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□投稿者/ プミラ 一般人(1回)-(2016/10/14(Fri) 06:53:51)
 | a+b^2+c^3=a^2+b^3+c=a^3+b+c^2
の整数解(a,b,c)を全て教えて下さい(求め方も)。
よろしくお願いします。
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
| ■47779 / ResNo.1) |
Re[1]: 整数解
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□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2016/10/14(Fri) 23:22:54)
| 2016/10/15(Sat) 08:21:24 編集(投稿者)
長くなってしまいましたので、もっと良い解き方があるかも知れません。
[一つだけ負の場合]
対称性によりa＜0,b≧0,c≧0と仮定しても一般性は失われません。
このときa≧a^3,b^2≧b,c^3≧c^2なのでa+b^2+c^3≧a^3+b+c^2
等号が成り立つのはa=-1かつb=0,1かつc=0,1のときで、
いずれの場合もa+b^2+c^3＜a^2+b^3+cとなり不適。
よってこの場合は解なし。
[ちょうど二つが負の場合]
対称性によりa＜0,b＜0,c≧0と仮定しても一般性は失われません。
このときa≧a^3,b^2＞b,c^3≧c^2なのでa+b^2+c^3＞a^3+b+c^2となり不適。
よってこの場合も解なし。
[すべて負の場合]
対称性によりa=min(a,b,c)と仮定しても一般性は失われません。
以下の6つの場合があります。
(1) 0＞b＝c＝a
(2) 0＞b＝c＞a
(3) 0＞b＞c＝a
(4) 0＞b＞c＞a
(5) 0＞c＞b＝a
(6) 0＞c＞b＞a
(2),(3),(4)の場合
a+b^2+c^3=a^2+b^3+cから
b^2-a^2=(b^3-c^3)+(c-a)
(左辺)＜0, (右辺)＞0なので解なし。
(5),(6)の場合
a^2+b^3+c=a^3+b+c^2から
(b^3-a^3)+(c-b)=c^2-a^2
(左辺)＞0, (右辺)＜0 なので解なし。
(1)の場合に成り立つことは自明です。
[すべて非負の場合]
対称性によりa=min(a,b,c)と仮定しても一般性は失われませんので
a≧0,b≧a,c≧aとします。すると
a+b^2+c^3≧a^2+b+c^3≧a^3+b+c^2
左の等号はa=bまたはa=0,b=1
右の等号はa=cまたはa=0,c=1
これより
a=b=c
a=b=0,c=1
a=0,b=c=1
対称性により
(a,b,c)=(t,t,t),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)
（tは任意の非負整数）
が適解
従ってまとめると、解は
(a,b,c)=(t,t,t),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)
（tは任意の整数）
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| ■47780 / ResNo.2) |
Re[2]: 整数解
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□投稿者/ IT 一般人(1回)-(2016/10/15(Sat) 06:07:39)
| 2016/10/15(Sat) 06:56:37 編集(投稿者)
らすかる様
「対称性」を使わないと場合分けが多くなり大変ですね。
この場合の「対称性」は、どうやって確認すればいいのでしょうか？ ご教示ください。例えばaとbを入れ換えると 式が変わる気がするのですが。
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| ■47781 / ResNo.3) |
Re[3]: 整数解
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□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2016/10/15(Sat) 07:16:36)
| 「対称性」という言葉は正しくないかも知れませんね。
a→c,c→b,b→aのように3つの文字を循環するように入れ替えれば
同じ式になる、という意味です。
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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(15)