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■47915 / 親記事)  漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(4回)-(2017/03/11(Sat) 21:22:47)
    a[1]=1
    a[2]=1
    a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n] (n≧1)
    であるとき、a[n]が自然数であること
    の証明を教えて下さい。お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス10件(ResNo.6-10 表示)]
■47922 / ResNo.6)  Re[6]: 漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(7回)-(2017/03/12(Sun) 11:45:06)
    有り難うございます。
    やはりそういう関係が成り立つのですね。

    それって、実験的に類推する方法以外で、代数的に(非帰納法で)式変形だけで証明できるのでしょうか?
    そもそも、見る人が見ればこういった線形的な関係が成り立つのは明らかなのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47923 / ResNo.7)  Re[6]: 漸化式
□投稿者/ IT 一般人(3回)-(2017/03/12(Sun) 11:46:38)
    らすかるさんへ、
     興味深い結果ですね。
     「a[1]=a[2]=1」という条件も効いているのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47924 / ResNo.8)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2017/03/12(Sun) 11:53:20)
    長文ですが、一定の結果が出せたので書き込ませて頂きます。

    f(x) = Ax^2+Bx+C, a[n+2] = f(a[n+1])/a[n]とし、
    a[n+2] = p*a[n+1]+q*a[n]+rとなるp, q, rがA, B, Cだけで決定できるか考えてみます。

    n = 1とn = 2で変形できる、つまり、
    a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r
    a[4] = p*a[3]+q*a[2]+r
    は成立するもとします。

    後は、kを自然数としてn = kとn = k+1で成立する、つまり、
    a[k+2] = p*a[k+1]+q*a[k]+r
    a[k+3] = p*a[k+2]+q*a[k+1]+r
    と仮定して、n = k+2でも成立することが示せれば良い訳です。

    a[k+4] = (A*a[k+3]^2+B*a[k+3]+C)/a[k+2]
    = {A*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)^2+B*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)+C}/a[k+2]
    = {A*(p^2)*a[k+2]^2+2Apq*a[k+2]a[k+1]+2Apr*a[k+2]+A*(q^2)*a[k+1]^2+2Aqr*a[k+1]+A*r^2+Bp*a[k+2]+Bq*a[k+1]+Br+C}/a[k+2]
    = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+{A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C)}/a[k+2]

    上記の最後の式で、ある定数sが存在して、
    A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C) = s*f(a[k+1])・・・・・(1)
    と表せれば、
    a[k+4] = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*f(a[k+1])/a[k+2]
    = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*f(a[k+1])/a[k]*a[k]/a[k+2]
    = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k+2]*a[k]/a[k+2]
    = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k]・・・・・(2)
    と、とりあえず分数式は解消されて整式になります。

    先ず、(1)の様に表せる為には
    A*(q^2)*a[k+1]^2+(2Aqr+Bq)*a[k+1]+(A*r^2+Br+C) = s*(A*a[k+1]^2+B*a[k+1]+C)
    より、
    A*(q^2) = sA・・・・・(3)
    2Aqr+Bq = sB・・・・・(4)
    A*r^2+Br+C = sC・・・・・(5)
    であることが必要です。

    A ≠ 0とすれば、(3)より、
    s = q^2・・・・・(6)
    です。

    (6)を(4)に代入すると、
    2Aqr+Bq-(q^2)B = q*{2Ar+(1-q)B} = 0
    よって、q = 0ならrは任意の値、q ≠ 0なら
    r = (q-1)B/(2A)・・・・・(7)
    であれば良いです。

    (6)(7)を(5)に代入して見ると、
    A*{(q-1)B/(2A)}^2+B*(q-1)B/(2A)+C = (q^2)C
    ⇒ {(q-1)^2}(B^2)/(4A)+(q-1)(B^2)/(2A)+(1-q^2)C = 0
    ⇒ (q-1){(q-1)(B^2)+2(B^2)-(1+q)*4AC} = 0
    ⇒ (q-1){(q+1)(B^2)-(1+q)*4AC} = 0
    ⇒ (q-1)(q+1)(B^2-4AC) = 0

    4AC-B^2 = 0ならばqは任意の値となりますが、
    4AC-B^2 = 0となるのは、f(x)がxの1次式の平方となる場合です。
    この場合は別途考えることとして(!)、以降4AC-B^2 ≠ 0の場合のみ考えます。

    4AC-B^2 ≠ 0ならばq = ±1であれば良いです。
    q = 1ならば(7)よりr = 0です。
    q = -1ならば(7)よりr = -B/Aです。

    (2)より、
    a[k+4] = A*(p^2)*a[k+2]+2Apq*a[k+1]+(2Apr+Bp)+s*a[k]
    = Ap*(p*a[k+2]+q*a[k+1]+r)+Aq*(p*a[k+1]+q*a[k]+r)+(1-A)(q^2)a[k]+(Apr+Bp-Aqr)
    = Ap*a[k+3]+Aq*a[k+2]+(1-A)(q^2)a[k]+(Apr+Bp-Aqr)
    となりますが、上記が
    a[k+4] = p*a[k+3]+q*a[k+2]+r
    と等価になる為には、
    Ap = p・・・・・(8)
    Aq = q・・・・・(9)
    (1-A)(q^2) = 0・・・・・(10)
    Apr+Bp-Aqr = r・・・・・(11)
    となることが必要です。

    (8)(9)(10)より、A = 1が必要です。
    よって、「q = 1, r = 0」または「q = -1, r = -B」となります。

    A = 1, q = 1, r = 0の場合、(11)は
    1*p*0+Bp-1*1*0 = 0
    ⇒Bp = 0
    となり、B = 0ならばpは任意の値、B ≠ 0ならばp = 0が必要です。

    A = 1, q = -1, r = -Bの場合、(11)は
    1*p*(-B)+Bp-1*(-1)*(-B) = -B
    ⇒ 0 = 0
    となり、pは任意の値となります。

    ・・・と、ここまでのかなり荒削りな結果から、ハイポネックスさんが質問された2問を解いてみます。

    【1問目】a[1] = a[2] = 1, a[n+2] = a[n+1](a[n+1]+1)/a[n] (n≧1)
    A = 1, B = 1, C = 0なので、q = -1, r = -B = -1と取ります。
    a[3] = a[2](a[2]+1)/a[1] = 1*(1+1)/1 = 2
    a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r = p*1+(-1)*1+(-1) = p-2
    ⇒ 2 = p-2
    ⇒ p = 4
    となって、既にみずきさんによる解答の通り、a[n+2] = 4a[n+1]-a[n]-1が得られます。

    【2問目】a[1] = a[2] = 1, a[n+2] = (a[n+1]^2+1)/a[n] (n≧1)
    A = 1, B = 0, C = 1なので、q = -1, r = -B = 0と取ります。
    a[3] = (a[2]^2+1)/a[1] = (1^2+1)/1 = 2
    a[3] = p*a[2]+q*a[1]+r = p*1+(-1)*1+0 = p-1
    ⇒ 2 = p-1
    ⇒ p = 3
    となって、既に私がよる解答の通り、a[n+2] = 3a[n+1]-a[n]が得られます。

    ITさんの指摘も含む、A ≠ 1の場合はこの方法では漸化式の整式化はできないのかもしれません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47926 / ResNo.9)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2017/03/12(Sun) 12:12:33)
    2017/03/12(Sun) 12:39:46 編集(投稿者)

    > 「a[1]=a[2]=1」という条件も効いているのでしょうか?

    f(x) = Ax^2+Bx+C, a[n+2] = f(a[n+1])/a[n] = p*a[n+1]+q*a[n]+rにおいて、
    A = 1かつB^2-4AC ≠ 0であれば、q = -1, r = -Bと取れますし、
    pの決定はa[3] = f(a[2])/a[1] = p*a[2]-a[1]-Bより、a[2] ≠ 0であれば、
    p = {f(a[2])/a[1]+a[1]+B}/a[2]となります。

    元の漸化式の分母にa[n]が来る以上、任意の自然数nに対してa[n] ≠ 0と言えるので、
    a[1] = a[2] = 1という条件までは必要ないと思います。

    但し、漸化式を分数式から整式へ変形できるかどうかを論じているのであって、
    a[n]が全て整数となるかは度外視しています。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47980 / ResNo.10)  Re[2]: 漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(1回)-(2017/05/21(Sun) 08:00:22)
    有り難うございます!
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47977 / 親記事)  数と式
□投稿者/ たまごけ 一般人(1回)-(2017/05/19(Fri) 18:34:56)
    相異なる3つの実数a,b,cが
    (a^2-bc)/(a-abc)=(b^2-ca)/(b-abc)
    を満たしているならば、
    (c^2-ab)/(c-abc)
    も上の等式の値に等しいことを示せ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47978 / ResNo.1)  Re[1]: 数と式
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2017/05/19(Fri) 21:00:33)
    (a^2-bc)/(a-abc)=(b^2-ca)/(b-abc)
    (a^2-bc)(b-abc)-(b^2-ca)(a-abc)=0
    a^2b-a^3bc-b^2c+ab^2c^2-ab^2+ab^3c+a^2c-a^2bc^2=0
    (b-a){abc(a+b+c)-ab-bc-ca}=0
    abc(a+b+c)-ab-bc-ca=0 (∵b-a≠0)
    (c-b){abc(a+b+c)-ab-bc-ca}=0
    b^2c-ab^3c-ac^2+a^2bc^2-bc^2+abc^3+ab^2-a^2b^2c=0
    (b^2-ca)(c-abc)-(c^2-ab)(b-abc)=0
    c-abc≠0の場合
    (b^2-ca)/(b-abc)=(c^2-ab)/(c-abc)
    となり成り立つ。
    c-abc=0の場合は
    (c^2-ab)/(c-abc)
    が定義されないので、「上の等式の値に等しい」とは言えない。
    従って、
    「(c^2-ab)/(c-abc)が定義されるならば、上の等式の値に等しい」
    と言うのが正しい。

    実際、a=2,b=1/2,c=1のとき
    (a^2-bc)/(a-abc)=(b^2-ca)/(b-abc) ですが、
    c^2-ab=c-abc=0 ですので (c^2-ab)/(c-abc) は定義されません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47979 / ResNo.2)  Re[2]: 数と式
□投稿者/ たまごけ 一般人(2回)-(2017/05/19(Fri) 22:41:17)
    途中の計算が難しかったですが、詳しく有難うございました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47970 / 親記事)  不等式
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(1回)-(2017/05/14(Sun) 20:56:33)
    0<x<π/2のとき1/sin(x)-1/x<1-2/πであることの証明をお願いします
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47973 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2017/05/14(Sun) 23:50:07)
    f(x) = 1/sin(x)-1/x とおきます。

    f'(x) = -cos(x)/(sin(x)^2)+1/(x^2) = {(sin(x)^2)-(x^2)cos(x)}/{(x^2)(sin(x)^2)}
    0 < x < π/2の範囲で、f'(x)の分母は正ですから、分子の符号の変化を調べます。

    g(x) = sin(x)^2-(x^2)cos(x)とおきます。

    g'(x) = 2sin(x)cos(x)-2x*cos(x)+(x^2)sin(x) = 2cos(x)(sin(x)-x)+(x^2)sin(x)

    g''(x) = 2(cos(x)^2)-2(sin(x)^2)-2cos(x)+2x*sin(x)+2x*cos(x)+(x^2)cos(x)
    = 2(cos(x)+sin(x))(cos(x)-sin(x)+x)+(x^2)cos(x)

    0 < x < π/2で、0 < cos(x) かつ 0 < sin(x) < x なので、g''(x) > 0 です。
    よって、g'(x)は増加で、g'(0) = 0 なので、0 < x < π/2 で g'(x) > 0 といえます。
    よって、g(x)も増加で、g(0) = 0 なので、0 < x < π/2 で g(x) > 0 といえます。

    以上から、f'(x) > 0 であり、f(x)は増加で、
    0 < x < π/2の範囲のf(x)の値はf(π/2) = 1-2/π未満であるので、
    題意の不等式が成立するといえます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47974 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(2回)-(2017/05/15(Mon) 22:04:04)
    有り難うございました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]



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■47953 / 親記事)  放物線と円
□投稿者/ 昼顔 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 20:42:26)
    aを正の実数とし、xy平面上で
    y≧x^2 かつ (x-a)^2+y^2≦a^2
    をみたす領域の面積をS(a)とする。
    lim[a→∞]S(a)/aを求めよ。

    教えて下さい!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47957 / ResNo.1)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2017/05/11(Thu) 12:34:28)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 ということは、点(x, y)は中心(a, 0)で半径aの円の周及び内部です。

    (x-a)^2+y^2 ≦ a^2
    ⇒ y^2 ≦ 2ax-x^2
    ⇒ -√(2ax-x^2) ≦ y ≦ √(2ax-x^2)

    もう一つの条件の y ≧ x^2 がありますが、-√(2ax-x^2) ≦ 0 ≦ x^2 なので、
    題意の領域は放物線 y = x^2 と 円 (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 で囲まれたものとなります。

    y = x^2 と y^2 = 2ax-x^2 の交点は、x = 0 と 0 < x < 2aの範囲となり、
    x^4 = 2ax-x^2 ⇒ x(x^3+x-2a) = 0 から、0 < x < 2aの範囲の交点のx座標をtとすると、
    t は x^3+x-2a = 0 の根です。

    カルダーノの公式を使えば、x^3+x-2a = 0 の実根は、
    t = {a+√((1/3)^3+a^2)}^(1/3)+{a-√((1/3)^3+a^2)}^(1/3) です。

    S(a) = ∫[0, t]{(√(2ax-x^2))-x^2}dx
    = ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx-[(x^3)/3]_[0, t]
    = ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(t^3)/3
    = ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(2a-t)/3

    x-a = a*sin(u)と置換すると、uの積分範囲は[-π/2, arcsin((t-a)/a)]で、dx/du = a*cos(u)です。
    計算が煩雑になるので、T = arcsin((t-a)/a)とおきます。-a < t-a < aなので、-π/2 < T < π/2です。
    また、-π/2 ≦ u ≦ T < π/2の範囲で、cos(u) ≧ 0です。
    よって、cos(T) = √{1-sin(T)^2} = √{1-((t-a)/a)^2} = (1/a)√(2at-t^2) = (1/a)√(t(2a-t)) = (1/a)√(t(t^3))) = (1/a)t^2です。

    ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = ∫[-π/2, T]{a*cos(u)}(a*cos(u))du
    = (a^2)∫[-π/2, T]{cos(u)^2}du
    = (a^2)∫[-π/2, T]{(1+cos(2u))/2}du
    = (a^2)(1/2)[u+sin(2u)/2]_[-π/2, T]
    = (a^2)(1/2){T+(1/2)sin(2T)-(-π/2)-(1/2)sin(2*(-π/2))}
    = (a^2)(1/2){T+sin(T)cos(T)+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+((t-a)/a)((1/a)t^2)+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(t^3-a(t^2))+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(2a-t-a(t^2))+π/2}

    ここで、sin(T+π/2) = cos(T) = (1/a)t^2 ですから、T+π/2 = arccos((1/a)t^2) です。
    よって、∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))

    以上から、私が計算間違いしていなければ、
    S(a) = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))-(2a-t)/3
    = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/6)(2a-t-3a(t^2))
    となり、
    これに、t = {a+√(1/27+a^2)}^(1/3)+{a-√(1/27+a^2)}^(1/3) を代入して、
    lim[a→∞]{S(a)/a} を計算できるかもしれませんが・・・心が折れました。

    # もっと簡単な方法があるに違いない!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47958 / ResNo.2)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2017/05/11(Thu) 12:58:15)
    2017/05/11(Thu) 12:59:22 編集(投稿者)

    y=x^2と(x-a)^2+y^2≦a^2の交点を(t,t^2)としてaを求めると
    a=(t^3+t)/2
    条件を満たす領域をy=txで二つに分けて考えると
    y=txと放物線で挟まれる方の面積は
    ∫[0〜t]tx-x^2 dx=t^3/6 なので
    lim[t→∞](t^3/6)/a=1/3
    y=txと円で挟まれる方は
    扇形の中心角をθとするとt=(cosθ+1)/(sinθ)となり
    (扇形)/a=aθ/2=(t^3+t)/2・θ/2=((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ/4
    (二等辺三角形)/a=t^2/2=(cosθ+1)^2/(2(sinθ)^2)
    なので
    lim[a→∞]{(扇形)-(二等辺三角形)}/a
    =lim[θ→+0]{((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ-2(cosθ+1)^2/(sinθ)^2}/4
    =lim[θ→+0](cosθ+1)^2(θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)
    =1/3
    (∵lim[θ→+0](θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)=lim[θ→+0](1-cosθ)/(6cosθ(sinθ)^2)
     =lim[θ→+0]1/(-6(sinθ)^2+12(cosθ)^2)=1/12)
    従って
    lim[a→∞]S(a)/a=1/3+1/3=2/3

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47969 / ResNo.3)  Re[2]: 放物線と円
□投稿者/ 昼顔 一般人(2回)-(2017/05/14(Sun) 20:12:06)
    お二人ともありがとうございます!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■記事リスト / ▲上のスレッド
■47951 / 親記事)  四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 18:34:58)
    2017/05/10(Wed) 20:06:22 編集(投稿者)

    a,b,c,dをa>0,b>0,c<0,d<0をみたす実数とし、
    座標平面上にA(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)をとる。
    線分ABと線分CDの垂直二等分線の交点が存在して、
    しかもそれが四角形ABCDの内部に存在するための、
    a,b,c,dに関する(簡単な)必要十分条件って何ですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■47959 / ResNo.1)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(2回)-(2017/05/11(Thu) 20:20:23)
    もしかして簡単には表せないのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47962 / ResNo.2)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2017/05/12(Fri) 00:12:01)
    ABの垂直二等分線は (x,y)=(a/2-bs,b/2-as)
    (ただしs=0のときABの中点、s>0で四角形の内部方向)
    CDの垂直二等分線は (x,y)=(c/2-dt,d/2-ct)
    (ただしt=0のときCDの中点、t>0で四角形の内部方向)
    2直線からtを消去すると (bc-ad)s=(ac-bd-c^2+d^2)/2
    2直線からsを消去すると (ad-bc)t=(ac-bd-a^2+b^2)/2
    ad-bc=0のとき2直線は平行(または一致)で
    交点を持つ(すなわち2直線が一致する)のは
    ac-bd-c^2+d^2=0 かつ ac-bd-a^2+b^2=0
    すなわちa=bかつc=dのとき
    ad-bc≠0のとき
    s=(ac-bd-c^2+d^2)/{2(bc-ad)}
    t=(ac-bd-a^2+b^2)/{2(ad-bc)}
    このs,tが正であれば交点が四角形の内部にある。
    (s,tが正であれば交点が直線ABと直線CDの間にあり、
     またそのとき条件から必ず直線ADと直線BCの間になる(証明略)。)
    よって求める必要十分条件は
    「a=bかつc=d」または
    「ad-bc>0かつa^2-b^2<ac-bd<c^2-d^2」または
    「ad-bc<0かつc^2-d^2<ac-bd<a^2-b^2」

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47966 / ResNo.3)  Re[1]: 四角形
□投稿者/ メルシー・マダム 一般人(3回)-(2017/05/12(Fri) 17:56:53)
    有難うございます。
    この結果、使わせていただきます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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