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| ■47332 / 親記事) |
有界と周囲の長さの関係の証明が難です
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□投稿者/ なっちゃん 一般人(1回)-(2015/06/09(Tue) 09:48:27)
 | 簡単な問題なのかもしれませんですが、、、
Dが有界の複素平面上の単連結領域の時,Dの境界点の集合をl:=Bd(D)と書く事にすれば,
この弧lの長さは有限である事を示したいのですが
当たり前そうで,いざ証明するとなるとどうすればいいのかわかりません。
是非ともご教示下さい。
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▽[全レス8件(ResNo.4-8 表示)]
| ■47364 / ResNo.4) |
Re[4]: 有界と周囲の長さの関係の証明が難です
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□投稿者/ なっちゃん 一般人(3回)-(2015/06/25(Thu) 04:29:11)
| 遅くなりまして大変申し訳ありません。
> ・p_1, ..., p_nをD内の曲線で結ぶ（弧状連結性を使う）
> ・それぞれの点と曲線を合わせたコンパクト集合Kを考える。
> ・Kを、Dに含まれる開円盤でおおう（Kの各点について、その点を中心としDをはみ出さない程度に小さな開円盤を考えればよい）
> ・Kのコンパクト性から、Kは上記の開円盤の内、有限個で覆える。それをD'とおく。
> ・D'の境界は有限個のジョルダン閉曲線になっているが、
「γを連続曲線とするとγの有限個の開被覆∪_{k=1..m}G_kの境界線lは閉曲線」は明らかですよね。
そして,
「この,lはJordan閉曲線(始点と終点以外は単射)になる」とは限りませんよね。
p_1とp_2を結んだ曲線がCの字の形をしてる場合は開被覆の採り方によっては,その開被覆の境界線lは始終点以外に交点が存在する場合がありますよね
(つまり,複数のJordan閉曲線が接するような形状…(ア))。
故にD'の境界は有限個の閉曲線(非Jordanの場合も有り得る)からなる。
もし,有限個の開被覆の境界線で開曲線になるものがあったとすると,
> その中の一つ（一番外側のもの）が求めるジョルダン閉曲線
これはイメージしやすいですね。
"一番外側の"をどのように数学的に表現すればいいのでしょうか?
また,nについて帰納法では証明できませんでしょうか?
n=2の時,今,D_1:=Dは(単)連結だからp_1とp_2とを結ぶ単純曲線l_1がD_1内に採れる(∵連結の定義)。
n=3の時,今,D_2:=D_1＼l_1∪{p_2}は(2重)連結だからp_2とp_3とを結ぶ単純曲線l_2がD_2内に採れる(∵連結の定義)。
n≧3の時,D_{n-1}:=D_{n-2}＼l_{n-2}∪p_{n-1}は(2重)連結だから,p_{n-2}とp_{n-1}とを結ぶ単純曲線l_{n-1}がD_{n-1}内に採れると仮定すると
nの時,D_n:=D_{n-2}＼l_{n-2}∪p_{n-1}は(2重)連結だから,p_{n-1}とp_nとを結ぶ単純曲線l_nがD_n内に採れる。
従って,Dにp_1,p_2,…,p_nが与えられた時,p_1,p_2,…,p_nを順に結ぶ単純曲線l:=l_1∪l_2∪…∪l_nがD内に採れる。
以上から,
「単連結領域D内に端点を含む単純開曲線lが与えられた時,lを囲むJordan閉曲線Jが採れる」を証明する事に帰着しますね。
これについては,
l上の任意の点xについてD⊃Ball(x,ε)なるxを中心とする半径εの開球が採れる(∵xはDの内点だから)。
この時,∃ε_0>0;D⊃Ball(x,ε_0) for∀x∈lが言える。つまり,xに依らないε_0が存在する。
これが言える理由は
もし,for∀ε>0に対し,∃x_0∈l;D⊃Ball(x_0,ε)とはならないなら,このx_0はもはやDの内点ではない。この事はlが開集合Dに含まれる事に反する。
従って,
B:={Ball(x,ε_0);x∈l}はDに含まれるlの開被覆の一つになっている。lは閉集合であるからコンパクト集合である。
よって,Bから有限個の部分開被覆Ball(x_1,ε_0),Ball(x_2,ε_0),…,Ball(x_n,ε_0) (但し,x_1,x_2,…,x_n∈l)が存在し,∪_{k=1..n}Ball(x_k,ε_0)は非連結。
故に,J:=Bd(∪_{k=1..n}Ball(x_k,ε_0))と採ればJはlを囲むJordan閉曲線となる。すなわち,Jはp_1,p_2,…,p_nを囲むJordan閉曲線である
(但し,Bd( )は境界点集合を表す記号)。
ではいかがでしょうか?
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| ■47365 / ResNo.5) |
Re[5]: 有界と周囲の長さの関係の証明が難です
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□投稿者/ ひよこ 一般人(18回)-(2015/06/25(Thu) 08:17:24)
 | > 故にD'の境界は有限個の閉曲線(非Jordanの場合も有り得る)からなる。
確かにそうですね。有限個の円弧の和で、接している点は有限個ですから、
接点の近くで曲線を変更すれば（どのように変更するとかきちんと述べるのはそれなりに大変かもしれません）どうにかなるとは思いますが。
>>その中の一つ（一番外側のもの）が求めるジョルダン閉曲線
>
> これはイメージしやすいですね。
> "一番外側の"をどのように数学的に表現すればいいのでしょうか?
どのように表現すれば良いのでしょうかね？
このあたりも、「細部まできちんと証明するのは手間かもしれません」の原因です。
> もし,for∀ε>0に対し,∃x_0∈l;D⊃Ball(x_0,ε)とはならないなら,このx_0はもはやDの内点ではない。
x_0（εに応じて選ばれる）を中心にして、半径εをとると、Dからはみ出す。
といっているだけで、x_0が内点かどうかは関係ありません。
この部分を示すなら、lとDの境界の距離が正であることを利用するのが良いかと。
本質的には、lと端点を合わせたものがD内のコンパクト集合であるということに帰着するわけですが。
>J:=Bd(∪_{k=1..n}Ball(x_k,ε_0))と採ればJはlを囲むJordan閉曲線となる。
これはなぜですか？それこそ、lがCやSの形みたいになっていて、Jが接していたり、二つ以上のJordan閉曲線に分離したりしないことを保証する必要があるような気がします。
ε_0を小さくすれば良いような気がしますが、その場合は、こんどはx_k中心の球でちゃんとlがおおわれるかどうかを気にしないといけません。
どうでしょうか？
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| ■47368 / ResNo.6) |
Re[6]: 有界と周囲の長さの関係の証明が難です
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□投稿者/ なっちゃん 一般人(4回)-(2015/06/26(Fri) 12:47:47)
| > どのように表現すれば良いのでしょうかね？
> このあたりも、「細部まできちんと証明するのは手間かもしれません」の原因です。
そうですか。こりゃ大変そうですね。
> x_0（εに応じて選ばれる）を中心にして、半径εをとると、Dからはみ出す。
> といっているだけで、x_0が内点かどうかは関係ありません。
えっ? x_0(今x_0は開集合D内の点にある)を中心とするどんなにちいさな半径の開球をとってもその開球はDからはみ出す...という事を述べたつもりなのですが,
この時,x_0はもはやDの内点ではなくなりますので矛盾となるのですが。。。
これから一定の半径ε_0を持つ開球によるlの有限部分開被覆が採れると思ったのです。
>>J:=Bd(∪_{k=1..n}Ball(x_k,ε_0))と採ればJはlを囲むJordan閉曲線となる。
> これはなぜですか？それこそ、lがCやSの形みたいになっていて、Jが接していたり、二つ以上のJordan閉曲線に
> 分離したりしないことを保証する必要があるような気がします。
> ε_0を小さくすれば良いような気がしますが、その場合は、こんどはx_k中心の球でちゃんとlがおおわれるかどうかを気にしないといけません。
> どうでしょうか？
ふーむ。そうですね。。
>> D'の境界は有限個のジョルダン閉曲線になっているが、
>> その中の一つ（一番外側のもの）が求めるジョルダン閉曲線
有限個のJordan閉曲線をJ_1,J_2,…,J_m(⊂D)とすると,それらの各内部,Isd(J_1),Isd(J_2),…,Isd(J_m)はD内にありますよね(∵今,Dは単連結)。
従って,求めるJordan閉曲線JをJ:=Bd(D'∪∪_{k=1..m}Isd(J_k))と採ればいいのではないでしょうか?
これならいけると思うのですが簡単すぎかな。。
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| ■47370 / ResNo.7) |
Re[7]: 有界と周囲の長さの関係の証明が難です
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□投稿者/ ひよこ 一般人(19回)-(2015/06/26(Fri) 23:02:33)
| えーと、この手の、直感的には明らかっぽいけれど実際に示すのは面倒な類の話題は、きちんと証明しようと思うなら、議論も精密に組み立てないと意味がないと思います。
というわけで、証明の本題からははずれますが、ちょっと気になるので。
> もし,for∀ε>0に対し,∃x_0∈l;D⊃Ball(x_0,ε)とはならないなら,このx_0はもはやDの内点ではない。
ここで、
「∀ε>0に対し,∃x_0∈l;D⊃Ball(x_0,ε)が成立しない」
と
「あるx_0∈lについて、∀ε>0に対し,D⊃Ball(x_0,ε)が成立しない」
は意味が違います。後者は、x_0がDの内点でないことを意味しますが、
前者は、lの点を中心とする半径εの球を考えると、どれかの球はDからはみ出す。というだけで、lがD内にあることと矛盾しません。（例えば、lは端点を含まず、lの端点がDの境界にある場合とか）。
もちろん、今考えている状況では、lとその端点を合わせたものはDの内部にある「コンパクト集合」ですから、（一様に）半径ε_0の球でlをおおうことができますが、コンパクト性なりを使わないと証明できない、はず。
> >> D'の境界は有限個のジョルダン閉曲線になっているが、
> >> その中の一つ（一番外側のもの）が求めるジョルダン閉曲線
>
> 有限個のJordan閉曲線をJ_1,J_2,…,J_m(⊂D)とすると,それらの各内部,Isd(J_1),Isd(J_2),…,Isd(J_m)はD内にありますよね(∵今,Dは単連結)。
>
> 従って,求めるJordan閉曲線JをJ:=Bd(D'∪∪_{k=1..m}Isd(J_k))と採ればいいのではないでしょうか?
>
Jordan閉曲線も含めて
J:=Bd(D'∪∪_{k=1..m}Isd(J_k)∪∪_{k=1..m}J_k)
とすればOKになるような気がします。
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| ■47371 / ResNo.8) |
Re[8]: 有界と周囲の長さの関係の証明が難です
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□投稿者/ なっちゃん 一般人(5回)-(2015/06/27(Sat) 06:39:43)
| > 「∀ε>0に対し,∃x_0∈l;D⊃Ball(x_0,ε)が成立しない」と
> 「あるx_0∈lについて、∀ε>0に対し,D⊃Ball(x_0,ε)が成立しない」
> は意味が違います。後者は、x_0がDの内点でないことを意味しますが、
> 前者は、lの点を中心とする半径εの球を考えると、どれかの球はDから
> はみ出す。というだけで、lがD内にあることと矛盾しません。（例えば、
> lは端点を含まず、lの端点がDの境界にある場合とか）。
おっと,そうでした。
「∃ε_0>0;D⊃Ball(x,ε_0) for∀x∈l」の否定は
「for∀ε>0に対し,∃x_0∈l;D⊃Ball(x_0,ε)とはならない」じゃなかったです。
否定は
「∃x_0∈l;D⊃Ball(x_0,ε) for∀ε>0とはならない」
でしたね。(^_^;)
> もちろん、今考えている状況では、lとその端点を合わせたものはDの内部にある「コンパクト集合」ですから、
> （一様に）半径ε_0の球でlをおおうことができますが、コンパクト性なり
> を使わないと証明できない、はず。
これについては,
今,l⊂DでDは開集合で,端点を含むlはコンパクトだから,当然,開被覆∪_{x∈l}Ball(x,ε_x)を与えると(ε_xはxに対して決まる正数),
しかも,∃ε_0>0;l⊂∪_{x∈l}Ball(x,ε_0)⊂Dなるε_0が採れる(つまり,半径一定の開球からなるDに含まれる開被覆が採れる)。
なぜなら,
もし,「ε_0>∀ε>0に対して,∃x_0∈l;Ball(x_0,ε)⊂Dとはならない」なら,x_0(∈l⊂D)は最早Dの内点とはならないので,これは矛盾。
従って,lのコンパクト性からlの有限部分開被覆∪_{k=1..n}Ball(x_k,ε_0)(⊂D)が採れる。
という具合でいいのですね。
> Jordan閉曲線も含めて
> J:=Bd(D'∪∪_{k=1..m}Isd(J_k)∪∪_{k=1..m}J_k)
> とすればOKになるような気がします。
おっと,そうでした。∪_{k=1..m}J_kも必要でした。
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