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■48004 / 親記事)

　準同型写像

□投稿者/ エントロピー一般人(1回)-(2017/06/03(Sat) 21:59:22)

以下の問題について質問があります。

「群Z/12Zから群Z/14Zへの準同型写像fをすべて求めよ。」

12と14の最大公約数が2なので、2個であるのは分かります。

また、f(0)=f(1)=・・・f(13)=0となる0写像が答えの１個となるのも分かります。

しかし、もう一つは求められません。

f(1)、f(2)、f(3)、・・・、f(13)の値はどうなるのでしょうか？

教えてください。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■48005 / ResNo.1)

　Re[1]: 準同型写像

□投稿者/ バラ肉一般人(1回)-(2017/06/03(Sat) 22:37:17)

12f(1)=0となることに気を付けてf(1)の値を決めればいいのでは？

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■48006 / ResNo.2)

　Re[2]: 準同型写像

□投稿者/ エントロピー一般人(2回)-(2017/06/04(Sun) 17:36:01)

f(n)(nはZ/12Zの元)において、nが偶数ならば0で、奇数ならば7と出ましたが、これで正しいでしょうか？

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■48011 / ResNo.3)

　Re[1]: 準同型写像

□投稿者/ ナオ一般人(1回)-(2017/06/12(Mon) 09:01:15)
http://mybostonbag.exblog.jp/

ご情報ありがとうございます。

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■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]

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■48000 / 親記事)

　互いに素

□投稿者/ on 一般人(1回)-(2017/06/01(Thu) 23:19:52)

自然数mに対して、φ(m)を1以上m以下の自然数でmと互いに素なものの個数とするとき、
2以上の自然数nに対して、2^n-1はφ(2^n-1)で割り切れないことの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■48001 / ResNo.1)

　Re[1]: 互いに素

□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2017/06/02(Fri) 01:58:37)

aが2^n-1と互いに素ならば(2^n-1)-aも2^n-1と互いに素
aと(2^n-1)-aが一致することはないからφ(2^n-1)は偶数
従って2^n-1はφ(2^n-1)では割り切れない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48002 / ResNo.2)

　Re[2]: 互いに素

□投稿者/ on 一般人(2回)-(2017/06/03(Sat) 09:48:43)

有り難うございます！

解決済み!

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■47996 / 親記事)

　数列の最大項

□投稿者/ まるでお城一般人(1回)-(2017/05/26(Fri) 16:38:08)

aを正の数として、数列a[n]を
a[n]=(a/n)^n (n=1,2,3,...)
と定めます。
a[1],a[2],a[3],...,a[n],...
のうち最大の項はどれですか？

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■47997 / ResNo.1)

　Re[1]: 数列の最大項

□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2017/05/26(Fri) 20:09:22)

logは自然対数関数を表すものとし、自然対数の底をeとします。

xを実数として、f(x) = (a/x)^xとおいてx > 0でのf(x)の増減を調べます。
f(x) > 0ですから、log(f(x)) = x(log(a)-log(x)),
f'(x)/f(x) = log(a)-log(x)-1 = log(a/(ex)) ⇒ f'(x) = f(x)log(a/(ex))
1 < a/(ex)つまりx < a/eで、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。
1 = a/(ex)つまりx = a/eで、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。
0 < a/(ex) < 1つまりa/e < xで、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。

よって、a/eに近い整数nでa[n]は最大になると考えられるので、
n = [a/e]またはn = [a/e]+1のどちらかになると思います。

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■47985 / 親記事)

　数列とmod

□投稿者/ トランク大統領一般人(1回)-(2017/05/22(Mon) 00:03:38)

a[1]=-4
a[2]=8
a[3]=420
a[n+3]=3a[n+2]-99a[n+1]-31a[n] (n≧1)
で定められる数列{a[n]}をmod 93で見ると、いずれも0にならない(93の倍数にならない)、
という性質があります。

この93という整数はどうやって見つけたらよいのでしょうか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47991 / ResNo.1)

　Re[1]: 数列とmod

□投稿者/ らすかる一般人(10回)-(2017/05/22(Mon) 19:52:37)

別スレで書いた「条件を満たす自然数mは存在しない」の証明と同様に考えれば、
31a[n]=-99a[n+1]+3a[n+2]-a[n+3]
と変形したとき、mod mのmが31と互いに素であればある3項からその手前の項が
一意的に決まり、a[0]=0なのでa[k]≡0(mod m)となる項が存在します。
従ってa[k]≡0(mod m)となる項が存在しないためには、少なくとも
mが31と互いに素でない、すなわち31の倍数である必要があります。
よって31,62,93,…を考えればよいことになりますね。

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■47994 / ResNo.2)

　Re[2]: 数列とmod

□投稿者/ トランク一般人(9回)-(2017/05/22(Mon) 23:28:59)

有り難うございます。

これは問題集にあった問題なのですが、
解けるように作ってあることがよく分かりました。

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■47982 / 親記事)

　数列とmod

□投稿者/ トランク一般人(1回)-(2017/05/21(Sun) 20:40:36)

a[1]=1
a[2]=-3
a[3]=6
a[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n] (n≧1)
で定められる数列{a[n]}について、次の条件をみたす自然数mは存在するでしょうか？

条件　どの自然数nに対してもa[n]はmの倍数ではない

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▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]

■47986 / ResNo.3)

　Re[1]: 数列とmod

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2017/05/22(Mon) 01:08:33)

全然答えにはなっていないですが、
とりあえずm≦1000000では条件を満たすmは存在しませんでした。

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■47987 / ResNo.4)

　Re[2]: 数列とmod

□投稿者/ トランク一般人(3回)-(2017/05/22(Mon) 01:29:34)

■No47986に返信(らすかるさんの記事)
> 全然答えにはなっていないですが、
> とりあえずm≦1000000では条件を満たすmは存在しませんでした。
>

ひええぇぇ・・・
この方針では無理そうですね

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■47989 / ResNo.5)

　Re[2]: 数列とmod

□投稿者/ トランク一般人(5回)-(2017/05/22(Mon) 03:25:21)

でも、もし任意の自然数mに対して、ある自然数nが存在して
a[n]はmの倍数
となるのなら、それ自体でちょっと面白い問題ですね
元の問題からは離れてしまいますが…

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■47990 / ResNo.6)

　Re[1]: 数列とmod

□投稿者/ らすかる一般人(9回)-(2017/05/22(Mon) 19:03:10)

「条件を満たす自然数mは存在しない」が証明できました。

mod mで考えた場合、連続する3項の数の組合せは
有限通り(m^3通り)ですから、必ず一定の周期でループします。
そしてa[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n]を変形すると
a[n]=3a[n+1]+3a[n+2]+a[n+3]となり、ある連続する3項から
必ずその前の項も一意的に決まりますので、
「先頭のk項（k＞0）はループせず、k+1項めからループが始まる」
ということはあり得ず、先頭からループが始まります。
従ってa[k]≡a[1],a[k+1]≡a[2],a[k+3]≡a[3](mod m)となるkが
必ず存在します。
このとき、a[0]=3a[1]+3a[2]+a[3]=0からa[k-1]≡a[0]≡0(mod m)ですから、
mの倍数である項a[k-1]が存在します。
従って条件を満たす自然数mは存在しません。

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■47992 / ResNo.7)

　Re[2]: 数列とmod

□投稿者/ トランク一般人(6回)-(2017/05/22(Mon) 23:22:44)

2017/05/22(Mon) 23:38:47 編集(投稿者)

なるほど！
a[n]の係数1がいやらしい、mが存在しない(≒元の問題が難しくなってる)原因なんですね。

他の線型回帰数列でも(フィボナッチ数列とか)同様のことが言えるんですね。
有り難うございます。(って、元の問題がますます手が届かなくなってるのではありますが…)

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