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□投稿者/ コルム 一般人(22回)-(2019/01/05(Sat) 21:22:09)
 | ベクトルの問題です 矢印が使えないため、ベクトルOAをV(OA)と表します。
平面上の4点O,A,B,Cが |V(OA)|=|V(OB)|=1,|V(OC)|=5,V(OA)・V(OC)=3,V(OB)・V(OC)=4を満たしている。 このとき、V(OA)・V(OB)の値を全て求めよ。また|V(AB)|の値を全て求めよ。
よろしくお願いいたします。 教えていただけると幸いです。
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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■48960 / ResNo.1) |
Re[1]: ベクトルについて。
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□投稿者/ muturajcp 一般人(31回)-(2019/01/06(Sun) 19:28:01)
 | (↑OA,↑OB)=|OA||OB|cos∠AOB ↓|OA|=|OB|=1だから (↑OA,↑OB)=cos∠AOB…(1)
4点が平面上にあるから ∠AOB+∠AOC+∠BOC=2π ↓両辺から∠AOC+∠BOCを引くと ∠AOB=2π-∠AOC-∠BOC ↓これを(1)に代入すると (↑OA,↑OB)=cos(2π-∠AOC-∠BOC) ↓cos(2π-∠AOC-∠BOC)=cos(∠AOC+∠BOC) ↓だから (↑OA,↑OB)=cos(∠AOC+∠BOC) (↑OA,↑OB)=cos(∠AOC)cos(∠BOC)-sin(∠AOC)sin(∠BOC)…(2)
(↑OA,↑OC)=3 (↑OA,↑OC)=|OA||OC|cos∠AOC だから |OA||OC|cos∠AOC=3 ↓|OA|=1,|OC|=5だから 5cos∠AOC=3 ↓両辺を5で割ると cos∠AOC=3/5…(3) ↓(sin∠AOC)^2=1-(cos∠AOC)^2だから (sin∠AOC)^2=1-(3/5)^2 (sin∠AOC)^2=(4/5)^2 sin∠AOC=±4/5…(4)
(↑OB,↑OC)=4 (↑OB,↑OC)=|OB||OC|cos∠BOC だから |OB||OC|cos∠BOC=4 ↓|OB|=1,|OC|=5だから 5cos∠BOC=4 ↓両辺を5で割ると cos∠BOC=4/5…(4) ↓(sin∠BOC)^2=1-(cos∠BOC)^2だから (sin∠BOC)^2=1-(4/5)^2 (sin∠BOC)^2=(3/5)^2 sin∠BOC=±3/5…(6) ↓これと(3),(4),(5)を(2)に代入すると (↑OA,↑OB)=(3/5)(4/5)±(4/5)(3/5) (↑OA,↑OB)=12(1±1)/25 (↑OA,↑OB)=0又は24/25…(7)
|AB|^2=|↑OB-↑OA|^2 |AB|^2=|OB|^2+|OA|^2-2(↑OA,↑OB) ↓|OB|=|OA|=1だから |AB|^2=2-2(↑OA,↑OB) |AB|^2=2{1-(↑OA,↑OB)} |AB|=√[2{1-(↑OA,↑OB)}] ↓(7)から |AB|=√[2{1-(0又は24/25)}] |AB|=√[2{1又は(1/25)}] |AB|=(√2)又は{(√2)/5} ∴ ↑OA・↑OB=0 又は ↑OA・↑OB=24/25
|AB|=√2 又は |AB|=(√2)/5
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■48963 / ResNo.2) |
Re[1]: ベクトルについて。
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□投稿者/ コルム 一般人(24回)-(2019/01/06(Sun) 20:53:09)
 | なぜ、∠AOB+∠AOC +∠BOC=2πなのでしょうか?教えていただけると幸いです。
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■48964 / ResNo.3) |
Re[2]: ベクトルについて。
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□投稿者/ muturajcp 一般人(33回)-(2019/01/06(Sun) 21:34:41)
 | O,A,B,Cは同一平面上にあるから
まず OからAへ直線を引く
次に Oを中心としてAからBへ 左反時計まわりか 右時計まわりか どちらか間にCが無いほうに回転して 角度を測りそれを∠AOBとする
続いて Oを中心としてBからCへ 前と同じ方向へ回転して 角度を測りそれを∠BOCとする
続いて Oを中心としてCからAへ 前と同じ方向へ回転して 角度を測りそれを∠COAとする と 1回転(=360°(=2π))回転するから
∠AOB+∠BOC+∠COA=360°=2π
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371×634 => 146×250
 m2019010521.jpg/19KB
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■48973 / ResNo.4) |
Re[1]: ベクトルについて。
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□投稿者/ コルム 一般人(27回)-(2019/01/11(Fri) 03:54:33)
 | 次の解答の続きを書いていただけないでしょうか? |V(OA)|=|V(OB)|=1, |V(OC)|=5より、点A,B,Cを極座標表示でA(sinScosP, sinSsinP, cosS), B(sinTcosQ, sinTsinQ, cosT), C(5sinUcosR, 5sinUsinR, 5cosU) (0≦P,Q,R,S,T,U<2π)とする。
V(OA)・V(OC)=3より、 5sinScosPsinUcosR+5sinSsinPsinUsinR+5cosScosU=3 5(sinScosPsinUcosR+sinSsinPsinUsinR+cosScosU)=3 sinScosPsinUcosR+sinSsinPsinUsinR+cosScosU=3/5 sinSsinU(cosPcosR+sinPsinR)+cosScosU=3/5 cos(P-R)sinSsinU+cosScosU=3/5 cos(P-R)(-1/2)(cos(S+U)-cos(S-U))+(1/2)(cos(S+U)+cos(S-U))=3/5 -cos(P-R)(cos(S+U)-cos(S-U))+(cos(S+U)+cos(S-U))=6/5 cos(S+U)(1-cos(P-R))+cos(S-U)(1+cos(P-R))=6/5 教えていただけると幸いです。
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■48975 / ResNo.5) |
Re[1]: ベクトルについて。
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□投稿者/ muturajcp 一般人(37回)-(2019/01/11(Fri) 20:48:55)
 | |OA|=|OB|=1 |OC|=5 ↑OA・↑OC=3 ↑OB・↑OC=4 O,A,B,Cは同一平面上にあるから ↑OA,↑OB,↑OCは1次従属だから x↑OA+y↑OB+z↑OC=0…(1) となる実数(x,y,z)≠(0,0,0)がある ↓(1)と↑OCの内積をとると x(↑OA・↑OC)+y(↑OB・↑OC)+z|↑OC|^2=0 ↓↑OA・↑OC=3 ↓↑OB・↑OC=4 ↓|OC|=5 ↓だから 3x+4y+25z=0…(2)
(1)と↑OAの内積をとると x|↑OA|^2+y(↑OA・↑OB)+z(↑OA・↑OC)=0 ↓|OA|=1 ↓↑OA・↑OC=3 ↓だから x+y(↑OA・↑OB)+3z=0…(3)
↓(1)と↑OBの内積をとると x(↑OA・↑OB)+y|↑OB|^2+z(↑OB・↑OC)=0 ↓|OB|=1 ↓↑OB・↑OC=4 ↓だから x(↑OA・↑OB)+y+4z=0…(4)
(3)の両辺に25をかけると 25x+25y(↑OA・↑OB)+75z=0…(5) (2)の両辺に3をかけると 9x+12y+75z=0…(6) ↓(5)からこれを引くと 16x+13y(↑OA・↑OB)=0…(7)
(4)の両辺に25をかけると 25x(↑OA・↑OB)+25y+100z=0…(8) (2)の両辺に4をかけると 12x+16y+100z=0…(9) ↓(5)からこれを引くと 13x(↑OA・↑OB)+9y=0…(10) x=0の時y=0で(2)からz=0となって(x,y,z)≠(0,0,0)に矛盾するからx≠0だから (7)の両辺にxをかけると 16x^2+13xy(↑OA・↑OB)=0…(11) y=0の時(6)からx=0で(2)からz=0となって(x,y,z)≠(0,0,0)に矛盾するからy≠0だから (11)の両辺にyをかけると 13xy(↑OA・↑OB)+9y^2=0 ↓これから(10)を引くと 9y^2-16x^2=0 ↓両辺に16x^2を加えると 9y^2=16x^2 ↓両辺を1/2乗すると 3y=±4x
3y=4xの時 これを(6)に代入すると 9x+16x+75z=0 25x+75z=0 ↓両辺を25で割ると x+3z=0 ↓これを(3)に代入すると y(↑OA・↑OB)=0 ↓y≠0だから (↑OA・↑OB)=0…(12)
3y=-4xの時 これを(6)に代入すると 9x-16x+75z=0 -7x+75z=0 75z=7x x=75z/7…(13)
4x=-3yを(9)に代入すると -9y+16y+100z=0 7y+100z=0 7y=-100z y=-100z/7 ↓これと(13)を(3)に代入すると 75z/7-(100z/7)(↑OA・↑OB)+3z=0 ↓z≠0だから両辺に7/(4z)をかけると 75/4-25(↑OA・↑OB)+21/4=0 24-25(↑OA・↑OB)=0 ↓両辺に25(↑OA・↑OB)を加え左右を入れ替えると 25(↑OA・↑OB)=24 ↓両辺を25で割ると (↑OA・↑OB)=24/25…(14)
|AB|^2=|↑OB-↑OA|^2 |AB|^2=|OB|^2+|OA|^2-2(↑OA,↑OB) ↓|OB|=|OA|=1だから |AB|^2=2-2(↑OA,↑OB) |AB|^2=2{1-(↑OA,↑OB)} |AB|=√[2{1-(↑OA,↑OB)}]…(15)
(12),(15)から (↑OA・↑OB)=0 の時 |AB|=√2
(14),(15)から (↑OA・↑OB)=24/25 の時 |AB|=(√2)/5
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