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■47082 / 親記事)  楕円
□投稿者/ LP 一般人(3回)-(2015/04/09(Thu) 23:03:32)
    2次曲線 C ;2 x^2+4 x y+4 x+3 y^2+5 y=366 について
    (1) C は 楕円であることを 焦点 F1,F2 を求め PF1+PF2=一定 と表示し 示せ。
    (2) C上の格子点を求めよ。
    (3) 格子点のひとつをP1=(x1,y1)とする 角F1P1F2 を 求めよ。
    (4) C の 媒介変数表示を 求めよ。
    (5) Cで囲まれる部分の面積を色々な方法で求めよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]



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■47076 / 親記事)  有理数
□投稿者/ ぴゅいず 一般人(1回)-(2015/04/09(Thu) 20:41:19)
    有理数 a, b, p, q が
      a^2 - 2b^2 + 5(p^2 - 3q^2) = 0
    をみたすならば,
      a = b = p = q = 0
    であることの証明を教えて下さい.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47078 / ResNo.1)  Re[1]: 有理数
□投稿者/ らすかる 大御所(303回)-(2015/04/09(Thu) 21:24:45)
    もしa=b=p=q=0以外に与式を満たす有理数があれば、
    適当に平方数倍することで与式を満たすa=b=p=q=0以外の整数もある。
    よってa=b=p=q=0以外の整数解がないことを示せばよいので、
    a,b,p,qは整数と仮定する。
    a^2-2b^2=5(3q^2-p^2)
    a≡0(mod5)のときa^2≡0(mod5)
    そうでないときa^2≡±1(mod5)
    b≡0(mod5)のとき2b^2≡0(mod5)
    そうでないとき2b^2≡±2(mod5)
    従ってa^2-2b^2が5の倍数になるためにはa≡b≡0(mod5)でなければならない。
    このときa^2-2b^2は25の倍数になるから、p^2-3q^2も5の倍数でなければならないが、
    上と同様の議論でp^2-3q^2が5の倍数になるためには
    p≡q≡0(mod5)でなければならないことがわかる。
    a=b=p=q=0でなくa,b,p,qが5の倍数のとき、
    a=b=0でないからa^2-2b^2の素因数5の個数は偶数個、
    p=q=0でないから5(3q^2-p^2)の素因数5の個数は奇数個となり、
    等式は成り立たない。
    従ってa=b=p=q=0のときのみ式が成り立つ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47080 / ResNo.2)  Re[2]: 有理数
□投稿者/ ぴゅいず 一般人(2回)-(2015/04/09(Thu) 21:59:18)
    ありがとうございました。
    よく分かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47071 / 親記事)  楕円について
□投稿者/ LP 一般人(1回)-(2015/04/07(Tue) 01:42:47)
    楕円 21 x^2 + 10 Sqrt[3] x y + 31 y^2 = 2 (902 + 175 Sqrt[3])
    について 楕円上の格子点 と 面積を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47077 / ResNo.1)  Re[1]: 楕円について
□投稿者/ みずき 付き人(62回)-(2015/04/09(Thu) 21:12:17)
    (√3)(10xy-350)=1804-21x^2-31y^2
    10xy-350≠0と仮定すると、
    √3=(1804-21-31y^2)/(10xy-350)
    整数x,yに対して(無理数)=(有理数)となり矛盾。
    よって、10xy-350=0,1804-21x^2-31y^2=0を解いて、
    楕円上の格子点は(x,y)=(7,5),(-7,-5)の2点のみ。

    x,yをxcos(-π/6)-ysin(-π/6),xsin(-π/6)+ycos(-π/6)にそれぞれ置換すると
    (x^2)/(9α)+(y^2)/(4α)=1
    よって、面積は6απ(ただし、α=(902+175√3)/72)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47079 / ResNo.2)  Re[2]: 楕円について
□投稿者/ LP 一般人(2回)-(2015/04/09(Thu) 21:43:17)
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47001 / 親記事)  線形写像の相似についての照明
□投稿者/ akina 一般人(1回)-(2015/03/28(Sat) 05:36:43)
    VをF上の有限次元線形空間とする。
    f,g∈L(V)に於いて,f〜g⇔∃h∈L(V);f=h^-1ghと定義してfとgは相似と呼ぶ事にする。

    この時,下記の真偽を判定せよ。
    (i) f^-1〜g^-1 ⇒ f〜g
    (ii) f〜g ⇒ f^2〜g^2
    (iii) fg〜gf
    (iv) fが逆写像を持つならfg〜gf.

    という問題なのですが,いまいち分かりません。
    (i)については,
    f^-1〜g^-1からf^-1=h^-1g^-1hと掛け,これから
    id=fh^-1g^-1hとなりますよね(idは恒等写像)?

    具体的にどのように変形してけばいいでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■47003 / ResNo.2)  Re[1]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ Samantha 一般人(1回)-(2015/03/28(Sat) 09:38:44)


    とすればいいのではないでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47010 / ResNo.3)  Re[2]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ akina 一般人(2回)-(2015/03/29(Sun) 11:31:48)
    f^-1(V)=h^-1g^-1h(V)
    ⇔h(V)=g^-1hf(V)
    ⇔gh(V)=hf(V)
    ⇔h^-1gh(V)=f(V)
    を示すのですよね。

    f^-1=h^-1g^-1h
    ⇔h=g^-1hf
    ⇔gh=hf
    ⇔h^-1gh=f
    という具合に方程式の変形の感じでいいのですね。簡単ですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47069 / ResNo.4)  Re[3]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ akina 一般人(3回)-(2015/04/06(Mon) 05:03:45)
    再度質問です。

    f〜g ⇒ f'〜g'
    はどうすれば導けますか?

    f',g'は夫々f,gの随伴写像,∀(x,y)∈V×L(V)に対し,(f'(y))(x)=y(f(x))です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47070 / ResNo.5)  Re[4]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ Samantha 一般人(6回)-(2015/04/06(Mon) 22:07:22)
    fh=hgのときh'f'=g'h'となることを示してみましょう。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47075 / ResNo.6)  Re[5]: 線形写像の相似についての照明
□投稿者/ akina 一般人(4回)-(2015/04/09(Thu) 09:47:07)
    有難うございます。お蔭様で上手くいきました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47073 / 親記事)  双曲線
□投稿者/ asy 一般人(1回)-(2015/04/07(Tue) 16:16:26)
    x^2-4 x-2 y^2-52=0 の整数解を教えてください
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47074 / ResNo.1)  Re[1]: 双曲線
□投稿者/ WIZ 付き人(50回)-(2015/04/08(Wed) 20:33:32)
    {(x-2)^2}-2(y^2) = 56と変形できます。
    56も2(y^2)も偶数ですから、(x-2)^2も偶数、つまりx-2は偶数です。
    すると、56と(x-2)^2が4の倍数ですから、2(y^2)も4の倍数、つまりy^2は偶数で、yも偶数となります。

    u, vを有理数の整数として、x-2 = 2u, y = 2vとおくと、(u^2)-2(v^2) = 14となります。
    2(v^2)と14は偶数ですから、u^2は偶数で、uも偶数となります。

    wを有理数の整数として、u = 2wとおくと、
    2(w^2)-(v^2) = 7 = 2(2^2)-1
    ⇒ {w(√2)-v}{w(√2)+v} = {2(√2)-1}{2(√2)+1}・・・・・(1)

    ここで、wとvは互いに素です。
    何故なら、最大公約数(w, v) = gとすると、g^2は2(w^2)-(v^2) = 7の約数なので、
    g^2 = 1となるからです。

    2次体Q(√2)は素因数分解の一意性が成立します。
    Q(√2)の整数w(√2)-vとw(√2)+vのノルムを考えると、
    N(w(√2)-v) = N(w(√2)+v) = 7より、w(√2)-vとw(√2)+vはQ(√2)の共役な素数です。
    # 逆に言えば、Q(√2)において有理数の整数7は完全分解であり、
    # Q(√2)の共役な2つの素数の積に等しくなるというこどてす。

    (1)より、eをQ(√2)の単数として、以下の2通りの可能性が考えられます。
    (A) w(√2)+v = e{2(√2)+1} かつ w(√2)-v = (1/e){2(√2)-1} = 7/(e{2(√2)+1})
    (B) w(√2)+v = e{2(√2)-1} かつ w(√2)-v = (1/e){2(√2)+1} = 7/(e{2(√2)-1})
    # 但し(B)は、単数eを単数(1/e)に置き換えれば(A)のvの符号が反転しただけの式となります。

    Q(√2)の基本単数は1+√2であり、そのノルムはN(1+√2) = -1であることと、
    N(w(√2)+v) = N(w(√2)-v) = N(2(√2)+1) = N(2(√2)-1) = 7であることから、
    nを有理数の整数(負でも良い)として、e = (1+√2)^(2n) = (3+2√2)^nでなくてはなりません。
    N(3+2√2) = +1だからです。また、3-2√3 = 1/{3+2√2}です。

    以上から、w, vの符号を度外視すれば、
    w(√2)-v = {2(√2)-1}{(3-2√2)^n}
    w(√2)+v = {2(√2)+1}{(3+2√2)^n}
    と表せますので、
    w = ({2(√2)+1}{(3+2√2)^n}+{2(√2)-1}{(3-2√2)^n})/(2√2)
    v = ({2(√2)+1}{(3+2√2)^n}-{2(√2)-1}{(3-2√2)^n})/2
    となります。

    x = 2u+2 = 4(±w)+2
    = 2±4({2(√2)+1}{(3+2√2)^n}+{2(√2)-1}{(3-2√2)^n})/(2√2)
    = 2±({4+√2}{(3+2√2)^n}+{4-√2}{(3-2√2)^n})

    y = 2(±v)
    = ±({2(√2)+1}{(3+2√2)^n}-{2(√2)-1}{(3-2√2)^n})
    となると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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