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■49076 / 親記事)  自然数の方程式
□投稿者/ だんすぱーちー 一般人(1回)-(2019/03/24(Sun) 13:14:45)
    a,b,x,yは自然数で、xはyを割り切る(yはxの倍数である)ものとする。
    さらに、s[1],s[2],s[3],s[4],t[1],t[2],t[3],t[4]を整数として、
    これらが
    as[1]=xt[1]
    bs[2]=xt[2]
    as[3]=yt[3]
    bs[4]=yt[4]
    |s[1]s[4]-s[2]s[3]|=1
    |t[1]t[4]-t[2]t[3]|=1
    を満たしているとする。
    このとき、x,yをa,bを用いて表せ。
    
    この問題の解き方を教えて下さい。
    よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49077 / ResNo.1)  Re[1]: 自然数の方程式
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2019/03/24(Sun) 15:05:54)
    aとbの最大公約数をgとしてa=Ag,b=Bgとする。AとBは互いに素。
    as[1]=xt[1], bs[2]=xt[2]から
    Ags[1]=xt[1], Bgs[2]=xt[2]であり
    条件からt[1]とt[2]は互いに素なので、xはgで割り切れる。
    x=zgとおくと、yはxの倍数なのでy=kzgとおける。
    as[1]=xt[1], as[3]=yt[3]から
    Ags[1]=zgt[1], Ags[3]=kzgt[3]すなわち
    As[1]=zt[1], As[3]=kzt[3]
    条件からs[1]とs[3]は互いに素なので、Aはzで割り切れる。
    同様に
    bs[2]=xt[2], bs[4]=yt[4]から
    Bgs[2]=zgt[2], Bgs[4]=kzgt[4]すなわち
    Bs[2]=zt[2], Bs[4]=kzt[4]
    条件からs[2]とs[4]は互いに素なので、Bはzで割り切れる。
    AとBは互いに素なので、z=1。従ってx=gすなわちxはaとbの最大公約数。

    第1式×第4式-第2式×第3式から
    ab(s[1]s[4]-s[2]s[3])=xy(t[1]t[4]-t[2]t[3])
    a,b,x,yは正なので ab=xy
    となるから、y=ab/g=(aとbの最小公倍数)

    従って答えは
    xはaとbの最大公約数
    yはaとbの最小公倍数

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49082 / ResNo.2)  Re[2]: 自然数の方程式
□投稿者/ だんすぱーちー 一般人(2回)-(2019/03/25(Mon) 01:48:41)
    とてもよく分かりました
    ありがとうございました

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49067 / 親記事)  単調増加数列
□投稿者/ むさし 一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 12:29:23)
    a[1]=1、a[2]=3、a[n+2]=4a[n+1]-a[n] (n≧1)
    で定まる数列a[n]に対し
    b[n]=a[n+1]/a[n]
    とすると、b[n]が単調増加であることを示すには
    どうすればいいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49068 / ResNo.1)  Re[1]: 単調増加数列
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 13:30:08)
    b[n]=a[n+1]/a[n]
    =(4a[n]-a[n-1])/a[n]
    =4-a[n-1]/a[n]
    =4-1/b[n-1]
    b[1]=3<2+√3
    b[n-1]<2+√3のとき
    1/b[n-1]>1/(2+√3)=2-√3
    -1/b[n-1]<-2+√3
    4-1/b[n-1]<2+√3
    ∴b[n]<2+√3
    となるのですべてのnに対しb[n]<2+√3
    また条件から明らかにa[n+1]>a[n]なのでb[n]>1
    よってすべてのnに対して
    1<b[n]<2+√3
    -1<b[n]-2<√3
    (b[n]-2)^2<3
    ∴3-(b[n]-2)^2>0
    となるので、
    b[n]-b[n-1]
    =4-1/b[n-1]-b[n-1]
    ={3-(b[n-1]-2)^2}/b[n-1]
    >0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49074 / ResNo.2)  Re[2]: 単調増加数列
□投稿者/ むさし 一般人(2回)-(2019/03/24(Sun) 05:56:47)
    有り難うございます
    意外と考えるところがあって難しいです
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49051 / 親記事)  数学について。
□投稿者/ コルム 付き人(70回)-(2019/03/21(Thu) 04:15:22)
    次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。お願い致します。
847×355 => 250×104

IMG_20190320_181758_688.JPG
/51KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■49055 / ResNo.1)  Re[1]: 数学について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(58回)-(2019/03/21(Thu) 22:01:25)
    43.直線L:4x+3y=8と円C:x^2+y^2-2x-4y+4=0がある.
    (1)
    C:(x-1)^2+(y-2)^2=1
    中心(1,2)
    半径1

    (2)
    直線Lと円Cの交点を(x,y)とすると
    L:
    4x+3y=8
    ↓両辺から4xを引くと
    3y=8-4x
    ↓両辺を3で割ると
    y=(8-4x)/3…(2.1)

    C:
    x^2+y^2-2x-4y+4=0
    ↓これに(2.1)を代入すると
    x^2+{(8-4x)/3}^2-2x-4{(8-4x)/3}+4=0
    ↓両辺に9をかけると
    9x^2+(8-4x)^2-18x-12(8-4x)+36=0
    9x^2+64-64x+16x^2-18x-96+48x+36=0
    25x^2-34x+4=0
    この2次方程式の2つの解をx1,x2とすると解と係数の関係から
    x1+x2=34/25
    x1*x2=4/25
    x1,x2に対応するy座標をy1,y2とすると(2.1)から
    y1=(8-4x1)/3
    y2=(8-4x2)/3
    y1-y2=4(x2-x1)/3
    2つの交点(x1,y1)と(x2,y2)の距離sは
    s
    =√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}
    ↓y1-y2=4(x2-x1)/3だから
    =√{(x1-x2)^2+{4(x2-x1)/3}^2}
    =√{(x1-x2)^2+16(x2-x1)^2/9}
    =√[25{(x1-x2)^2}/9]
    =√[25{(x1+x2)^2-4x1*x2}/9]
    ↓x1+x2=34/25
    ↓x1*x2=4/25
    ↓だから
    =√[25{(34/25)^2-4*4/25}/9]
    =2√[{(17^2/25)-4}/9]
    =2√{(289-100)/25/9}
    =2(√21)/5
    ∴LがCによって切り取られてでいる線分{(x1,y1)-(x2,y2)}の長さは
    (2√21)/5

    44.
    (a,b)を円x^2+y^2=3上の点とする
    (x,y)を点(a,b)での接線上の点とする
    接線ベクトル(x-a,y-b)と
    法線ベクトル(a,b)は垂直だから
    その内積は0になるから
    ((a,b),(x-a,y-b))=a(x-a)+b(y-b)=0
    ax+by-a^2-b^2=0
    ↓a^2+b^2=3だから接線は
    ax+by-3=0
    ax+by=3…(3.1)
    ↓点(1,√3)を通るから
    a+b√3=3
    ↓両辺からb√3を引くと
    a=3-b√3
    ↓これをa^2+b^2=3に代入すると
    (3-b√3)^2+b^2=3
    4b^2-6b√3+9=3
    ↓両辺から3を引くと
    4b^2-6b√3+6=0
    ↓両辺を2で割ると
    2b^2-3b√3+3=0
    (b-√3)(2b-√3)=0
    b=√3.又は,b=√3/2
    b=√3の時
    a=0
    y=√3
    b=√3/2の時
    a=3/2
    3x/2+y√3/2=3
    3x+y√3=6
    y=(2-x)√3

    ∴接線の方程式は
    y=√3

    y=(2-x)√3
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49046 / 親記事)  平面図形について。
□投稿者/ コルム 付き人(66回)-(2019/03/18(Mon) 08:11:27)
    次の問題の、39,40,41がわかりません。教えていただけると幸いです。
845×500 => 250×147

IMG_20190317_193110_959.JPG
/68KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49047 / ResNo.1)  Re[1]: 平面図形について。
□投稿者/ コルム 付き人(67回)-(2019/03/18(Mon) 08:12:26)
    すみません。こっちでした。
905×555 => 250×153

IMG_20190317_193005_135.JPG
/86KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49050 / ResNo.2)  Re[2]: 平面図形について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(57回)-(2019/03/20(Wed) 10:15:24)
    39.
    点Oを中心とする半径1の円Cと点Pがあり,
    |OP|=2とする.
    Oとの距離が1/2でPを通る直線Lを1本引き,
    それとCの交点のうちPに近い方をQとする.
    Oから直線Lへの垂直点をSとすると
    ∠OSQ=90°だから
    △OQSは直角3角形だから3平方の定理から
    |OS|^2+|SQ|^2=|OQ|^2
    ↓両辺から|OS|^2を引くと
    |SQ|^2=|OQ|^2-|OS|^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |SQ|=√(|OQ|^2-|OS|^2)
    ↓|OQ|=1,|OS|=1/2だから
    |SQ|=√(1^2-1/2^2)
    |SQ|=√(1-1/4)
    |SQ|=(√3)/2…(1)

    ∠OSP=90°だから
    △OPSは直角3角形だから3平方の定理から
    |OS|^2+|SP|^2=|OP|^2
    ↓両辺から|OS|^2を引くと
    |SP|^2=|OP|^2-|OS|^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |SP|=√(|OP|^2-|OS|^2)
    ↓|OP|=2,|OS|=1/2だから
    |SP|=√(2^2-1/2^2)
    |SP|=√(4-1/4)
    |SP|=(√15)/2
    ↓これから(1)を引くと
    ↓|PQ|=|SP|-|SQ|
    ↓だから
    |PQ|=(√15-√3)/2

    40.
    中心間距離が7で,半径が5,3√2の2つの球面S1,S2がある.
    2>1
    ↓両辺を1/2乗すると
    √2>1
    ↓両辺に3をかけると
    3√2>3
    ↓両辺に5を加えると
    5+3√2>8>7

    S1,S2は交わる
    その交わりの円Mの半径をr
    MとS1の中心間距離をa
    S1の中心をA
    S2の中心をB
    Mの中心をO
    M周上の点をP
    とすると
    ∠AOP=90°だから
    △AOPは直角三角形だから3平方の定理から
    |OP|^2+|AO|^2=|AP|^2
    ↓|OP|=r,|AO|=a,|AP|=5だから
    r^2+a^2=5^2
    r^2+a^2=25
    ↓両辺からr^2を引くと
    a^2=25-r^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    a=√(25-r^2)

    ∠BOP=90°だから
    △BOPは直角三角形だから3平方の定理から
    |BP|^2=|BO|^2+|OP|^2
    ↓|BP|=2√3,|BO|=7-a,|OP|=rだから
    2*3^2=(7-a)^2+r^2
    18=(7-a)^2+r^2
    ↓両辺からr^2を引くと
    18-r^2=(7-a)^2
    18-r^2=49-14a+a^2
    ↓a^2=25-r^2だから
    18-r^2=49-14a+25-r^2
    ↓両辺にr^2+14a-18を加えると
    14a=56
    ↓両辺を14で割ると
    a=4
    ↓これをr^2+a^2=25に代入すると
    r^2+16=25
    ↓両辺から16を引くと
    r^2=9
    ↓両辺を1/2乗すると
    ∴交わりの円の半径は
    r=3

    41.
    4面体ABCDにおいて,
    |AB|=|AC|=|AD|
    の時,
    頂点AからBCDに下した垂線と面BCDの交点をHとすると
    ∠AHB=90°だから
    △AHBは直角三角形だから
    |AH|^2+|BH|^2=|AB|^2
    ↓両辺から|AH|^2を引くと
    |BH|^2=|AB|^2-|AH|^2

    ∠AHC=90°だから
    △AHCは直角三角形だから
    |AH|^2+|CH|^2=|AC|^2
    ↓両辺から|AH|^2を引くと
    |CH|^2=|AC|^2-|AH|^2
    ↓|AB|=|AC|だから
    |CH|^2=|AB|^2-|AH|^2
    ↓|BH|^2=|AB|^2-|AH|^2だから
    |BH|^2=|CH|^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |BH|=|CH|

    ∠AHD=90°だから
    △AHDは直角三角形だから
    |AH|^2+|DH|^2=|AD|^2
    ↓両辺から|AH|^2を引くと
    |DH|^2=|AD|^2-|AH|^2
    ↓|AB|=|AD|だから
    |DH|^2=|AB|^2-|AH|^2
    ↓|BH|^2=|AB|^2-|AH|^2だから
    |BH|^2=|DH|^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |BH|=|DH|
    ↓|BH|=|CH|だから
    |BH|=|CH|=|DH|
    だからHは外接円の中心だから
    Hは△BCDの外心
    である
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49048 / 親記事)  平面図形について。
□投稿者/ コルム 付き人(68回)-(2019/03/18(Mon) 08:13:35)
    次の、37,38がわかりません。教えていただけると幸いです。
845×500 => 250×147

1552864415.jpg
/68KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■49049 / ResNo.1)  Re[1]: 平面図形について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(56回)-(2019/03/19(Tue) 21:39:04)
    37.
    Pは辺ABを3:1に内分する点だから
    ↑AP=(3/4)↑AB
    Qは辺BCの中点だから
    ↑AQ=(1/2)↑AB+(1/2)↑AC
    Rは線分CPとAQの交点だから
    RはAQ上の点だから
    ↑AR=x↑AQ…(1.1)
    となる実数xがある
    ↓↑AQ=(1/2)↑AB+(1/2)↑ACだから
    ↑AR=x{(1/2)↑AB+(1/2)↑AC}
    ↑AR=(x/2)↑AB+(x/2)↑AC…(1.2)

    RはCP上の点だから
    ↑AR=(1-y)↑AC+y↑AP…(1.3)
    となる実数yがある
    ↓↑AP=(3/4)↑ABだから
    ↑AR=(1-y)↑AC+y(3/4)↑AB
    ↑AR=(1-y)↑AC+(3y/4)↑AB
    ↑AR=(3y/4)↑AB+(1-y)↑AC

    ↓これと(1.2)から
    (x/2)↑AB+(x/2)↑AC=(3y/4)↑AB+(1-y)↑AC
    ↑AB,↑ACは1次独立だから
    ↑ABの係数が等しいから
    x/2=3y/4…(1.4)
    ↑ACの係数が等しいから
    x/2=1-y
    ↓これと(1.4)から
    3y/4=1-y
    ↓両辺に4をかけると
    3y=4-4y
    ↓両辺に4yを加えると
    7y=4
    ↓両辺を7で割ると
    y=4/7…(1.5)
    ↓これを(1.4)に代入すると
    x/2=3/7
    ↓両辺に2をかけると
    x=6/7
    ↓これを(1.1)に代入すると
    ↑AR=(6/7)↑AQ
    ↓↑AQ=↑AR+↑RQだから
    ↑AR=(6/7)(↑AR+↑RQ)
    ↓両辺に7をかけると
    7↑AR=6(↑AR+↑RQ)
    7↑AR=6↑AR+6↑RQ
    ↓両辺から6|AR|を引くと
    ↑AR=6↑RQ

    |AR|:|RQ|=6:1…(1)の答え

    (1.5)y=4/7を(1.3)に代入すると
    ↑AR=(1-4/7)↑AC+(4/7)↑AP
    ↑AR=(3/7)↑AC+(4/7)↑AP
    だから
    Rは線分PCを3:4に内分する点だから

    |PR|:|RC|=3:4…(2)の答え

    38.
    △ABCにおいて,|AB|=12
    ∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとする

    Eは辺ABを5:4に内分する点だから
    ↑AE=(5/9)↑AB…(3.1)
    |AE|=5*12/9=20/3
    Fは辺ACを1:6に内分する点だから
    ↑AF=(1/7)↑AC…(3.2)

    線分AD,CE,BFが1点Gで交わるから
    GはCE上の点だから
    ↑AG=(1-x)↑AC+x↑AE
    となる実数xがある
    ↓これに(3.1)を代入すると
    ↑AG=(1-x)↑AC+x(5/9)↑AB
    ↑AG=(1-x)↑AC+(5x/9)↑AB…(3.3)

    GはBF上の点だから
    ↑AG=(1-y)↑AB+y↑AF
    となる実数yがある
    ↓これに(3.2)を代入すると
    ↑AG=(1-y)↑AB+y(1/7)↑AC
    ↑AG=(1-y)↑AB+(y/7)↑AC
    ↓これと(3.3)から
    (1-y)↑AB+(y/7)↑AC=(1-x)↑AC+(5x/9)↑AB
    ↑AB,↑ACは1次独立だから

    ↑ABの係数が等しいから
    1-y=5x/9…(3.4)

    ↑ACの係数が等しいから
    y/7=1-x
    ↓両辺に7をかけると
    y=7-7x
    ↓これを(3.4)に代入すると
    1-(7-7x)=5x/9
    7x-6=5x/9
    ↓両辺に9をかけると
    63x-54=5x
    ↓両辺に54-5xを加えると
    58x=54
    ↓両辺を58で割ると
    x=27/29
    ↓これを(3.3)に代入すると
    ↑AG=(2/29)↑AC+(15/29)↑AB
    ↑AG=(15/29)↑AB+(2/29)↑AC
    ここで
    ↑AH=(15/29)↑AB
    ↑AK=(2/29)↑AC
    とすると
    ↑AG=↑AH+↑AK
    だから
    □AHGKは平行四辺形で
    AGは∠HAK=∠BACの2等分線だから
    ∠GAH=∠GAKだから
    □AHGKは菱形となるから
    (2/29)|AC|=|AK|=|AH|=(15/29)|AB|
    (2/29)|AC|=(15/29)|AB|
    ↓両辺に29/2をかけると
    |AC|=(15/2)|AB|
    ↓|AB|=12だから
    |AC|=15*12/2
    |AC|=15*6

    |AC|=90
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