数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■ 過去ログ検索の勧め⇒ここを読んでみてください
google検索

 
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。
検索条件:
現在のログを検索過去のログを検索
■ 2006/2/20より、累計:、本日:、昨日:
数式の記述方法
TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \] あるいは,$ TeX形式数式 $ で数式を記述します。
 TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは New で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは UpDate で表示されます。

記事リスト ( )内の数字はレス数
UpDate多項式の既約性(1) | Nomal円錐台の断面積(9) | Nomal相関係数と共分散(1) | Nomallogの計算(3) | Nomaltan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) | Nomal複素数平面(1) | Nomal複素数 証明(難)(0) | Nomal確率の問題が分かりません 助けてください(1) | Nomal極限(3) | Nomalメビウス変換(0) | Nomal複素数 写像 (0) | Nomal複素数平面(0) | Nomal解答を教えてください(1) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal解答を教えてください(0) | Nomal確率の不等式(1) | Nomal無理関数の積分(大学)(2) | Nomal複素数(1) | Nomal確率(2) | Nomal囲まれた面積(2) | Nomal複素数(2) | Nomal微分可能な点を求める問題(1) | Nomal初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) | Nomal極限の問題 2改(1) | Nomal極限の問題2(1) | Nomal極限の問題(1) | Nomal多項式の整除(1) | Nomal三角形(1) | Nomal三角数の和(0) | Nomalコラッツ予想(0) | Nomal平方数(1) | Nomal整数問題(1) | Nomal低レベルな問題ですいません(2) | Nomal中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) | Nomalガウス整数の平方和(8) | Nomal環でしょうか(2) | Nomal三角関数の式(0) | Nomal大学数学 位相数学(1) | Nomal確率(1) | Nomal1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) | Nomal速度(2) | Nomali^iについて(2) | Nomal(x+1)^n-x^n(1) | Nomal定積分(1) | Nomal複素数平面(6) | Nomal円に内接する四角形(2) | Nomal不等式(4) | Nomal代数学(1) | Nomal極限(0) | Nomal大学数学(0) | Nomal三角形(2) | Nomal多項式(1) | Nomal有限体(0) | Nomal場合の数(2) | Nomal同値関係が分かりません(0) | Nomal素因数(1) | Nomal質問(2) | Nomal周期関数(1) | Nomal不等式(2) | Nomal確立 基礎問題(2) | NomalCELINE コピー(0) | Nomal整数問題(2) | Nomal二項係数2nCn(1) | Nomal係数(4) | Nomalこれだけで求められるの?(3) | Nomal不等式(2) | Nomal期待値(2) | Nomal整数問題(1) | Nomal二次方程式の定数を求める(3) | Nomal正十二面体(2) | Nomal複素数と図形(1) | Nomal整数の例(4) | Nomal大学の積分の問題です(0) | Nomal位相数学(0) | Nomalコラッツ予想について(0) | Nomalコラッツ予想について(0) | Nomal線形代数(0) | Nomalkkk(0) | Nomalお金がかからない(0) | Nomal関数方程式(2) | Nomal大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) | Nomal大学数学難しすぎて分かりません。。(0) | Nomalコラッツ予想(0) | Nomalべズーの定理(0) | Nomal数学はゲーム(3) | Nomal解析学(0) | Nomal位相数学(1) | Nomal大学数学 位相数学(2) | Nomal数検準2級は難しい(0) | Nomal条件付き最大値問題について(0) | Nomal数列(2) | Nomal三角関数(0) | Nomalガウス記号(0) | Nomal式の値(2) | Nomal確率(0) | Nomal式の値(4) | Nomal外接円と内接円(1) | Nomal最小値(2) |



■記事リスト / ▼下のスレッド
■52445 / 親記事)  解答を教えてください
□投稿者/ 大学生 一般人(4回)-(2024/01/13(Sat) 01:50:57)
    幾何学の問題です。解答を教えていただけると幸いです。
1080×395 => 250×91

IMG_20240113_014726.jpg
/179KB
引用返信/返信 [メール受信/ON]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52444 / 親記事)  解答を教えてください
□投稿者/ 大学生 一般人(3回)-(2024/01/13(Sat) 01:50:09)
    幾何学の問題です。
    解答を教えてください。
1080×499 => 250×115

IMG_20240113_014712.jpg
/161KB
引用返信/返信 [メール受信/ON]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■51958 / 親記事)  確率の不等式
□投稿者/ 中国 一般人(1回)-(2022/09/28(Wed) 21:50:48)
    0<p<1, nは正の整数
    のとき
    (1-p)^n p / (1-(1-p)^(2n+1)) <1/(2n+1)
    の証明をご教示下さい.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52440 / ResNo.1)  Re[1]: 確率の不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(19回)-(2024/01/07(Sun) 14:23:52)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    ((1-p)^n)p/{1-(1-p)^(2n+1)} < 1/(2n+1)の証明と解釈して回答します。

    q = 1-pとおくと、0 < q < 1です。

    ((1-p)^n)p/{1-(1-p)^(2n+1)}
    = (q^n)(1-q)/{1-q^(2n+1)}
    = (q^n)/{Σ[k=0,2n]{q^k}}
    = 1/{Σ[k=-n,n]{q^k}}
    = 1/{q^0+Σ[k=1,n]{q^(-k)+q^k}}

    0 < q^(-k)かつ、0 < q^kなので、相加平均と相乗平均の大小関係より、
    q^(-k)+q^k ≧ 2√{(q^(-k))(q^k)} = 2

    但し、0 < q < 1とkは自然数より、q^(-k) ≠ q^kなので上記不等式の等号は成立しません。
    よって、q^(-k)+q^k > 2です。

    以上から、
    q^0+Σ[k=1,n]{q^(-k)+q^k} > 1+Σ[k=1,n]{2} = 2n+1
    となり、題意は成立すると言えます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]



■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド
■52056 / 親記事)  無理関数の積分(大学)
□投稿者/ 数学太郎 一般人(1回)-(2022/12/21(Wed) 16:52:26)
    どなたかこちらの解き方を教えていただきたいです。

    [-1,0]∫x^2/√(x^2+x+4) dx
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52438 / ResNo.1)  Re[1]: 無理関数の積分(大学)
□投稿者/ WIZ 一般人(18回)-(2024/01/06(Sat) 22:50:34)
    2024/01/07(Sun) 12:02:47 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    不定積分を計算してから、定積分の値を求めます。

    F(x) = ∫{(x^2)/√(x^2+x+4)}dxとおきます。

    t-x = √(x^2+x+4)とおくと、
    ⇒ t^2-2tx+x^2 = x^2+x+4
    ⇒ t^2-4 = (2t+1)x・・・(1)

    2t+1 = 0、つまりt = -1/2と仮定すると、
    t^2-2tx+x^2 = 1/4+x+x^2 = x^2+x+4
    ⇒ 1/4 = 4
    と不条理なのでt ≠ -1/2です。

    よって、(1)より、
    x = (t^2-4)/(2t+1)・・・(2)

    (2)より、
    √(x^2+x+4) = t-x = t-(t^2-4)/(2t+1) = (t^2+t+4)/(2t+1)・・・(3)

    (2)(3)より、
    (x^2)/√(x^2+x+4) = (((t^2-4)/(2t+1))^2)/((t^2+t+4)/(2t+1))
    = {(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}・・・(4)

    (2)より、
    dx/dt = {(2t)(2t+1)-(t^2-4)(2)}/{(2t+1)^2} = (2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}・・・(5)

    (4)(5)より、
    F(x) = ∫{{(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}}{(2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}}dt
    = ∫{2{(t^2-4)^2}/{(2t+1)^3}}dt・・・(6)

    u = t+1/2、つまりt = u-1/2とおくと、du = dtで、(6)は、
    F(x) = ∫{2{((u-1/2)^2-4)^2}/{(2u)^3}}du
    = (1/4)∫{{((u^2-u+1/4)-4)^2}/{u^3}}du
    = (1/4)∫{{(u^2-u-15/4)^2}/{u^3}}du
    = (1/4)∫{{u^4-2u^3-(13/2)u^2+(15/2)u+225/16}/{u^3}}du
    = (1/64)∫{16u-32-104/u+120/u^2+225/u^3}du
    = (1/64){8u^2-32u-104log(|u|)-120/u-(225/2)/u^2}
    = (1/128){16u^2-64u-208log(|u|)-240/u-225/u^2}・・・(7)

    計算過程で良く出てくる式を、u = t+1/2 = 1/2+x+√(x^2+x+4) = g(x)とおきます。

    -1 ≦ x ≦ 0なので、x+√((x+1/2)^2+15/4) ≧ -1+(√15)/2 > 0より、
    log(|u|) = log(1/2+x+√(x^2+x+4)) = log(g(x))・・・(9)

    (7)(8)(9)より、
    F(x) = (1/128){16g(x)^2-64g(x)-208log(g(x))-240/g(x)-225/g(x)^2}

    g(0) = 1/2+0+√4 = 5/2
    ⇒ F(0) = (1/128){16(5/2)^2-64(5/2)-208log(5/2)-240/(5/2)-225/(5/2)^2}
    = (1/128){100-160-208log(5/2)-96-36}
    = -(13/8)log(5/2)-3/2

    g(-1) = 1/2-1+√((-1)^2+(-1)+4) = 3/2
    ⇒ F(-1) = (1/128){16(3/2)^2-64(3/2)-208log(3/2)-240/(3/2)-225/(3/2)^2}
    = (1/128){36-96-208log(3/2)-160-100}
    = -(13/8)log(3/2)-5/2

    よって、
    F(0)-F(-1) = {-(13/8)log(5/2)-3/2}-{-(13/8)log(3/2)-5/2}
    = (13/8)log(3/5)+1

    以上から、∫[-1, 0]{(x^2)/√(x^2+x+4)}dx = (13/8)log(3/5)+1となります。
    # 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52439 / ResNo.2)  Re[1]: 無理関数の積分(大学)
□投稿者/ X 一般人(7回)-(2024/01/07(Sun) 10:24:06)
    横から失礼します。

    別解)
    x^2+x+4=(x+1/2)^2+15/4
    ここで
    (2/√15)(x+1/2)=sinht
    と置くと
    (与式)=∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)][{{(1/2)(√15)sinht-1/2}^2}/cosht]coshtdt
    =(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)](sinht-1/√15)^2dt
    =(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2-(2/√15)sinht+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-1/2+1/15}dt
    =(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-13/30}dt
    =(15/2){(1/4)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/30)arcsinh(1/√15)}
    =(15/8)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/4)arcsinh(1/√15)
    ここで
    sinh{2arcsinh(1/√15)}=2sinhucoshu (u=arcsinh(1/√15)と置いた)
    =2(1/√15)√{(1/√15)^2+1}
    =8/15
    ∴(与式)=1-(13/4)arcsinh(1/√15)
    (見かけは異なりますが、WIZさんの値と同じです。)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



■記事リスト / ▲上のスレッド
■52432 / 親記事)  複素数
□投稿者/ 平面 一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:16:25)
    教えて下さい。

    複素数 z, w は
    z^2 + w^2 = 1,
    |z| = 1
    を満たして動くとする。
    w の実部, 虚部のとりうる値の最大値をそれぞれ求めよ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52437 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ WIZ 一般人(17回)-(2024/01/05(Fri) 00:10:58)
    2024/01/05(Fri) 10:36:42 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    iは虚数単位、a, b, u, vは実数とします。

    z = a+bi, w = u+viとします。

    |z| = 1
    ⇒ a^2+b^2 = 1・・・(1)

    z^2+w^2 = (a^2-b^2+2abi)+(u^2-v^2+2uvi) = 1
    上記より
    a^2-b^2+u^2-v^2 = 1・・・(2)
    2ab+2uv = 0・・・(3)

    (1)(2)より、
    (1-b^2)-b^2+u^2-v^2 = 1
    ⇒ u^2-v^2 = 2b^2・・・(4)

    (1)(3)より、
    uv = -ab
    ⇒ (u^2)(v^2) = (1-b^2)(b^2)・・・(5)

    (4)(5)より、
    (u^2)(u^2-2b^2) = b^2-b^4
    ⇒ u^4-2(b^2)u^2+(b^4-b^2) = 0
    ⇒ u^2 = b^2±√{b^4-(b^4-b^2)} = b^2±|b|

    -1 ≦ b < 0の場合、|b| = -bですから、
    u^2 = b^2+(-b) = b^2-b・・・(6A)
    または、
    u^2 = b^2-(-b) = b^2+b・・・(7A)
    です。

    0 ≦ b ≦ 1の場合、|b| = bですから、
    u^2 = b^2+b・・・(7B)
    または、
    u^2 = b^2-b・・・(6B)
    です。

    (6A)(6B)から、-1 ≦ b ≦ 1で
    u^2 = b^2-b・・・(6)

    (7A)(7B)から、-1 ≦ b ≦ 1で
    u^2 = b^2+b・・・(7)

    すなわち、(6)または(7)が成立すれば良いことになります。

    (6)の場合、(4)より、
    v^2 = u^2-2b^2 = -b-b^2
    となります。

    (6.1) -1 ≦ b ≦ 0ならば、
    u^2 = b^2-b ≧ 0かつ、b^2 ≦ -bなのでv^2 = -b-b^2 ≧ 0となります。
    u^2の最大値はb = -1でu^2 = 2、つまりuの最大値はu = √2です。
    v^2の最大値はb = -1/2でv^2 = 1/4、つまりvの最大値はv = 1/2となります。
    # (d/db)u^2 = 2b-1 < 0, b = -1でu^2は最大
    # (d/db)v^2 = -1-2b, b = -1/2でv^2は極大

    (6.2) 0 < b ≦ 1ならば、
    v^2 = -b-b^2 < 0で不適格です。

    (7)の場合、(4)より、
    v^2 = u^2-2b^2 = b-b^2
    となります。

    (7.1) -1 ≦ b < 0ならば、
    v^2 = b-b^2 < 0となり不条理です。

    (7.2) 0 ≦ b ≦ 1ならば、
    u^2 = b^2+b ≧ 0かつ、b^2 ≦ bなのでv^2 = b-b^2 ≧ 0となります。
    u^2の最大値はb = 1でu^2 = 2、つまりuの最大値はu = √2です。
    v^2の最大値はb = 1/2でv^2 = 1/4、つまりvの最大値はv = 1/2となります。
    # (d/db)u^2 = 2b+1 > 0, b = 1でu^2は最大
    # (d/db)v^2 = 1-2b, b = 1/2でv^2は極大

    以上から、Re(w)の最大値はu = √2, Im(w)の最大値はv = 1/2となります。
    # 勿論、Re(w)とIm(w)が同時に最大値となる訳ではありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]






Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター