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□投稿者/ 闇メラ 一般人(1回)-(2019/10/19(Sat) 20:05:31)
 | 2019/10/19(Sat) 21:49:22 編集(投稿者)
成り立つかどうか分かりませんが教えて頂きたいです。
aとbは自然数とするとき、a^2-7ab+b^2=1ならばaまたはbは7で割り切れると言えるでしょうか。
言えるのなら証明を、言えないなら反例(できれば全ての反例を網羅するアルゴリズムなども)を教えてください。
よろしくお願いいたします。
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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
| ■50104 / ResNo.1) |
Re[1]: 自作問題
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□投稿者/ らすかる 一般人(35回)-(2019/10/19(Sat) 21:17:05)
| はい、言えます。
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| ■50108 / ResNo.2) |
Re[1]: 自作問題
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□投稿者/ らすかる 一般人(37回)-(2019/10/21(Mon) 03:39:00)
| a^2-7ab+b^2=1をaについて解くとa=(7b±√(45b^2+4))/2
ペル方程式 45b^2+4=k^2の解bは
a[0]=0, a[1]=1, a[n]=7a[n-1]-a[n-2]
と表されるのでb≡-1,0,1 (mod7)
b≡±1(mod7)のときb^2≡1(mod7)なので45b^2+4≡0(mod7)
従ってbが7の倍数でない場合、√(45b^2+4)が整数ならば
7の倍数となり、aが7の倍数になります。
参考サイト ttp://oeis.org/A004187
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| ■50110 / ResNo.3) |
Re[1]: 自作問題
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□投稿者/ 闇メラ 一般人(2回)-(2019/10/21(Mon) 16:42:13)
| らすかる様、解説ありがとうございました。
b≡-1,0,1(mod7)であることが示せるのですね。
ペル方程式についてはこれから勉強してみようと思います。
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三角形と円の関係について(0)
