければ、間違いとか正解とかでなく
    【求められている事】を正確に書けばよいのでないでしょうか
    追加で入れた方が良いことは、補足・備考などとして追加すいればよいと思います

    ★それよりも、端数のずれた分をどうするかを明記する。
    お金の問題なので、それが第一だと思います。

    ★単なる計算の表示は大したことではありません
    A団、B団の代表者とお話をして、端数の処理、不足分の処理などを
    「〜となりますが、〜の処理は…」と話合うことが第一と思います。
    その際に、どのような情報を出すか(誤解を防ぐために)も含め…



引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49095 / 親記事)  たぶん三角関数の等式
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(1回)-(2019/03/27(Wed) 12:52:14)
    x,y,zは0より大きく1より小さい1/2ではない実数で
    関数fをf(a)=(2√(a-a^2))/(1-2a)とすると
    f(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)を満たしている
    x+y+z+2√(xyz)の値を求めよ

    この問題なのですが、中三程度の式変形で解けますでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■49100 / ResNo.2)  Re[2]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(2回)-(2019/03/28(Thu) 00:22:16)
    すみません、私がなにか勘違いしているかもしれません。

    もしf(x)>0かつf(y)>0かつf(z)>0や、またはf(x)<0かつf(y)>0かつf(z)>0
    などの条件があれば少なくとも問題としては成立するでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49102 / ResNo.3)  Re[3]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2019/03/28(Thu) 06:00:32)
    > もしf(x)>0かつf(y)>0かつf(z)>0や、またはf(x)<0かつf(y)>0かつf(z)>0
    > などの条件があれば少なくとも問題としては成立するでしょうか?

    そうですね、f(x),f(y),f(z)のうち2個以上が正ならばx+y+z+2√(xyz)=1です。
    x=(sin(A/2))^2, y=(sin(B/2))^2, z=(sin(C/2))^2, 0<A,B,C<π とおくと
    f(x)=tanA, f(y)=tanB, f(z)=tanCとなり、
    f(x)f(y)f(z)=f(x)+f(y)+f(z)からA+B+C=πが導けますので
    A,B,Cは△ABCの内角と考えられます。
    そう考えると鈍角は最大1個ですから、f(x),f(y),f(z)のうち
    2個以上が正となり、この条件のとき
    x+y+z+2√(xyz)
    =(sin(A/2))^2+(sin(B/2))^2+(sin(C/2))^2+2sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
    =1
    が成り立ちます(証明はしていません)。
    これを三角関数を使わずに示そうとすると
    u>0,v>0,w=(u+v)/(uv-1)として
    {1-1/√(u^2+1)}/2+{1-1/√(v^2+1)}/2+{1-w/√(w^4+w^2)}/2
    +2√{{1-1/√(u^2+1)}/2・{1-1/√(v^2+1)}/2・{1-w/√(w^4+w^2)}/2
    =1
    が成り立つことを示すことになりますが、
    式が複雑すぎて解けていません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49110 / ResNo.4)  Re[3]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2019/03/28(Thu) 23:39:56)
    ほぼ解けました。

    f(a)=2√(a-a^2)/(1-2a)
    条件からf(a)≠0
    逆関数g(a)を求めると
    a>0のときg(a)={1-1/√(a^2+1)}/2
    a<0のときg(a)={1+1/√(a^2+1)}/2
    であり
    xyz=x+y+z(xyz≠0)を満たしているときに
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    の値を求める問題になる。
    ここで追加条件によりx>0,y>0とおいてよいので
    g(x)={1-1/√(x^2+1)}/2, g(y)={1-1/√(y^2+1)}/2

    z>0のときg(z)={1-1/√(z^2+1)}/2 (※z<0のときも多分同様なので省略)
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}
    なので、xyz=x+y+zのときに
    {1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}=1
    となることを示せばよい。
    この式を変形していくと成り立つので、それを逆順に書くと
    xyz=x+y+z
    xyz-x-y-z=0
    (xyz-x-y-z)(xyz+x+y-z)(xyz+x-y+z)(xyz-x+y+z)=0
    (x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2)^2=4(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2=2√{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} (※)
    (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)-(x^2+1)(y^2+1)-(y^2+1)(z^2+1)-(z^2+1)(x^2+1)
    =2{√(x^2+1)}{√(y^2+1)}{√(z^2+1)}
    √(x^2+1)=p,√(y^2+1)=q,√(z^2+1)=rとおくと
    p^2q^2r^2-p^2q^2-q^2r^2-r^2p^2=2pqr
    2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)=(pqr-pq-qr-rp)^2
    √{2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)}=-(pqr-pq-qr-rp) (※)
    {(3pqr-pq-qr-rp)+√{2(p-1)(q-1)(r-1)(pqr)}}/(2pqr)=1
    (1-1/p)/2+(1-1/q)/2+(1-1/r)/2+2√{(1-1/p)/2・(1-1/q)/2・(1-1/r)/2}=1
    ∴{1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}=1
    のように示せます。
    ただし、(※)の2個所は平方根をとっていますが、符号についてきちんと
    検証していません。おそらくx,y,zのうち2個以上が正のときに
    上のようになり、そうでない時は符号が逆になるので1にならないのだと思います。
    従ってx,y,zのうち2個以上が正のときに
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2が正であることとpqr-pq-qr-rpが負であることを
    示せば、1になることの証明が完成します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49137 / ResNo.5)  Re[4]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ 中学三年生の質問者 一般人(3回)-(2019/04/02(Tue) 00:07:00)
    有難うございます。
    詳しく計算を書いていただいたので大変助かります。

    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2
    =(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2-2
    =2(xy+yz+zx)-2
    =2{xy+z(x+y)}-2
    =2{xy+(x+y)^2/(xy-1)-1}
    =2(x^2+1)(y^2+1)/(xy-1)
    x,yが正、zが負とするとz(xy-1)=x+yよりxy-1は負なので
    x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2は負になりそうなので
    もう少しよく考えてみます
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49138 / ResNo.6)  Re[5]: たぶん三角関数の等式
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2019/04/02(Tue) 00:24:26)
    > x,yが正、zが負とするとz(xy-1)=x+yよりxy-1は負なので
    > x^2y^2z^2-x^2-y^2-z^2-2は負になりそうなので
    > もう少しよく考えてみます

    上に書いた計算は「z>0の場合」の計算です。
    z<0の場合は冒頭の式が
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1-1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1-1/√(z^2+1)}/2}
    でなく
    g(x)+g(y)+g(z)+2√{g(x)g(y)g(z)}
    ={1-1/√(x^2+1)}/2+{1-1/√(y^2+1)}/2+{1+1/√(z^2+1)}/2
     +2√{{1-1/√(x^2+1)}/2・{1-1/√(y^2+1)}/2・{1+1/√(z^2+1)}/2}
    となりますので、計算は違ってくるはずです。
    しかし長大な式変形をもう一度やりたくありませんので
    z>0の場合のみ書いて、z<0の場合は「(※z<0のときも多分同様なので省略)」
    と断って省略しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49124 / 親記事)  確率、期待値の計算
□投稿者/ おさかな 一般人(1回)-(2019/03/31(Sun) 14:58:50)
    数学の問題です。(確率)
    池にいる魚の数をNとする。
    n(<=N)匹釣って、マークしてから池に離す。
    十分な時間が経ってから、マークをした魚がm(<=n)匹集まるまで魚を釣る。このとき釣れた魚のうち、マークの付いていない魚の数をXとする。

    (1)NCn=Σ(k=m→N-n+m) (k-1)C(m-1)(N-k)C(n-m)を証明せよ。

    (2)期待値E(X)を計算せよ。

    この問題がわかりません、、、
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■49121 / 親記事)  数学オリンピックの幾何の問題
□投稿者/ モノトーン 一般人(1回)-(2019/03/31(Sun) 08:22:50)
    ∠ABC=90°である三角形ABCの辺BC,CA,AB上に点P,Q,Rがあり、AQ:QC=2:1,AR=AQ,QP=QR,∠PQR=90°が成立している。CP=1のときARを求めよ。
    【JMO2011予選の問題】

    上記の問題について、幾何的な解法は理解できましたが、座標平面を導入し、代数的に解けないか考えてみました。

    A(3a,0),B(0,0),C(0,3c),R(r,0)とおく。ただし、a>0,c>1/3,0<r<aとする。
    また、与えられた条件より,P(0,3c-1)Q(a,2c)となる。

    AQ=ARより → 二点間の距離(計算略)→ 5a^2-4c^2-6ar+r^2=0
    PQ=QRより → 二点間の距離(計算略)→ 3c^2+2c-2ar+r^2=1
    PQ⊥RQより → 内積=0(計算略)→ a^2-ar-2c^2+2c=0

    という感じで、連立方程式を解く(正確にはrの値を求める)という方針を立てたのですが
    なかなかここから進みません。どなたかもし上手い方法があればご教授願います。よろしくお願いいたしますm(__)m


引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49122 / ResNo.1)  Re[1]: 数学オリンピックの幾何の問題
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2019/03/31(Sun) 11:20:42)
    5a^2-4c^2-6ar+r^2=0 … (1)
    3c^2+2c-2ar+r^2=1 … (2)
    a^2-ar-2c^2+2c=0 … (3)

    (2)×2+(3)×5-(1)をcについて整理して
    c=-(r^2-3ar-2)/14 … (4)
    (4)を(1)に代入して整理すると
    (245-9r^2)a^2+6r(r^2-51)a-(r^4-53r^2+4)=0 … (5)
    (4)を(3)に代入して整理すると
    (98-9r^2)a^2+2r(3r^2-34)a-(r^4+10r^2-24)=0 … (6)
    (5)×(98-9r^2)-(6)×(245-9r^2)をaについて整理して
    a=(15r^4-282r^2+224)/{(45r^2-476)r} … (7)
    (7)を(5)に代入して整理すると
    (r^2+1)(5r^2-20r+16)(5r^2+20r+16)(9r^2-245)=0
    よって正の実数解は
    r=2(5±√5)/5,7√5/3
    この解と(7)と(4)からa,cを求めると
    r=7√5/3のときa=14129√5/33705,c=-5080/6741<0となり不適
    r=2(5-√5)/5のときa=2(5-2√5)/5,c=(5-2√5)/5<1/3となり不適
    r=2(5+√5)/5のときa=2(5+2√5)/5,c=(5+2√5)/5>1/3となり適
    従って求める答えは 3a-r={6(5+2√5)-2(5+√5)}/5=4+2√5

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49123 / ResNo.2)  Re[2]: 数学オリンピックの幾何の問題
□投稿者/ モノトーン 一般人(4回)-(2019/03/31(Sun) 11:30:56)
    さっそくのご返事ありがとうございます!
    こんなに煩雑に過程になるのですね…
    ここまでの計算量があるものを対応いただき、ありがとうございましたm(__)m
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49038 / 親記事)  確率について。
□投稿者/ コルム 付き人(60回)-(2019/03/04(Mon) 18:28:05)
    次の、35,36がわかりません。教えていただけると幸いです。
908×549 => 250×151

IMG_20190304_182609_785.JPG
/78KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■49089 / ResNo.1)  Re[1]: 確率について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(74回)-(2019/03/26(Tue) 11:27:58)
    35.
    4枚の硬貨を同時に投げる試行を4回繰り返すとき,
    2枚が表で2枚が裏となる回数をXとする.
    2枚が表で2枚が裏となる確率は
    4C2(1/2)^2(1/2)^2=3/8
    だから
    2枚が表で2枚が裏とならない確率は
    1-3/8=5/8
    だから
    4回とも2枚が表で2枚が裏とならない確率は
    P(X=0)=(5/8)^4
    1回だけ2枚が表で2枚が裏となる確率は
    P(X=1)=4(3/8)(5/8)^3
    2回だけ2枚が表で2枚が裏となる確率は
    P(X=2)=4C2(3/8)^2(5/8)^2
    3回だけ2枚が表で2枚が裏となる確率は
    P(X=3)=4(5/8)(3/8)^3
    4回とも2枚が表で2枚が裏となる確率は
    P(X=4)=(3/8)^4

    Xの平均値は
    EX
    =Σ_{k=1〜4}kP(X=k)
    =Σ_{k=1〜4}k(4Ck){(3/8)^k}(5/8)^(4-k)
    =4(3/8)(5/8)^3+2*4C2(3/8)^2(5/8)^2+3*4(5/8)(3/8)^3+4*(3/8)^4
    =4(3/8){(5/8)^3+3(3/8)(5/8)^2+3(5/8)(3/8)^2+(3/8)^3}
    =4(3/8)
    =3/2

    Xの分散は
    V[X]
    =E[X-EX]^2
    =E[X^2]-(EX)^2
    =Σ_{k=1〜4}k^2P(X=k)-(EX)^2
    =Σ_{k=1〜4}k^2(4Ck){(3/8)^k}(5/8)^(4-k)-(EX)^2
    =Σ_{k=2〜4}k(k-1)(4Ck){(3/8)^k}(5/8)^(4-k)+Σ_{k=1〜4}k(4Ck){(3/8)^k}(5/8)^(4-k)-(EX)^2
    =4*3(3/8)^2Σ_{k=2〜4}2/{(k-2)!(4-k)!}{(3/8)^(k-2)}(5/8)^(4-k)+EX-(EX)^2
    =4*3(3/8)^2{(5/8)^(2)+2(3/8)(5/8)+(3/8)^2}+EX-(EX)^2
    =4*3(3/8)^2+EX-(EX)^2
    =4*3(3/8)^2+3/2-(3/2)^2
    =(3/2){3(3/8)+1-3/2}
    =(3/2)(9/8-1/2)
    =(3/2)(5/8)
    =15/16
    だから
    Xの標準偏差は
    √(V[X])=√(15/16)=(√15)/4

    36.
    AとBの2人があるゲームを繰り返し行い,先に4勝した方を優勝とする.
    1回ごとのゲームでAが勝つ確率が1/3,Bが勝つ確率が2/3のとき
    (1)
    ちょうど6回目のゲームでAが優勝する確率は
    5回目までAが3勝,Bが2勝し,6回目にAが勝つ確率だから
    5C2(1/3)^3(2/3)^2*(1/3)=40/3^6
    =40/729

    (2)
    どちらかが優勝するまでに必要なゲームの回数をXとすると
    Aが4勝0敗又はBが4勝0敗の確率は
    P(X=4)=(1/3)^4+(2/3)^4=(1+16)/3^4=17/81
    Aが4勝1敗又はBが4勝1敗の確率は
    P(X=5)=4(2/3)(1/3)^4+4(1/3)(2/3)^4=8/3^3=8/27
    Aが4勝2敗又はBが4勝2敗の確率は
    P(X=6)=5C2{(1/3)^4(2/3)^2+(1/3)^2(2/3)^4}=200/729
    6回目でAが3勝Bが3勝の確率は
    P(X=7)=6C3(1/3)^3(2/3)^3=160/729
    17/81+8/27+200/729+160/729=(153+216+200+160)/729=1
    Xの期待値EXは
    EX
    =Σ_{k=4〜7}kP(X=k)
    =4*17/81+5*8/27+6*200/729+7*160/729
    =(4*153+5*216+6*200+7*160)/729
    =(612+1080+1200+1120)/729
    =4012/729
    ≒5.503429355281207
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