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■49953 / 親記事) 　sinの関係
□投稿者/ アマンダ 一般人(1回)-(2019/08/22(Thu) 18:23:31)
    △ABCに対して
    sin((π-A)/4) * sin((π-B)/4) * sin((π-C)/4) ≧ sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2)
    が成り立つことの証明を教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49956 / ResNo.1) 　Re[1]: sinの関係
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2019/08/22(Thu) 19:33:44)
    0＜x＜π,0＜y＜πに対して
    {sin(x-y)}^2≧0　（-π＜x-y＜πなので等号成立条件はx=y）
    (sinxcosy-cosxsiny)^2≧0
    (sinxcosy)^2+(cosxsiny)^2-2sinxcosxsinycosy≧0
    (sinxcosy)^2+(cosxsiny)^2+2sinxcosxsinycosy≧4sinxcosxsinycosy
    (sinxcosy+cosxsiny)^2≧4sinxcosxsinycosy
    ∴{sin(x+y)}^2≧(sin2x)(sin2y)
    (x,y)=(A/4,B/4)とすると {sin((A+B)/4)}^2≧sin(A/2)sin(B/2)
    (x,y)=(B/4,C/4)とすると {sin((B+C)/4)}^2≧sin(B/2)sin(C/2)
    (x,y)=(C/4,A/4)とすると {sin((C+A)/4)}^2≧sin(C/2)sin(A/2)
    3式とも両辺正なので辺々掛けて
    {sin((A+B)/4)sin((B+C)/4)sin((C+A)/4)}^2≧{sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^2
    sinの値は全て正なので
    sin((A+B)/4)sin((B+C)/4)sin((C+A)/4)≧sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
    A+B+C=πなので
    sin((π-A)/4)sin((π-B)/4)sin((π-C)/4)≧sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
    なお、等号成立条件はA/4=B/4=C/4すなわち△ABCが正三角形の場合。
    (証明終)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49960 / ResNo.2) 　Re[2]: sinの関係
□投稿者/ アマンダ 一般人(2回)-(2019/08/22(Thu) 21:48:17)
    こりゃエレガントですね。
    ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■49947 / 親記事) 　2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ おーうぇん 一般人(1回)-(2019/08/21(Wed) 19:39:45)
    ω=(-1+i√3)/2とします。ω^3=1です。
    以下の条件をみたす有理数a[1]〜a[6]、b[1]〜b[6]は存在しますか？
    √3={a[1]+a[2]2^(1/3)+a[3]4^(1/3)+a[4]ω+a[5]2^(1/3)ω+a[6]4^(1/3)ω}/{b[1]+b[2]2^(1/3)+b[3]4^(1/3)+b[4]ω+b[5]2^(1/3)ω+b[6]4^(1/3)ω}
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■49948 / ResNo.1) 　Re[1]: 2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2019/08/21(Wed) 23:24:08)
    存在しません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49949 / ResNo.2) 　Re[2]: 2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ おーうぇん 一般人(2回)-(2019/08/21(Wed) 23:40:18)
    なぜでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49950 / ResNo.3) 　Re[3]: 2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2019/08/21(Wed) 23:41:54)
    2019/08/21(Wed) 23:50:51 編集(投稿者)

    条件を満たす有理数が存在した場合、a[1]〜a[6],b[1]〜b[6]全ての分母の
    最小公倍数をa[1]〜a[6],b[1]〜b[6]全てに掛けると
    係数が全て整数になるので、条件を満たす「互いに素な整数」
    a[1]〜a[6],b[1]〜b[6]が存在しないことを言えば十分。
    よってそのように仮定する。
    分母を払って
    a[1]+a[2]2^(1/3)+a[3]4^(1/3)+a[4]ω+a[5]2^(1/3)ω+a[6]4^(1/3)ω
    ={b[1]+b[2]2^(1/3)+b[3]4^(1/3)+b[4]ω+b[5]2^(1/3)ω+b[6]4^(1/3)ω}√3
    式が長いのでa[1]〜a[6]をa,b,c,d,e,f、b[1]〜b[6]をg,h,j,k,l,m、
    2^(1/3)をtに置き換えると（すなわち4^(1/3)=t^2）、
    a+bt+ct^2+ωd+ωet+ωft^2=(g+ht+jt^2+ωk+ωlt+ωmt^2)√3
    ωが掛かっている項とそうでない項を分けて
    a+bt+ct^2-(g+ht+jt^2)√3=ω{(k+lt+mt^2)√3-(d+et+ft^2)}
    右辺だけωが掛かっているため(左辺)=(右辺)=0でなければならない。すなわち
    a+bt+ct^2-(g+ht+jt^2)√3=0 … (1)
    かつ
    (k+lt+mt^2)√3-(d+et+ft^2)=0 … (2)
    (1)から
    a+bt+ct^2=(g+ht+jt^2)√3
    t^3=2であることに注意して両辺を2乗すると
    (a^2+4bc)+2(c^2+ab)t+(b^2+2ac)t^2=3{(g^2+4hj)+2(j^2+gh)t+(h^2+2gj)t^2}
    tについて整理して
    {a^2+4bc-3(g^2+4hj)}+2{c^2+ab-3(j^2+gh)}t+{b^2+2ac-3(h^2+2gj)}t^2=0
    補題から
    a^2+4bc-3(g^2+4hj)=0 … (3)
    c^2+ab-3(j^2+gh)=0 … (4)
    b^2+2ac-3(h^2+2gj)=0 … (5)
    (3)をmod4で考えるとa,gは偶数でなければならない。
    a,gが偶数なので、(5)をmod4で考えるとb,hも偶数でなければならない。
    a,b,g,hが偶数なので、(4)をmod4で考えるとc,jも偶数でなければならない。
    従ってa,b,c,g,h,jは全て偶数。
    全く同様に、(2)からd,e,f,k,l,mも全て偶数となり、仮定と矛盾。

    補題
    p,q,rが有理数でp+qt+rt^2=0…(a)（t=2^(1/3)）のときp=q=r=0
    補題の証明
    pqr≠0と仮定して(a)をtの二次方程式とみてtについて解くと
    t={-q±√(q^2-4pr)}/(2r)
    となるが、左辺は三次の無理数、右辺は虚数または二次の無理数または有理数となり矛盾。
    従ってpqr=0なので、(簡単なので途中省略)p=q=r=0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49951 / ResNo.4) 　Re[4]: 2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ おーうぇん 一般人(3回)-(2019/08/22(Thu) 06:52:32)
    じっくりと読ませていただきました。
    要領よく計算するだけでなく4で割った余りを見るなど大変面白く勉強になりました。
    有り難うございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■49938 / 親記事) 　 supreme コート
□投稿者/ gdags 一般人(1回)-(2019/08/14(Wed) 11:43:38)
    本物と見分けがつかない本物と見分けがつかないwww.ochrance.cz/en/reports/case-law/
    。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]


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■49776 / 親記事) 　フェルマーの最終定理の簡単な証明7
□投稿者/ 日高 大御所(286回)-(2019/07/21(Sun) 06:55:06)
    7/21どなたかご指摘いただけないでしょうか。
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引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス101件(ResNo.97-101 表示)]
■49890 / ResNo.97) 　Re[38]: フェルマーの最終定理の簡単な証明7
□投稿者/ 月 一般人(12回)-(2019/08/07(Wed) 21:38:03)
    > すみません。理解できないので、詳しく教えていただけないでしょうか。

    p = 3 のとき，
    x^3 + y^3 = (x + 3^(1/2))^3 から
    x^3 + y^3 = x^3 + 3*3^(1/2)x^2 + 3*3x + 3*3^(1/2),
    (3*3x - y^3) + (x^2 + 1)3*3^(1/2) = 0
    よって 3*3x = y^3, x^2 = -1 です。
引用返信/返信 [メール受信/ON]
■49891 / ResNo.98) 　Re[39]: フェルマーの最終定理の簡単な証明7
□投稿者/ 日高 大御所(340回)-(2019/08/08(Thu) 07:53:59)
    ■No49890に返信(月さんの記事)
    >>すみません。理解できないので、詳しく教えていただけないでしょうか。
    >
    > p = 3 のとき，
    > x^3 + y^3 = (x + 3^(1/2))^3 から
    > x^3 + y^3 = x^3 + 3*3^(1/2)x^2 + 3*3x + 3*3^(1/2),
    > (3*3x - y^3) + (x^2 + 1)3*3^(1/2) = 0
    > よって 3*3x = y^3, x^2 = -1 です。

    (3*3x - y^3)=0, (x^2 + 1)=0とすると、x^2 = -1となりますが、
    (3*3x - y^3)=-10, (x^2 + 1)3*3^(1/2)=+10の場合も有ります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49892 / ResNo.99) 　Re[40]: フェルマーの最終定理の簡単な証明7
□投稿者/ 悶える亜素粉 一般人(28回)-(2019/08/08(Thu) 10:01:27)
    　この屑のような話題はこのスレで打ち止めにすること。

    　絶対に次スレを立てないこと！！！！！！！！！！！
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49893 / ResNo.100) 　Re[41]: フェルマーの最終定理の簡単な証明7
□投稿者/ 日高 大御所(341回)-(2019/08/08(Thu) 10:48:46)
    ■No49892に返信(悶える亜素粉さんの記事)
    > 　この屑のような話題はこのスレで打ち止めにすること。
    >
    > 　絶対に次スレを立てないこと！！！！！！！！！！！

    どの部分が「屑のような話題」かを、教えていただけないでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49894 / ResNo.101) 　Re[1]: フェルマーの最終定理の簡単な証明7
□投稿者/ 呆れ顔 一般人(6回)-(2019/08/09(Fri) 21:44:35)
    2019/08/09(Fri) 21:54:19 編集(投稿者)

    もはや答える必要はない．
    このスレ主には中学・高校程度の最低限の自然な数理的な推論能力が備わっていない．
    「教える」という行為はコーチングとティーチングに大別されるが，どちらも無駄になる．

    今までの無駄なやり取りを見ればわかるように，無駄な質問を繰り返すだけのレス数乞食だ．
    こういう輩を放置すると，コミュニティの快適性が損なわれるだけだから早い段階で無視するべき．

    損益分岐の判断基準は，
    1：「質問内容にふさわしいだけの知識と論証能力のどちらも欠落している」←コーチング不能
    2：「足りていない知識とスキルを説明しても理解する様子もなく，自分で調べる努力すらしない」←ティーチング不能
    3：「論理的根拠もなく，正当性を示すだけの能力もないのに自説には信念がある」←妄想

    これらの条件を満たしているなら他の質問者への回答にリソースを回すほうが建設的．
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■49871 / 親記事) 　目的の形への行列の三角化
□投稿者/ 鬼ちゃん 一般人(1回)-(2019/08/03(Sat) 18:44:03)
    3×3正方行列Aが
    A=[1, -1,1
    1, 0, -1
    -1, 0, 3]
    のように与えられているときに、A=P-1JPとなるような正則行列Pと三角行列J
    J=[a, 0, 0
    0, b, 1
    0, 0, b]
    があります。ここで、実数a,bの値とAを三角化するPを求めたいのですが、Aの固有値1, 2(1は重複度2)に対する固有ベクトルp1=(2, 1, 1)^t, p2=(1, 0, 1)^tを求め、この二つのベクトルと独立なベクトルp3を求めてP=[p1, p2, p3]として検算を行いましたが、P-1APは目標としていたような三角行列Jにならず困っています。p3の定め方によってPは変わり、またp1, p2, p3をPのどの列とするかによってもPは変わってしまうため、三角化の結果も変わってしまうと思うのですが、どのようにして解けばいいのでしょうか？
    よろしくお願いします。
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引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49873 / ResNo.1) 　Re[1]: 目的の形への行列の三角化
□投稿者/ nakaiti 付き人(66回)-(2019/08/03(Sat) 23:21:50)
    まず固有値 1 が重複度 2 で固有値 2 が重複度 1 ということなので a=2,b=1 となることがわかります。正則行列 P を行ベクトルを使って P=(p1,p2,p3)^t と表すと A=P^{-1}JP の両辺に左から P をかけて
    (p1A,p2A,p3A)^t=PA=JP=(2p1,p2+p3,p3)
    を得ます。これを比べれば p1,p3 がそれぞれ固有値 2,1 に対する固有ベクトルであり、p2 は
    p2A=p2+p3
    を満たすベクトルであることがわかります。これらの関係式をもとに行列 P を求めればいいというのが基本的な考え方です。

    ただ、この p1,p2,p3 の求め方はすでに方法論があるのでそれも紹介しておきます。
    p1 は固有ベクトルなので求め方はわかると思います。
    一方、p2 に関する式を変形すると
    p2(A-E)=p3≠0
    となり p3 は固有値 1 に関する固有ベクトルなので
    p3(A-E)=0
    を満たします。つまり p2 は
    p2(A-E)^2=0 かつ p2(A-E)≠0
    となるものなので (A-E)^2 の核から (A-E) の核を除いたところから取ってきたベクトルを p2 とすればよく、このとき p3 は p3=p2(A-E) で定めればよいことがわかります。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49885 / ResNo.2) 　Re[2]: 目的の形への行列の三角化
□投稿者/ 鬼ちゃん 一般人(3回)-(2019/08/06(Tue) 13:02:25)
    なるほど、理解できました！
    丁寧にご説明して頂きありがとうございます！
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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