数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 33]

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■45411 / 親記事)

　n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2013/07/06(Sat) 11:00:53)

有理数全体の集合が可算である事を知る為に,n番目の有理数を求める公式を探しています(自分でもトライしてみたのですが,
1,1/2,[2/2],1/3,2/3,[3/3],1/4,[2/4],3/4,[4/4],….
約分できる分数をカウントしないようにするのはどうすればいいのか分りません。

どなたか
n番目の有理数を求める公式が載ってるサイトをご存知でしたらお教え下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス24件(ResNo.20-24 表示)]

■45557 / ResNo.20)

　n番目の有理数の式

□投稿者/ とんからり一般人(1回)-(2013/10/15(Tue) 10:51:17)

検索でたどり着きました。これで意図にあうかはわかりませんが、n番目の有理数の式は

f(n)
=
0 (n=1 の時)
1 (n=2 の時)
-1 (n=3 の時)
((-1)^n)*Πp(i)^(((-1)^e(i))*[(e(i)+1)/2])
(n>3 で、
[n/2]=Πp(i)^e(i)
と素因数分解される時)

と与えることができます。大きい自然数には素因数分解があるので実用的ではないというネックはありますが。

この逆関数 g:Q→N は、

g(x)
=
1 (x=0 の時)
2 (x=1 の時)
3 (x=-1 の時)
2x^2 (x=2,3,4,… の時)
2x^2+1 (x=-2,-3,-4,… の時)
2Πp(i)^(-1+2e(i))
(x=1/(Πp(i)^e(i))の時)
1+2Πp(i)^(-1+2e(i))
(x =-1/(Πp(i)^e(i))の時)
2(Πp(i)^(-1+2e(i)))(Πq(j)^(2h(j)))
(x=(Πq(j)^h(j))/(Πp(i)^e(i))の時)
1+2(Πp(i)^(-1+2e(i)))(Πq(j)^(2h(j)))
(x=-(Πq(j)^h(j))/(Πp(i)^e(i))の時)

です。よって与えられた有理数が何番目かも計算で求められます。

なお、n番目の素数を+-*√Σを使って明示的にnの式で表すこともできます。

(携帯)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■45607 / ResNo.21)

　Re[2]: n番目の有理数の式

□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2013/11/03(Sun) 07:07:40)

> なお、n番目の素数を+-*√Σを使って明示的にnの式で表すこともできます。

大変有難うございます。ちょっと検証してみたいと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■45779 / ResNo.22)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ honma 一般人(1回)-(2014/03/23(Sun) 19:03:03)

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fraction/fraction.htm
の一番下に書いておきました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■45780 / ResNo.23)

　Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2014/03/24(Mon) 05:42:59)

honma先生有難うございます。
ちょっと参考にさせていただきたいと思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■46342 / ResNo.24)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ JT 一般人(1回)-(2014/07/14(Mon) 08:13:22)

$2$f(x)=\dfrac1{1+2[x]-x}$ とするとき，n番目の有理数は $2$f^n(0)$ です。ここで $2$[x]$ はガウスの記号，実数 $2$x$ の整数部分を表します。また $2$f^n$ は $2$f$ を $2$n$ 回繰り返す演算です。例えば $2$n=2,3,4$ のときは $2$f^2(0)=f(f(0)),f^3(0)=f(f(f(0))),f^4(0)=f(f(f(f(0))))$ です。これについて詳しいことは，数学セミナー2013年12月号，pp.54--57「有理数をカウントする数式」を参照するとよいでしょう。

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■47607 / 親記事)

　有理点

□投稿者/ 掛け流し一般人(1回)-(2016/03/23(Wed) 14:26:34)

次の問題について、ご教授下さい。
「座標平面において、円x~2+y~2=3 上には有理点が存在しない。」
を示せ。」
単位円であれば、有理点は無数に存在することは、よく知られていますが、････。
よろしくお願いします。

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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]

■47608 / ResNo.1)

　Re[1]: 有理点

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2016/03/23(Wed) 18:06:02)

もし有理点(x,y)=(p/q,r/s)（p,q,r,sは自然数）が存在したとすると
(ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2
となりますが、3(qs)^2は二個の平方数の和で表されるための必要十分条件
「4k+3型の素因数の指数が全て偶数」を満たしませんので
二個の平方数の和では表せず、従って
(ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2 を満たす自然数は存在しませんので
x^2+y^2=3を満たす有理点も存在しません。

二個の平方数の和で表されるための必要十分条件についての証明が必要でしたら
例えば↓ここらへんをご覧下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47609 / ResNo.2)

　Re[2]: 有理点

□投稿者/ 掛け流し一般人(2回)-(2016/03/23(Wed) 21:58:35)

らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47615 / ResNo.3)

　Re[2]: 有理点

□投稿者/ コピー一般人(3回)-(2016/04/02(Sat) 21:46:01)

■No47608に返信(らすかるさんの記事)
> もし有理点(x,y)=(p/q,r/s)（p,q,r,sは自然数）が存在したとすると
> (ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2
> となりますが、3(qs)^2は二個の平方数の和で表されるための必要十分条件
> 「4k+3型の素因数の指数が全て偶数」を満たしませんので
> 二個の平方数の和では表せず、従って
> (ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2 を満たす自然数は存在しませんので
> x^2+y^2=3を満たす有理点も存在しません。
>
> 二個の平方数の和で表されるための必要十分条件についての証明が必要でしたら
> 例えば↓ここらへんをご覧下さい。
> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C
> コピー http://www.poo111.com/

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47617 / ResNo.4)

　Re[3]: 有理点

□投稿者/ GFF 一般人(1回)-(2016/04/04(Mon) 13:06:24)
http://www.kopitokeitop.com/

らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47820 / ResNo.5)

　Re[3]: 有理点

□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2016/11/17(Thu) 02:42:44)
http://www.kyoto-burand.com/

■No47609に返信(掛け流しさんの記事)
> らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
> 「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
> ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■47817 / 親記事)

　教えてください

□投稿者/ R_GIRL 一般人(1回)-(2016/11/12(Sat) 17:17:25)

直線y=√3xとおき、l上の点Ａ(3,3√3)をとる。点Ａでlと接し、x軸とも接する円のうち第一象限にあるものをCとする。Cとx軸との接点をTとおく。

(1)Tの座標は(あ、い)であり
円Cの方程式は(x^2-う)^2+(y-え√お)^2=(か√き)^2

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■47818 / ResNo.1)

　Re[1]: 教えてください

□投稿者/ らすかる一般人(10回)-(2016/11/12(Sat) 17:48:45)

条件から、円の中心はlとx軸の二等分線上にあり、
△OAC≡△OTCですからOT=OA=√{3^2+(3√3)^2}=6となりTの座標は(6,0)です。
lとx軸のなす角は60°ですから、二等分線がx軸となす角は30°であり、
二等分線はy=x/√3となりますのでCの座標は(6,2√3)です。
従って円の方程式は(x-6)^2+(y-2√3)^2=(2√3)^2となります。

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■47816 / 親記事)

　数列

□投稿者/ なっちゃん一般人(1回)-(2016/11/12(Sat) 15:24:54)

画像の問題がわかりません
教えて下さいm(*_ _)m

4718592×4292935806 => 0×250

IMG_0487.PNG/99KB

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■45707 / 親記事)

　角度

□投稿者/ さっちゃん一般人(1回)-(2014/02/04(Tue) 14:43:08)

x軸上の正の部分に点Aをとり、y軸上の正の部分に点Bをとり、z軸上の正の部分に点Cをとる。∠ACBは90°より小さくなることを説明する問題なんですが、∠AOBより小さくなるからではだめだそうで、やり方がよくわからないです。お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■45708 / ResNo.1)

　Re[1]: 角度

□投稿者/ らすかる一般人(22回)-(2014/02/04(Tue) 19:56:48)

「∠AOBより小さくなるから」だけではダメでしょうね。
少なくとも「∠AOBより小さくなる」理由を説明しなければいけません。
学年がわかりませんので方法が適切かどうかはわかりませんが、例えば
三平方の定理から
AC^2=AO^2+OC^2＞AO^2
BC^2=BO^2+BC^2＞BO^2
なので、余弦定理を使って
cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2・AC・BC)
＞(AO^2+BO^2-AB^2)/(2・AC・BC)＝0　（ここでも三平方の定理を使用）
∴∠ACB＜90°

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■45709 / ResNo.2)

　Re[2]: 角度

□投稿者/ yo 一般人(1回)-(2014/02/05(Wed) 01:32:08)
http://yo.mcutesbbs.com

■No45708に返信(らすかるさんの記事)
> 「∠AOBより小さくなるから」だけではダメでしょうね。
> 少なくとも「∠AOBより小さくなる」理由を説明しなければいけません。
> 学年がわかりませんので方法が適切かどうかはわかりませんが、例えば
> 三平方の定理から
> AC^2=AO^2+OC^2＞AO^2
> BC^2=BO^2+BC^2＞BO^2
> なので、余弦定理を使って
> cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2・AC・BC)
> ＞(AO^2+BO^2-AB^2)/(2・AC・BC)＝0　（ここでも三平方の定理を使用）
> ∴∠ACB＜90°

ありがとうございます

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■47814 / ResNo.3)

　Re[3]: 角度

□投稿者/ tokeitop 一般人(1回)-(2016/11/10(Thu) 02:40:59)

■No45709に返信(yoさんの記事)
> ■No45708に返信(らすかるさんの記事)
>>「∠AOBより小さくなるから」だけではダメでしょうね。
>>少なくとも「∠AOBより小さくなる」理由を説明しなければいけません。
>>学年がわかりませんので方法が適切かどうかはわかりませんが、例えば
>>三平方の定理から
>>AC^2=AO^2+OC^2＞AO^2
>>BC^2=BO^2+BC^2＞BO^2
>>なので、余弦定理を使って
>>cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2・AC・BC)
>>＞(AO^2+BO^2-AB^2)/(2・AC・BC)＝0　（ここでも三平方の定理を使用）
>>∴∠ACB＜90°
>
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