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■47517 / 親記事)  曲線の長さ?
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2015/10/12(Mon) 11:44:43)
    ご教授下さい。
    直交座標平面において、放物線(の一部)
     x^(1/2)+y^(1/2)=1
    の曲線の長さを求めたいのですが、どうすればよろしいのでしょうか?
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47526 / ResNo.1)  Re[1]: 曲線の長さ?
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2015/11/01(Sun) 19:36:06)
    2015/11/01(Sun) 19:38:05 編集(投稿者)

    原点中心でπ/4の回転移動により
    問題の曲線上の点(x,y)が点(X,Y)に
    移動したとすると、回転移動の
    行列を使うことにより
    x=X/√2+Y/√2
    y=-X/√2+Y/√2
    これを問題の曲線の方程式に代入して
    √(X/√2+Y/√2)+√(-X/√2+Y/√2)=1
    これより
    -X/√2+Y/√2={1-√(X/√2+Y/√2)}^2
    -X/√2+Y/√2=1-2√(X/√2+Y/√2)+(X/√2+Y/√2)
    0=1-2√(X/√2+Y/√2)+X√2
    2√(X/√2+Y/√2)=1+X√2
    4(X/√2+Y/√2)=(1+X√2)^2
    2X√2+2Y√2=1+2X√2+2X^2
    2Y√2=1+2X^2
    Y=(1/√2)X^2+1/(2√2)
    よって上記の回転移動により、問題の曲線は
    放物線
    y=(1/√2)x^2+1/(2√2) (A)
    (-1/√2≦x≦1/√2)
    に移ります。
    (A)より
    y'=x√2
    よって求める曲線の長さは
    ∫[-1/√2→1/√2]√{1+(x√2)^2}dx
    =2∫[0→1/√2]√(1+2x^2)dx
    =…
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47486 / 親記事)  場合の数
□投稿者/ 失礼します 一般人(1回)-(2015/09/05(Sat) 05:06:48)
    簡単な質問で申し訳ないです
    検索しましたところこちらの掲示板にたどり着きました

    6人で総当たり1回戦を行う場合
    起こりうるすべての勝敗が知りたいのですが

    5勝0敗 4勝1敗 4勝1敗 3勝2敗
    4勝1敗 4勝1敗 3勝2敗 3勝2敗
    3勝2敗 3勝2敗 3勝2敗 3勝2敗
    2勝3敗 2勝3敗 2勝3敗 2勝3敗
    1勝4敗 1勝4敗 2勝3敗 2勝3敗
    0勝5敗 1勝4敗 1勝4敗 2勝3敗

    以上ですべてでしょうか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■47487 / ResNo.1)  Re[1]: 場合の数
□投稿者/ らすかる 大御所(372回)-(2015/09/05(Sat) 05:59:30)
    6人の総当たりならば
    (5勝0敗,4勝1敗,3勝2敗,2勝3敗,1勝4敗,0勝5敗)
    (5勝0敗,4勝1敗,3勝2敗,1勝4敗,1勝4敗,1勝4敗)
    (5勝0敗,4勝1敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗,0勝5敗)
    (5勝0敗,4勝1敗,2勝3敗,2勝3敗,1勝4敗,1勝4敗)
    (5勝0敗,3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,1勝4敗,0勝5敗)
    (5勝0敗,3勝2敗,3勝2敗,2勝3敗,2勝3敗,0勝5敗)
    (5勝0敗,3勝2敗,3勝2敗,2勝3敗,1勝4敗,1勝4敗)
    (5勝0敗,3勝2敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗,1勝4敗)
    (5勝0敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗)
    (4勝1敗,4勝1敗,4勝1敗,2勝3敗,1勝4敗,0勝5敗)
    (4勝1敗,4勝1敗,4勝1敗,1勝4敗,1勝4敗,1勝4敗)
    (4勝1敗,4勝1敗,3勝2敗,3勝2敗,1勝4敗,0勝5敗)
    (4勝1敗,4勝1敗,3勝2敗,2勝3敗,2勝3敗,0勝5敗)
    (4勝1敗,4勝1敗,3勝2敗,2勝3敗,1勝4敗,1勝4敗)
    (4勝1敗,4勝1敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗,1勝4敗)
    (4勝1敗,3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,2勝3敗,0勝5敗)
    (4勝1敗,3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,1勝4敗,1勝4敗)
    (4勝1敗,3勝2敗,3勝2敗,2勝3敗,2勝3敗,1勝4敗)
    (4勝1敗,3勝2敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗)
    (3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,0勝5敗)
    (3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,2勝3敗,1勝4敗)
    (3勝2敗,3勝2敗,3勝2敗,2勝3敗,2勝3敗,2勝3敗)
    の22通りになると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47488 / ResNo.2)  Re[2]: 場合の数
□投稿者/ 失礼します 一般人(2回)-(2015/09/05(Sat) 06:58:17)
    おはずかしい;;

    そんなにあるんですね!

    らすかるさん
    明確な回答 ありがとうございました!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47523 / ResNo.3)  Re[3]: 場合の数
□投稿者/ ぽいふる 一般人(1回)-(2015/10/20(Tue) 23:12:04)
    AチームとBチームが野球の試合を行い、先に4勝したほうが勝ちということにした。ただし、引き分けはなしとする。

    Aチームが4勝2敗で優勝するための勝敗の組み合わせは全部で何通りあるか。

    答えの解説で6試合目が必ずA チームが勝つとなっていたのですがなぜですか?
    教えてください!おねがいします
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47524 / ResNo.4)  Re[4]: 場合の数
□投稿者/ IT 一般人(3回)-(2015/10/20(Tue) 23:29:45)
    2015/10/20(Tue) 23:32:27 編集(投稿者)

    6試合目にB チームが勝ったとすると 5試合目まででAチームが4勝して優勝が決定し、6試合目はしないから矛盾します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47521 / 親記事)  不等式と積分
□投稿者/ tihiro 一般人(1回)-(2015/10/15(Thu) 17:37:29)
    「数列{a_n},{b_n}を
      a_n=(-1)^n ∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx (n=1,2,3,・・・)
    b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,2,3・・・)
    と定めるとき次の問いに答えよ。ただし、対数は自然対数である。」という問題です。

    (1)a_1=log2-1を示せ。(これはできました。)
    (2)b_n=(-1)^{n+1}/(n+1)を示せ。(これはできました。)
    (3)a_n=log2-Σ[k:1〜n](-1)^{k+1}/k (n=2,3,・・・)
    を示せ。(これはできました)
    (4)x≧0のとき1/(1+x)≦1であることを用いて、
        |a_n|≦1/(n+1)を示せ。

    この(4)の解答で、
       1/(1+x)≦1であるので、両辺にx^n(≧0)をかけて
          
      
            x^n/(1+n)≦x^n ・・・@
    となる。また、0≦x≦1において、x^n/(1+n)≧0であるから、

        ∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx≧0

      よって、|a_n|=∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx≦∫[x:0〜1]x^n dx=1/(n+1)

    となっています。@の式から∫をつけた後、確か学校では、等号は常に成り立たない場合、等号が外れると習った気がするのですが、どうして今回は等号がついたままなのですか。ちなみにこの問題は、2015山形大の3番の問題です。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■47522 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式と積分
□投稿者/ IT 一般人(2回)-(2015/10/15(Thu) 18:31:33)
    > どうして今回は等号がついたままなのですか
    等号がついたままで間違いがなく、元の命題が正しいことを示すには、それで足りるからだと思います。
    (等号を外すためには、断り書きが必要)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47513 / 親記事)  コラッツの予想
□投稿者/ 成清 愼 一般人(4回)-(2015/10/08(Thu) 23:58:22)
http:// http://koubeichizoku.doujin.so/collatz/collatz2.htm
    コラッツの予想について考えてみました。よろしくご査収の上ご批評賜れば幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■47515 / ResNo.1)  Re[1]: コラッツの予想
□投稿者/ 成清 愼 一般人(5回)-(2015/10/10(Sat) 23:30:32)
http://koubeichizoku.doujin.so/collatz/collatz2.htm
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47519 / ResNo.2)  Re[2]: コラッツの予想
□投稿者/ 成清 愼 一般人(7回)-(2015/10/12(Mon) 21:13:17)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■46889 / 親記事)  角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(12回)-(2015/02/24(Tue) 08:30:57)
    2015/02/24(Tue) 11:46:59 編集(投稿者)
    2015/02/24(Tue) 11:46:40 編集(投稿者)

    (既出だったらごめんなさい)

    角谷・コラッツ予想の数列の挙動を調べていたところ、
    次のような興味深い性質を見つけました。

    以下で、角谷数列を

    例)n=9⇒28→14→7⇒22→11⇒34→17⇒52→26→13
    ⇒40→20→10→5⇒16→8→4→2→1

    のように表記するものとします。
    ここで、
    ⇒は左辺が奇数なので3倍して1を足す操作、
    →は左辺が偶数なので2で割る操作とします。

    この時、系列に現れる⇒の個数をf(n)と表示することにすると、
    次の性質が成り立つように見受けられます。

    f(1・2^(2n-1)-1)=f(1・2^(2n )-1) (n≧2)
    f(3・2^(2n )-1)=f(3・2^(2n+1)-1) (以下、n≧1)
    f(5・2^(2n-1)-1)=f(5・2^(2n )-1)
    f(7・2^(2n )-1)=f(7・2^(2n+1)-1)
    f(9・2^(2n-1)-1)=f(9・2^(2n )-1)
    ...

    例)
    f(7)=f(15)
    f(31)=f(63)
    ...
    f(11)=f(23)
    f(47)=f(95)
    ...
    f(9)=f(19)
    f(39)=f(79)
    ...
    f(27)=f(55)
    f(111)=f(223)
    ...
    f(17)=f(35)
    f(71)=f(143)
    ...

    これらは証明可能でしょうか?
    数列(掲載省略)を見たところ、→と⇒の配置の同型
    という箇所がありそうに思えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■46900 / ResNo.3)  Re[3]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ みずき 一般人(44回)-(2015/02/27(Fri) 18:41:13)
    No46897に返信(CEGIPOさんの記事)

    > →{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
    > →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]
    > (もっと簡単に示す方法もありますか?)

    あります。以下、合同式の法を4とします。

    [A1]について:3^(2n-1)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n-1)・(-3)-1≡3-1≡2
    [B1]について:3^(2n)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n)・(-3)-1≡-3-1≡0

    > ↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します
    (略)
    > ということでよいでしょうか?

    良いと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■46902 / ResNo.4)  Re[4]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(15回)-(2015/02/28(Sat) 06:36:29)
    なる程、よくわかりました。ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47497 / ResNo.5)  Re[5]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(1回)-(2015/09/11(Fri) 05:22:54)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47510 / ResNo.6)  Re[6]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(2回)-(2015/10/07(Wed) 18:27:29)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■47518 / ResNo.7)  Re[7]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(6回)-(2015/10/12(Mon) 21:11:39)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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