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■52431 / 親記事)  囲まれた面積
□投稿者/ あけお 一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:13:00)
    60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
    x=4
    x=0
    で囲まれた部分の面積と4はどちらが大きいのですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52433 / ResNo.1)  Re[1]: 囲まれた面積
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2024/01/01(Mon) 11:05:39)
    4の方が大きいです。
    60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
    はy=1/2に関して対称であり、y≧1/2の部分の式はyについて解いて
    y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    よってこれとy=1/2とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が2より小さいことを示せばよい。
    y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    をx=2に関して対称に移動すると(xを4-xに置き換えて整理)
    y={30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    なので
    y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    +{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が4より小さいことを示せばよい。
    y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    +{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
    を整理すると
    y=1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30 … (1)
    (x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≧0(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    なので
    225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≦225(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    √{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦15(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦450(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦900(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    √{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}≦30(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    √{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦1(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦2(等号はx=0,1,2,3,4のとき)
    よって(1)はx=0,1,2,3,4のときy=2、0<x<4かつx≠1,2,3のとき1<y<2
    なので、この曲線とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積は4より小さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52435 / ResNo.2)  Re[2]: 囲まれた面積
□投稿者/ あけお 一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 17:53:51)
    ありがとうございます!!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52416 / 親記事)  複素数
□投稿者/ はんなり 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 17:21:29)
    α=e^(2πi/11)とし、複素数平面上の点A[k](α^k)(k=0,1,2,3,4,5)を考える。
    直線A[0]A[k](k=1,2,3,4,5)と原点O(0)の距離をd[k]とするとき、
    d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]を求めよ。

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52419 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/12/29(Fri) 20:07:45)
    2023/12/29(Fri) 20:23:31 編集(投稿者)

    条件から
    d[k]=|(1+α^k)/2|
    ∴例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
    d[k]^2={(1+α^k)/2}{1+\(α^k)}/2
    =(1/4){1+α^k+\(α^k)+|α^k|^2}
    =(1/4){2+α^k+\(α^k)}
    更にθ=2π/11と置くと
    d[k]^2=(1/4)(2+2coskθ)
    ={cos(kθ/2)}^2
    ここでk=1,2,3,4,5より
    kθ/2<π/2
    ∴d[k]=cos(kθ/2)
    となるので
    e^(iθ/2)=β
    と置くと
    β^11=-1
    d[k]=(β^k+1/β^k)/2
    よって
    d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]=Σ[k=1〜5]{(β^k+1/β^k)/2}(-1)^(k-1)
    =(1/2)Σ[k=1〜5]{β(-β)^(k-1)+(1/β)(-1/β)^(k-1)}
    =(1/2){β{1-(-β)^5}/(1+β)+(1/β){1-(-1/β)^5}/(1+1/β)}
    =(1/2){β(1+β^5)/(1+β)+(1/β^5)(1+β^5)/(1+β)}
    =(1/2)(1+β^5)(β+1/β^5)/(1+β)
    =(1/2)(1+β^5)(1+β^6)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(1+β^5+β^6+β^11)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(1+β^5+β^6-1)/{(1+β)β^5}
    =(1/2)(β^5+β^6)/{(1+β)β^5}
    =1/2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52434 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ はんなり 一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 14:13:55)
    ありがとうございました!
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52424 / 親記事)  微分可能な点を求める問題
□投稿者/ むぎ 一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 17:11:19)
    この問題の解法を教えていただきたいです。微分可能かの問題です
2075×790 => 250×95

S__137854992_0.jpg
/142KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52430 / ResNo.1)  Re[1]: 微分可能な点を求める問題
□投稿者/ WIZ 一般人(16回)-(2023/12/31(Sun) 00:44:44)
    Qは有理数体、Rは実数体と解釈して回答します。
    バックスラッシュは環境依存文字らしいので、差集合はR-Qと表記します。

    関数f(x)の定義は
    x ∈ Qならば、f(x) = (x-2)^2
    x ∈ R-Qならば、f(x) = 0
    となります。

    微分可能である点は連続でなければなりません。

    x = aでf(x)が連続であるためには、
    ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|f(x)-f(a)| < ε)
    が成立しなければなりません。

    しかし、a ∈ Qかつa ≠ 2で、f(a) = (a-2)^2 > εとなるεに対して、
    x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(a)| = |f(a)| ≧ εとなり、
    x ≠ 2でf(x)は連続ではなく微分可能でもないと言えます。

    a = 2のときは、x ∈ R-Qのときはεとδの値に関わらず、
    |f(x)-f(a)| = 0 < εとなります。
    x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = (x-2)^2 = |x-2|^2 < εとする為に、
    δ < √εと取れば良いです。
    よって、x = 2でf(x)は連続と言えます。

    微分可能性は、x = aでf'(a)が存在すると仮定すると、
    ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)| < ε)
    が成立しなければなりません。

    a = 2の場合、f'(2)が存在すると仮定すると、
    f'(2) = lim[h→0]{(f(2+h)-f(2))/h}
    h ∈ Qならば、lim[h→0]{(h^2)/h} = 0
    h ∈ R-Qならば、lim[h→0]{0/h} = 0
    となり、f'(2) = 0であることが必要です。

    f'(2) = 0と仮定します。
    x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(2)| = 0ですので、
    |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = 0 < εが成り立ちます。
    x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = |x-2|^2より、
    |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = |x-2| < εより、δ < εと取れば良いです。
    よって、x = 2でf(x)は微分可能と言えます。

    # トマエ関数で検索すると参考になる情報が見られます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52327 / 親記事)  初等数学によるフェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ きつね 一般人(1回)-(2023/09/21(Thu) 19:47:05)
    nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
    x^n+y^n=z^nをy^n=(x+m)^n-x^n…(1)と変形する。yは整数,mは有理数とする。
    2^n=(t+1)^n-t^nのtが有理数のとき、右辺は偶数とならない。よって、tは無理数。
    (1)は(2^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(2)となる。k=(y/2)^n,uは無理数。
    u=L^n-{(t+1)^n}k,u=M^n-(t^n)kのとき、(2)はy^n=L^n-M^nとなる。L,Mは有理数。
    y^n=L^n-M^nが成立するならば、2^n=(L^n)/k-(M^n)/kも成立する。
    2^n=(t+1)^n-t^nのtは無理数なので、2^n=(L^n)/k-(M^n)/kは成立しない。
    ∴nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■52328 / ResNo.1)  Re[1]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 西船橋ときめき学園 一般人(1回)-(2023/09/21(Thu) 23:08:06)
    この掲示板がまた荒れるかもしれないので

    https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1694331704/l50

    でやってくれ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52349 / ResNo.2)  Re[2]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ きつね 一般人(2回)-(2023/10/08(Sun) 10:24:21)
    nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
    x^n+y^n=z^nをy^n=(x+m)^n-x^n…(1)と変形する。yは整数,x,mは有理数と仮定する。
    2^n=(t+1)^n-t^n…(2)はtが有理数のとき、成立しない。
    (1)は(2^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(3)となる。k=(y/2)^n,uは実数。
    u-u=0なので、(2^n)k={(t+1)^n}k-(t^n)k…(4)を考える。
    (4)はtが有理数のとき、成立しないので、(3),(1)も成立しない。
    ∴nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52350 / ResNo.3)  Re[3]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ 西船橋ときめき学園 一般人(2回)-(2023/10/09(Mon) 19:31:55)
     漫才ネタは

    https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696303085/l50

    でやれ。
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■52411 / ResNo.4)  Re[4]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ きつね 一般人(1回)-(2023/12/16(Sat) 21:37:56)
    n>2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
    x^n+y^n=z^nを変形してy^n=(x+m)^n-x^n…(1)とする。y,mは整数とする。
    3^n=(t+1)^n-t^n…(2)はtが有理数のとき成立しない。
    (1)は(3^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(3)となる。k=(y/3)^n,uは無理数。
    (2)が成立しないので、(3^n)k={(t+1)^n}k-(t^n)k及び(3)も成立しない。
    ∴n>2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52429 / ResNo.5)  Re[5]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明
□投稿者/ きつね 一般人(2回)-(2023/12/30(Sat) 20:24:18)
    n>2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
    x^n+y^n=z^nを変形してy^n=(x+m)^n-x^n…(1)とする。y,mは整数とする。
    3^n=(t+1)^n-t^n…(1')は有理数解を持たない。
    (1)は(3^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(2)となる。k=(y/3)^n,uは無理数。
    (3^n)k={(t+1)^n}k-(t^n)kは有理数解を持たないので(2)も有理数解を持たない。
    ∴n>2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52426 / 親記事)  極限の問題 2改
□投稿者/ むぎ 一般人(7回)-(2023/12/30(Sat) 17:22:40)
    この問題の解法を教えていただきたいです。極限の問題です
2144×764 => 250×89

1703924560.jpg
/195KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52428 / ResNo.1)  Re[1]: 極限の問題 2改
□投稿者/ X 一般人(6回)-(2023/12/30(Sat) 18:08:45)
    2023/12/30(Sat) 18:11:16 編集(投稿者)

    1/x=tと置くと
    (与式)=lim[t→∞]t/e^t
    ここで
    f(t)=e^t-{1+t+(1/2)t^2}
    と置くと
    f'(t)=e^t-1-t
    f"(t)=e^t-1
    ∴t≧0において
    f"(t)≧0ゆえf'(t)は単調増加
    ∴f'(t)≧f(0)=0
    ∴f(t)も単調増加となり
    f(t)≧f(0)=0
    ∴e^t≧1+t+(1/2)t^2
    となるので
    0<t/e^t≦t/{1+t+(1/2)t^2}=1/(1/t+1+t/2)
    よってはさみうちの原理により
    (与式)=0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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