 | 2023/12/28(Thu) 22:48:19 編集(投稿者)
a[k] = Σ[j=1,k]{x[j]y[j]}とおきます。
k回目でa[k]の値が、3の倍数になる確率をp[k]、
3で割った余りが1になる確率をq[k]、
3で割った余りが2になる確率をr[k]とします。
k = 1のとき、(x[1], y[1])の組み合わせは全部で6*6 = 36通りです。
(1, 1)(1, 4)(2, 2)(2, 5)(4, 1)(4, 4)(5, 2)(5, 5)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 1 (mod 3)なので、q[1] = 8/36 = 2/9です。
(1, 2)(1, 5)(2, 1)(2, 4)(4, 2)(4, 5)(5, 1)(5, 4)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 2 (mod 3)なので、r[1] = 8/36 = 2/9です。
残りの20通りはx[1]またはy[1]が3の倍数なので、p[1] = 20/36 = 5/9です。
k > 1のとき、
a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 0 (mod 3)なので、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(1)
となります。
a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 1 (mod 3)なので、
q[k] = (2/9)p[k-1]+(5/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(2)
となります。
a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 2 (mod 3)なので、
r[k] = (2/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(5/9)r[k-1]・・・(3)
となります。
(2)-(3)より、
q[k]-r[k] = (3/9)q[k-1]-(3/9)r[k-1]
⇒ q[k]-r[k] = ((3/9)^(k-1))(q[1]-r[1]) = 0
⇒ q[k] = r[k]・・・(4)
(4)→(1)より、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(4/9)q[k-1]
⇒ q[k-1] = (9/4)p[k]-(5/4)p[k-1]・・・(5)
(4)(5)→(2)より、
(9/4)p[k+1]-(5/4)p[k] = (2/9)p[k-1]+(7/9)((9/4)p[k]-(5/4)p[k-1])
⇒ (9/4)p[k+1]-(12/4)p[k]-(3/4)p[k-1] = 0
⇒ 3p[k+1]-p[k] = 3p[k]-p[k-1]・・・(6)
(1)より、
p[2] = (5/9)p[1]+(2/9)q[1]+(2/9)r[1] = 11/27・・・(7)
(6)(7)より、
3p[k+1]-p[k] = 3p[2]-p[1] = 2/3
⇒ 3p[k+1]-1 = p[k]-1/3
⇒ p[k]-1/3 = ((1/3)^(k-1))(p[1]-1/3) = 2/(3^(k+1))
⇒ p[k] = 1/3+2/(3^(k+1))
上記はk = 1でも成り立ちます。
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