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■47437 / 親記事)  級数
□投稿者/ 晃 一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 09:10:43)
    正項級数Σa_nが収束すると仮定します。
    このとき、収束する正項級数Σb_nで、
    lim[n→∞]b_n/a_n=∞
    をみたすものが存在しますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47439 / ResNo.1)  Re[1]: 級数
□投稿者/ らすかる 大御所(365回)-(2015/08/09(Sun) 10:52:36)
    例えばa[n]=1/n^4, b[n]=1/n^2ならば
    Σa[n]=π^4/90, Σb[n]=π^2/6, lim[n→∞]b[n]/a[n]=∞
    となります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47441 / ResNo.2)  Re[2]: 級数
□投稿者/ 晃 一般人(3回)-(2015/08/09(Sun) 10:59:03)
    すみません、聞きたいのは
    どのようなΣa_nについても、そのようなΣb_nが存在するだろうか?
    ということでした。
    分かりにくくてすみません…。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47444 / ResNo.3)  Re[3]: 級数
□投稿者/ らすかる 大御所(367回)-(2015/08/09(Sun) 15:34:35)
    「収束が最も遅い正項級数」が存在するか?
    ということでしょうか。
    難しいですね。存在しないような気がします
    (つまりΣb[n]は必ず存在する気がします)が、
    私には証明できそうにありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47457 / ResNo.4)  Re[2]: 級数
□投稿者/ at 一般人(1回)-(2015/08/11(Tue) 07:00:53)
    >どのようなΣa_nについても、そのようなΣb_nが存在するだろうか?
    >ということでした。


    はい。どのようなΣa_nに対しても、そのようなΣb_nが必ず存在します。
    つまり、収束する任意の正項級数Σa_nに対して、
    lim[n→∞]b_n/a_n=∞ を満たすような収束する正項級数Σb_nが存在します。

    s_n = a_1 + a_2 + .. + a_n,
    s = lim[n→∞]s_n
    とします。
    数列 {M_n} を次で定義します。
    1/M_1 = s, 1/M_(n+1) = s - s_n.
    このとき、{M_n}は単調増加であって、lim[n→∞]M_n = ∞ です。
    b_n = a_n * (M_n)^(1/2) とすれば、
    lim[n→∞]b_n/a_n = ∞ かつ Σb_n は収束 となります。

    Σb_n が収束することは次のように示せます。
    b_n = a_n * (M_n)^(1/2) = (M_(n+1)-M_n )/(M_(n+1)*(M_n)^(1/2))
    と書き表せます。
    一般に、正数α(≠1)と正整数 m,n (m < n) に対して、
    (1-α^m)/m > (1-α^n)/n
    が成り立ちます。
    α^n=c, m/n=k とおくと、
    (1-c^k) > k*(1-c)
    となります。ここで、
    c = M_n/M_(n+1), m = 1, n = 2 とすることによって、
    1-(M_n/M_(n+1))^(1/2) > (1/2)*(1-M_n/M_(n+1)),
    つまり、(M_(n+1)-M_n )/(M_(n+1)*(M_n)^(1/2)) < 2*((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2))
    となります。
    これは、b_n < 2*((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2)) を意味します。
    したがって、
    Σb_n < 2*Σ((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2)) = 2*(1/M_1)^(1/2).
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47442 / 親記事)  方眼紙
□投稿者/ のどぐろ 一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 13:51:30)
    10×10方眼紙をn枚の2×2方眼紙で覆うのですが、どのように覆ったとしても
    n枚の2×2方眼紙のどの1枚を取り除いても依然として10×10方眼紙を覆える
    ためにはnは何枚以上であればよいでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス9件(ResNo.5-9 表示)]
■47448 / ResNo.5)  Re[1]: 方眼紙
□投稿者/ IT 一般人(22回)-(2015/08/09(Sun) 18:24:57)
    「(その他の条件)をみたし」かつ「どの2×2方眼紙も 少なくとも1箇所、その方眼紙でのみ覆っている方眼がある」ような覆い方で、2×2方眼紙の枚数が最大になるときの枚数を求め1を加えればよい。

    ということですかね?
     有限の問題ですから必ず答えがあると思いますが、最大性を示すのは大変そうですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47449 / ResNo.6)  Re[2]: 方眼紙
□投稿者/ のどぐろ 一般人(4回)-(2015/08/09(Sun) 18:56:19)
    そういうことです。
    解説していただいて有難うございます。

    個人的な計算によりn≧50は判明しています。
    50より小さくできるのかよく分からなかったので教えていただければ…と。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47451 / ResNo.7)  Re[3]: 方眼紙
□投稿者/ IT 一般人(23回)-(2015/08/09(Sun) 19:34:25)
    No47449に返信(のどぐろさんの記事)
    > 個人的な計算によりn≧50は判明しています。
    > 50より小さくできるのかよく分からなかったので教えていただければ…と。

    小さく できるとはどういうことですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47452 / ResNo.8)  Re[4]: 方眼紙
□投稿者/ らすかる 大御所(369回)-(2015/08/09(Sun) 19:43:42)
    多分、
    n≧50ならば条件を満たすのはわかっているけれど
    n=49ではわからない、ということだと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47456 / ResNo.9)  Re[5]: 方眼紙
□投稿者/ IT 一般人(26回)-(2015/08/09(Sun) 21:33:37)
    なるほど、めんどうそうですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47450 / 親記事)  整数問題
□投稿者/ 港楽 一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 19:21:31)
    自然数a,b,cで
    (1+1/a)(1+1/b)=(1+1/c)
    を満たすものを全て教えて下さい。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47453 / ResNo.1)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 大御所(370回)-(2015/08/09(Sun) 19:44:27)
    式を変形すると(a-c)(b-c)=c(c+1)となりますので、任意のcに対して
    c(c+1)を2数の積で表してそれぞれcを足したものをa,bにすれば解になります。
    cとc+1の素因数分解が絡みますので、一般解を式で表すのは難しい気がします。

    例えばc=24のときc(c+1)=1×600=2×300=3×200=4×150=5×120=6×100
    =8×75=10×60=12×50=15×40=20×30=24×25なので
    (a,b,c)=(25,624,24),(26,324,24),(27,224,24),(28,174,24),(29,144,24),
    (30,124,24),(32,99,24),(34,84,24),(36,74,24),(39,64,24),(44,54,24),(48,49,24),
    (49,48,24),(54,44,24),(64,39,24),(74,36,24),(84,34,24),(99,32,24),(124,30,24),
    (144,29,24),(174,28,24),(224,27,24),(324,26,24),(624,25,24) が解
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47454 / ResNo.2)  Re[2]: 整数問題
□投稿者/ 港楽 一般人(2回)-(2015/08/09(Sun) 19:53:02)
    有難う御座います。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



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■47436 / 親記事)  二項係数
□投稿者/ ティシュ 一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 08:02:31)


    の計算を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47434 / 親記事)  連立一次方程式
□投稿者/ M 一般人(1回)-(2015/08/08(Sat) 01:46:18)
    a,b,c は異なる 数 とする。

    (1) M={{1, -a, a^2}, {1, -b, b^2}, {1, -c, c^2}}
    の 逆行列 M^(-1) を 求めよ。

    (2) M^(-1).{a^4, b^4, c^4} を 求めよ;

    (3) これで x,y,z に関する連立一次方程式 
    x - a y + a^2 z=a^4
    x - b y + b^2 z=b^2
    x - c y + c^2 z=c^2
    が 解けて しまった。

    それを明記して下さい;

    x=
    y=
    z=

    (4)         各解 は a,b,c に関する 対称式 です。

    各解は 基本対称式 A = a + b + c, B = a b + a c + b c, C = a b c 

              で 表わせるので表して下さい ;
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47435 / ResNo.1)  Re[1]: 連立一次方程式
□投稿者/ M 一般人(2回)-(2015/08/08(Sat) 09:29:06)
    (3) これで x,y,z に関する連立一次方程式 
    x - a y + a^2 z=a^4
    x - b y + b^2 z=b^4
    x - c y + c^2 z=c^4
    が 解けて しまった。

    に 訂正します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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