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□投稿者/ まるでお城 一般人(1回)-(2017/05/26(Fri) 16:38:08)
 | aを正の数として、数列a[n]を a[n]=(a/n)^n (n=1,2,3,...) と定めます。 a[1],a[2],a[3],...,a[n],... のうち最大の項はどれですか?
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■47997 / ResNo.1) |
Re[1]: 数列の最大項
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□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2017/05/26(Fri) 20:09:22)
 | logは自然対数関数を表すものとし、自然対数の底をeとします。
xを実数として、f(x) = (a/x)^xとおいてx > 0でのf(x)の増減を調べます。 f(x) > 0ですから、log(f(x)) = x(log(a)-log(x)), f'(x)/f(x) = log(a)-log(x)-1 = log(a/(ex)) ⇒ f'(x) = f(x)log(a/(ex)) 1 < a/(ex)つまりx < a/eで、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。 1 = a/(ex)つまりx = a/eで、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。 0 < a/(ex) < 1つまりa/e < xで、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。
よって、a/eに近い整数nでa[n]は最大になると考えられるので、 n = [a/e]またはn = [a/e]+1のどちらかになると思います。
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