数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 56]

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確率(2) |

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複素数の実部と虚部の分け方がわかりません(3) |

（削除）(0) |

正接の値(2) |

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円(5) |

確率(1) |

P(a,b,c) = P(c|b) * P(b|a) 成立条件？(0) |

円環(3) |

微分(2) |

連立(1) |

微分(1) |

数学では循環する定義・公理は許されていますか(1) |

数列(8) |

■47271 / 親記事)

　積分

□投稿者/ ヴェクター一般人(4回)-(2015/05/23(Sat) 23:03:39)

k＜1ならば、
∫[0,1]f(x)g(x)dx=k
∫[0,1](f(x)+g(x))^2dx=4
をみたすR上の一次独立な連続関数f(x),g(x):[0,1]→Rが存在する
ことの証明を教えていただけないでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47272 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分

□投稿者/ IT 一般人(9回)-(2015/05/24(Sun) 00:58:31)

（完全には出来ていませんが方針だけ）
∫[0,1]f(x)g(x)dx=k をみたすf(x),g(x)を考える
f(x)＞0,g(x)=k/f(x)とする
∫[0,1](f(x)+g(x))^2dx
=∫[0,1](f(x)+k/f(x))^2dx
=∫[0,1]{f(x)^2+2k+(k/f(x))^2}dx

したがって∫[0,1]{f(x)^2+(k/f(x))^2}dx＝4-2k をみたすf(x)を見つける
たとえば、f(x)^2+(k/f(x))^2＝(4-4k)x+2 なるf(x)がとれれば良い。
このようなf(x)が存在し連続でf(x)とg(x)は一次独立であることを示せば良いと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47273 / ResNo.2)

　Re[1]: 積分

□投稿者/ らすかる大御所(335回)-(2015/05/24(Sun) 01:15:55)

(参考)
例えば
f(x)=x/2+(√(3-3k))x+(√141-3)/12
g(x)=x/2-(√(3-3k))x+(√141-3)/12
が条件を満たします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

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■47262 / 親記事)

　約数の個数の和

□投稿者/ 麻子一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 10:04:18)

$2$n$ を正の整数とし、
$2$d_1 (n)$ を $2$n$ の約数のうち $2$4$ で割って $2$1$ 余るものの個数
$2$d_3 (n)$ を $2$n$ の約数のうち $2$4$ で割って $2$3$ 余るものの個数
とします。
$2$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\sum_{k=1}^n d_1 (k) - \sum_{k=1}^n d_3 (k)}{n}$
を求めたいので、よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■47267 / ResNo.1)

　Re[1]: 約数の個数の和

□投稿者/ らすかる大御所(334回)-(2015/05/23(Sat) 12:07:27)

自信がありませんし厳密性にも欠けますが

Σ[k=1～n]d1(k)=Σ[4k+1≦n][n/(4k+1)] ～ n(1/1+1/5+1/9+…)
Σ[k=1～n]d3(k)=Σ[4k+3≦n][n/(4k+3)] ～ n(1/3+1/7+1/11+…)
なので
(求める極限)
=(1/1+1/5+1/9+…)-(1/3+1/7+1/11+…)
=1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…
=arctan1
=π/4
となりそうな気がします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47269 / ResNo.2)

　Re[2]: 約数の個数の和

□投稿者/ 麻子一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 22:31:17)

有難うございます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47268 / 親記事)

□投稿者/ e 一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 17:35:34)

e=Σ[n=0,∞]1/n!
を前提として、
1/e=Σ[n=0,∞](-1)^n/n!
は示せますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47244 / 親記事)

　チョコボールの期待値

□投稿者/ キョロちゃん一般人(1回)-(2015/05/22(Fri) 19:21:51)

pは1/5より小さい正の実数とします。
チョコボールを買うとき、
金のエンゼルが出る確率はp、
銀のエンゼルが出る確率は5p
とします。
金のエンゼルは1枚、
銀のエンゼルは5枚
で、おもちゃのカンヅメと交換できます。
このとき、以下の質問を解説して下さい。
(1) おもちゃのカンヅメをGETするために買わなければならないチョコボールの個数の期待値はいくらになるでしょうか？
(2) 銀のエンゼルを廃止して、金のエンゼルが出る確率を2倍にするのは森永製菓の企業戦略として数学的に妥当でしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス9件(ResNo.5-9 表示)]

■47253 / ResNo.5)

　Re[5]: チョコボールの期待値

□投稿者/ らすかる大御所(328回)-(2015/05/23(Sat) 08:17:10)

(1)
1個買って金が出ない確率は 1-p
2個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^2
3個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^3
4個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^4
n≧5、0≦m≦4として
n個買って金が0枚、銀がm枚の確率は nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)
なので
1個買ってGETできる確率は p
2個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^2)-p
3個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^3)-(1-(1-p)^2)=(1-p)^2-(1-p)^3
4個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^4)-(1-(1-p)^3)=(1-p)^3-(1-p)^4
つまりn≦4のときにn個買って初めてGETできる確率は
(1-p)^(n-1)-(1-p)^n
そしてn≧5のときにn個買って初めてGETできる確率は
(1-Σ[m=0～4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)})
　-(1-Σ[m=0～4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)})
=Σ[m=0～4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)}
　-Σ[m=0～4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)}
=
{(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3+(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2
+(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
+(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12
よって求める期待値は
Σ[n=1～4]〔n{(1-p)^(n-1)-(1-p)^n}〕
+Σ[n=5～∞]〔n{(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3
+(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2+(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
+(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12〕
=
(-4p^4+15p^3-20p^2+10p)
+(31104p^5-116640p^4+155520p^3-77760p^2+4651)/(7776p)
=4651/(7776p)

途中計算は非常に大変でしたが、答えは結構シンプルになりました。
ということは、もっとうまい計算方法があるのかも知れません。

(2)
銀のエンゼルを廃止して金のエンゼルの確率を2倍にすると
期待値は1/(2p)個になりますので、
(金のエンゼルが出る確率を2倍に変更した時の期待値)＜(元の期待値)
ですから、妥当ではないということになりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47255 / ResNo.6)

　Re[6]: チョコボールの期待値

□投稿者/ キョロちゃん一般人(5回)-(2015/05/23(Sat) 09:37:20)

ありがとうございます。
計算、よくわかりました。
森永は賢いということですね。
4651/7776と0.5がどれくらい離れてるのかGoogleの電卓で計算しようと思って検索してみたら
どうも1-(5/6)^5に等しいみたいなので、裏で何かあるのかもしれません。

もう一つ教えていただいてもよろしいでしょうか。
私などの確率ど素人からすれば、(1)と(2)の期待値なんてどうせ等しいだろうと予想してしまうのですが、
(2)の結論が直感的に明らかと思える思考方法はありますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47256 / ResNo.7)

　Re[7]: チョコボールの期待値

□投稿者/ らすかる大御所(329回)-(2015/05/23(Sat) 09:40:03)

2015/05/23(Sat) 09:40:45 編集(投稿者)

Nは十分大きい数として、
(2)の場合N個買うとおもちゃのカンヅメが2pN個GETできます。
(1)は
金のエンゼルがpN個 → おもちゃのカンヅメがpN個
銀のエンゼルが5pN個 → おもちゃのカンヅメがpN個
ですから、やはりおもちゃのカンヅメは2pN個GETできます。
従って
「たくさん買ったときにおもちゃのカンヅメがGETできる個数」
は等しいことになります。
それで直感的に等しいと思えるということですよね。

しかし、(2)では最初の1個のおもちゃのカンヅメをGETしたときに
「余ったエンゼル」はないのに対し、
(1)では銀のエンゼルが余っている可能性があります。
その分無駄買いが発生していて、
(1)の方が期待値が大きくなるということです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47258 / ResNo.8)

　Re[8]: チョコボールの期待値

□投稿者/ キョロちゃん一般人(6回)-(2015/05/23(Sat) 09:52:51)

>無駄買い

なるほど!!!
ありがとうございます!!!
朝からとてもすっきりしました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47266 / ResNo.9)

　Re[9]: チョコボールの期待値

□投稿者/ らすかる大御所(333回)-(2015/05/23(Sat) 11:42:34)

今さらですが、もっと簡単な計算方法を思いつきました。

最初にエンゼルを引いたとき、それが金のエンゼルである確率は1/6
最初に引いたエンゼルが銀で2番目が金である確率は(5/6)(1/6)
最初の2つが銀で3番目が金である確率は(5/6)^2・(1/6)
最初の3つが銀で4番目が金である確率は(5/6)^3・(1/6)
従って「何回目のエンゼルでおもちゃのカンヅメGETになるか」の期待値は
(1/6)+2(1/6)(5/6)+3(1/6)(5/6)^2+4(1/6)(5/6)^3
+5{1-{(1/6)+(1/6)(5/6)+(1/6)(5/6)^2+(1/6)(5/6)^3}}
=4651/1296回となります。
1回エンゼルを引くまでの個数の期待値は1/(6p)ですから、
おもちゃのカンヅメGETになるまでの個数の期待値は
(4651/1296)(1/(6p))=4651/(7776p)となります。

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■47257 / 親記事)

　円と点の空間幾何学

□投稿者/ どすこい一般人(1回)-(2015/05/23(Sat) 09:43:15)

3次元空間に原点Oと、有限個の円C[1],C[2],...,C[n]があります。
各C[k]の円周上を、角速度w[k]で点P[k]が回転しています。
このとき、常に
Σ[k=1,n] |OC[k]| ≧ Σ[k=1,n] |OP[k]|
が成り立つようにC[1],C[2],...,C[n]を配置できますか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■47261 / ResNo.1)

　Re[1]: 円と点の空間幾何学

□投稿者/ らすかる大御所(331回)-(2015/05/23(Sat) 10:00:28)

|OC[k]|が「原点から円C[k]までの中心までの距離」の意味だとしたら、
任意の角速度に対して成り立つようにするのは不可能だと思いますが・・・

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■47264 / ResNo.2)

　Re[2]: 円と点の空間幾何学

□投稿者/ どすこい一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 11:25:44)

どうしてでしょうか…

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47265 / ResNo.3)

　Re[3]: 円と点の空間幾何学

□投稿者/ らすかる大御所(332回)-(2015/05/23(Sat) 11:37:08)

2015/05/23(Sat) 12:08:39 編集(投稿者)

私の考え違いあるいは解釈違いでしたらすみません。

円がどこにどういう向きであっても、「原点から円周上の点までの距離」が
「原点から中心までの距離」よりも長くなるような点が
円周の半分以上ありますよね。
例えば角速度が√2,√3,√5のように割り切れない関係にあるとき、
いつかは必ず「すべてのP[k]が中心までの距離よりも遠い半周にある」
という状態になりますので、「常に中心までの距離の方が（合計が）長い（または等しい）」
とすることは不可能だと思います。

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