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■52424 / 親記事) 　微分可能な点を求める問題
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□投稿者/ むぎ 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 17:11:19)
    この問題の解法を教えていただきたいです。微分可能かの問題です
2075×790 => 250×95

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■52430 / ResNo.1) 　Re[1]: 微分可能な点を求める問題
□投稿者/ WIZ 一般人(16回)-(2023/12/31(Sun) 00:44:44)
    Qは有理数体、Rは実数体と解釈して回答します。
    バックスラッシュは環境依存文字らしいので、差集合はR-Qと表記します。

    関数f(x)の定義は
    x ∈ Qならば、f(x) = (x-2)^2
    x ∈ R-Qならば、f(x) = 0
    となります。

    微分可能である点は連続でなければなりません。

    x = aでf(x)が連続であるためには、
    ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|f(x)-f(a)| < ε)
    が成立しなければなりません。

    しかし、a ∈ Qかつa ≠ 2で、f(a) = (a-2)^2 > εとなるεに対して、
    x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(a)| = |f(a)| ≧ εとなり、
    x ≠ 2でf(x)は連続ではなく微分可能でもないと言えます。

    a = 2のときは、x ∈ R-Qのときはεとδの値に関わらず、
    |f(x)-f(a)| = 0 < εとなります。
    x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = (x-2)^2 = |x-2|^2 < εとする為に、
    δ < √εと取れば良いです。
    よって、x = 2でf(x)は連続と言えます。

    微分可能性は、x = aでf'(a)が存在すると仮定すると、
    ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)| < ε)
    が成立しなければなりません。

    a = 2の場合、f'(2)が存在すると仮定すると、
    f'(2) = lim[h→0]{(f(2+h)-f(2))/h}
    h ∈ Qならば、lim[h→0]{(h^2)/h} = 0
    h ∈ R-Qならば、lim[h→0]{0/h} = 0
    となり、f'(2) = 0であることが必要です。

    f'(2) = 0と仮定します。
    x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(2)| = 0ですので、
    |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = 0 < εが成り立ちます。
    x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = |x-2|^2より、
    |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = |x-2| < εより、δ < εと取れば良いです。
    よって、x = 2でf(x)は微分可能と言えます。

    # トマエ関数で検索すると参考になる情報が見られます。
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