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■50129 / 親記事)  三角形と内接円について改
□投稿者/ 寝屋川のムウマ 一般人(3回)-(2019/10/27(Sun) 07:31:42)
    まず、三角形ABCがあります。底辺がBCです。内接円があって接点はそれぞれd、b、aとなります。ちなみに内接点の接点は辺ABにd、辺ACにb、辺BCにaがあります。頂点Aちょうど真下に点Mがあるとすると直角三角形ABMと三角形MBCの出来上がりです。辺ABと辺ACの勾配はそれぞれ20%、30%です。
    まず、円弧dbの長さはどのようにして求めなければいけないですか。後勾配は角度変換しなければならないですか。
905×535 => 250×147

1572129102.png
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■50132 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形と内接円について改
□投稿者/ らすかる 付き人(50回)-(2019/10/27(Sun) 15:37:29)
    ttp://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=62042
    ↑こちらで回答しました。
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■50125 / 親記事)  三角形と内接円について。
□投稿者/ 寝屋川のムウマ 一般人(1回)-(2019/10/27(Sun) 05:51:02)
    三角形と内接円についてです。三角形の辺AdとAb、内接円のbdの長さについて求めたいです。どのような結果になりますか。ちなみにAdは勾配は30‰、Abの勾配は20‰です。Mは直角です。
905×535 => 250×147

1572123062.png
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■50126 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形と内接円について。
□投稿者/ 寝屋川のムウマ 一般人(2回)-(2019/10/27(Sun) 06:28:15)
    No50125に返信(寝屋川のムウマさんの記事)
    > 三角形と内接円についてです。三角形の辺AdとAb、内接円のbdの長さについて求めたいです。どのような結果になりますか。ちです。三角形ABMと三角形BCMは直角三角形です。それぞれ斜辺が20‰、30‰となっています。
905×535 => 250×147

1572125295.png
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■50117 / 親記事)  増減表の作り方
□投稿者/ 画宇巣 一般人(3回)-(2019/10/24(Thu) 23:18:43)
     高校数学+α程度の微積分を大急ぎで復習しています。とりあえず計算になれるために微分はグラフの書き方から始めています。まったく忘れているわけではないので、グラフを描くのに必要な知識はそのたびに前のページに戻って確認しています。
      y = (x-1)/(x^2+1)
    のブラフを書けと言われたら
      y' = { (x^2+1) - (x-1)2x }/(x^2+1)^2
        = (-x^2+2x+1)/(x^2+1)^2
      y' = 0 を解くと x = 1±√2
     ここで増減表を作成する必要に迫られますが、私の持っている数Vの参考書は最もやさしいレベルなのですが、計算過程を示さず、いきなり増減表を書いています。
     で、質問なのですが y' の向きを調べるには
      x < 1-√2, 1-√2 < x < 1+√2, x > 1+√2
    を満たす具体的な数値(計算が楽な数値を選ぶ)
      x = -1, x = 1, x = 3
    を y'(この例ではy'の分子)に放り込んで判断するという手順でよいのですよね?

     あと、グラフを描くのに二階導関数で変曲点を求める方法がありますが、これを求めないとグラフを描くのが難しい関数の例を教えていただけたら幸いです。グラフが上に凸、下に凸ということを調べるだけなら一導関数だけでいいような気がしますけど。
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■50119 / ResNo.2)  Re[2]: 増減表の作り方
□投稿者/ 画宇巣 一般人(4回)-(2019/10/25(Fri) 09:19:14)
     回答ありがとうございます。いろいろ忘れているので大変助かります。
     

    > 一階導関数では「上に凸」や「下に凸」はわかりません。
    > 単に増減がわかるだけです。

     これなんですが、関数f(x)がx=aにおいてf'(a)=0でありx=aの前後で符号が変わるとき、
    たとえば
      ( x<a⇒f'(a)>0 かつ x>a⇒f'(a)<0 ) ⇒ f(x)は上に凸
    と判断してはまずい理由を教えてください。

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■50121 / ResNo.3)  Re[3]: 増減表の作り方
□投稿者/ らすかる 一般人(43回)-(2019/10/25(Fri) 09:59:37)
    「( x<a⇒f'(a)>0 かつ x>a⇒f'(a)<0 ) ⇒ f(x)は上に凸」は
    「( x<a⇒f'(x)>0 かつ x>a⇒f'(x)<0 ) ⇒ f(x)は上に凸」の
    書き間違いだと思いますが、例えば
    f(x)=1/(x^2+1)はf'(x)=-2x/(x^2+1)^2から
    f'(0)=0、x<0⇒f'(x)>0かつx>0⇒f'(x)<0
    を満たしますが「f(x)は上に凸」ではありません。
    もしグラフソフトをお持ちなら描いてみて下さい。

    また、例えばf(x)=e^xはf'(a)=0となるようなaが存在しませんので
    その論理は使えずどちらに凸かわかりません。

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■50122 / ResNo.4)  Re[4]: 増減表の作り方
□投稿者/ 画宇巣 一般人(5回)-(2019/10/25(Fri) 10:43:12)
     丁寧な回答、誠にありがとうございます。
     教科書の読み込み不足もあるかと思いますが、やはりよくわかりません。
     上に凸なグラフとは、ある点で極大値をとるような部分がある関数のことではないのでしょうか?
      f(x)=1/(x^2+1)
    は x=0 で極大値をとるので「上に凸なグラフ」のように思えるのですが。

802×487 => 250×151

1571967792.png
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■50123 / ResNo.5)  Re[5]: 増減表の作り方
□投稿者/ らすかる 一般人(44回)-(2019/10/25(Fri) 12:18:36)
    2019/10/25(Fri) 13:07:04 編集(投稿者)

    全然違います。
    「ある点で極大値をとるような部分がある関数」だとすると、
    例えばy=x^3-3xのようなグラフも「上に凸な関数」になってしまって
    正しくありませんし、y=1/(x^2+1)も「上に凸な関数」ではありません。
    またy=logxも「上に凸な関数」ですが、極大値はとりませんので
    極大値があるかどうかとは関係ありません。

    上に凸な関数とは、
    グラフ上の任意の異なる2点の中点がグラフよりも下にあるような関数
    (広義ではグラフの線上を含み、狭義では線上を含まない)
    です。
    感覚的に言うと、xが小さい方から大きい方に向かってグラフの線上を
    進むとき、「常に右カーブしているようなグラフ」です。
    上に例を挙げたf(x)=1/(x^2+1)は、x=0付近(-1/√3<x<1/√3の範囲)では
    これに該当しますので「x=0付近では上に凸」とは言えますが、
    他の部分で「下に凸」ですから「上に凸な関数」ではありません。

    上に凸な関数は、微分可能ならば
    「二階微分が常に負(広義では0を含み、狭義でも単独な点での0は含む)」
    となりますので、二階微分で判別できます。

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■50124 / ResNo.6)  Re[6]: 増減表の作り方
□投稿者/ 画宇巣 一般人(6回)-(2019/10/25(Fri) 13:25:16)
    > 上に凸な関数とは、
    > グラフ上の任意の異なる2点の中点がグラフよりも下にあるような関数
    > (広義ではグラフの線上を含み、狭義では線上を含まない)
    > です。

     いやぁ、知らなかった、知らなかった、知らなかった!!!

      y=logxが上に凸な関数
    であるとは思ってみたこともなく
      y=x^3-3x
    は上に凸、下に凸がそれぞれ1カ所ある関数だと思っていました(笑)。

     丁寧な解説まことにありがとうございました。深く深く感謝いたします。

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■50106 / 親記事)  4次関数
□投稿者/ 製薬希望 一般人(1回)-(2019/10/20(Sun) 12:41:56)
    xy平面上の4次関数 y=f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d が、
    x=α, β (α<β) で極小になり、 x=γ で極大になるとする。
    さらに3つの極値におけるf(x)の接線が等間隔に並ぶものとする。
    このとき (β-α)/(γ-α) の値を求めよ。

    という問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50109 / ResNo.1)  Re[1]: 4次関数
□投稿者/ らすかる 一般人(38回)-(2019/10/21(Mon) 05:55:07)
    まずf(α)>f(β)である場合を考える。
    f(x)を平行移動しても(β-α)/(γ-α)の値は変わらないので
    α=0,f(α)=0となるように平行移動し、その結果を
    g(x)=(x^2)(x-p)(x-q) (0=α<γ<p<β<q)
    とおく。
    このときα=0なのでβ/γを求めればよい。
    g'(x)=4x^3-3(p+q)x^2+2pqxだが今後p+qとpqは頻出なのでu=p+q,v=pqとおく。
    g'(x)=4x^3-3ux^2+2vx
    g'(x)=0の3解はx=0,{3u±√(9u^2-32v)}/8なので
    β={3u+√(9u^2-32v)}/8, γ={3u-√(9u^2-32v)}/8となる。
    3接線が等間隔という条件からg(β)+g(γ)=0
    g(x)=x^4-ux^3+vx^2なので
    g(β)+g(γ)=β^4+γ^4-u(β^3+γ^3)+v(β^2+γ^2)=0 … (1)
    β,γはg'(x)=0の解なので
    4β^3=3uβ^2-2vβ, 4γ^3=3uγ^2-2vγ
    これを使って(1)の次数下げを行い、さらに
    β+γ=3u/4, βγ=v/2 とそれから得られる
    β^2+γ^2=(3u/4)^2-vを代入して整理すると
    27u^4-144u^2v+128v^2=0
    これより16v=3(3±√3)u^2
    (p+q)^2≧4pqから16v≦4u^2なので
    適解は16v=3(3-√3)u^2
    よって
    β={3u+√(9u^2-32v)}/8
    ={3u+√(9u^2-6(3-√3)u^2)}/8
    ={3+√(6√3-9)}u/8
    γ={3u-√(9u^2-32v)}/8
    ={3-√(6√3-9)}u/8
    従ってβ/γ={3+√(6√3-9)}/{3-√(6√3-9)}
    ={1+√3+√(2√3)}/2
    f(α)<f(β)の場合は左右反転すればよいので
    1+1/{(β/γ)-1}
    ={1+√(3+2√3)}/2

    以上により、(β-α)/(γ-α)の値は
    f(α)<f(β)<f(γ)のとき {1+√(3+2√3)}/2
    f(β)<f(α)<f(γ)のとき {1+√3+√(2√3)}/2


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■50114 / ResNo.2)  Re[2]: 4次関数
□投稿者/ らすかる 一般人(40回)-(2019/10/22(Tue) 01:14:36)
    実例
    例えばf(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+dにおいて
    a=-4√√(15√√108+27√√12)/3, b=(√3-1)√(5√√108+9√√12), c=d=0
    すなわち
    f(x)=x^4-(4√√(15√√108+27√√12)/3)x^3+((√3-1)√(5√√108+9√√12))x^2
    のとき
    f'(x)=4x^3-(4√√(15√√108+27√√12))x^2+2((√3-1)√(5√√108+9√√12))x
    となりf'(x)=0の解は小さい順に
    α=0
    γ={3-√(6√3-9)}√√(15√√108+27√√12)/6
    β={3+√(6√3-9)}√√(15√√108+27√√12)/6
    このとき
    f(α)=0, f(γ)=1, f(β)=-1なので接線は等間隔となり
    (β-α)/(γ-α)={1+√3+√(2√3)}/2
    となります。
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■50116 / ResNo.3)  Re[3]: 4次関数
□投稿者/ 製薬希望 一般人(2回)-(2019/10/23(Wed) 14:44:06)
    とてもよく分かりました。意外と計算が大変で驚きました。
    紹介していただいた実例自体が面白い問題になりそうです。
    このたびは教えていただき有り難うございました。
解決済み!
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■50105 / 親記事)  約数を mod 13 で見る
□投稿者/ 狭い庭 一般人(1回)-(2019/10/20(Sun) 10:36:49)
    nは自然数でdはn^4+n^3+2n^2-4n+3の正の約数とします。
    このときd≡k^4 (mod 13)となる整数kが存在することの証明を
    教えて下さい。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■50107 / ResNo.1)  Re[1]: 約数を mod 13 で見る
□投稿者/ らすかる 一般人(36回)-(2019/10/21(Mon) 03:32:51)
    n^4+n^3+2n^2-4n+3=(n-3)^4+13(n^3-4n^2+8n-6)なので
    与式の値自体(=最大の約数)が≡k^4(mod13)となることは
    すぐにわかるんですが、その約数となると難しいですね。
    この問題の出典はどちらですか?

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