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■48889 / 親記事)  数列
□投稿者/ いらが 一般人(1回)-(2018/11/14(Wed) 11:54:47)
    数列a[n](n=1,2,3,...)を
    a[n]=n!*(Σ[k=n+1,∞]1/k!)
    と定めると、
    a[n]>a[n+1] (n=1,2,3,...)
    であることの証明を
    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48890 / ResNo.1)  Re[1]: 数列
□投稿者/ らすかる 一般人(32回)-(2018/11/14(Wed) 15:49:21)
    a[n]-a[n+1]
    ={n!Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{(n+1)!Σ[k=n+2〜∞]1/k!}
    =n!{{Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{(n+1)Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    =n!{{Σ[k=n+1〜∞]1/k!}-{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}-n{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    =n!{1/(n+1)!-n{Σ[k=n+2〜∞]1/k!}}
    >n!{1/(n+1)!-n{Σ[k=1〜∞]1/{(n+1)!(n+2)^k}}}
    ={n!/(n+1)!}{1-n{Σ[k=1〜∞]1/(n+2)^k}}
    ={1/(n+1)}{1-n/(n+1)}
    ={1/(n+1)}{1/(n+1)}
    =1/(n+1)^2
    >0
    なので
    a[n]>a[n+1]

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48892 / ResNo.2)  Re[2]: 数列
□投稿者/ いらが 一般人(2回)-(2018/11/15(Thu) 10:23:52)
    有り難うございます。
    大変助かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48850 / 親記事)  極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(1回)-(2018/10/01(Mon) 09:52:00)
    x,y,zは0≦x,y,z<2πをみたす実数で、さらに
    数列{cosnx+cosny+cosnz}と{sinnx+sinny+sinnz}が
    n→∞でどちらも収束するという。x,y,zを求めよ。

    教えて下さい。
    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■48878 / ResNo.2)  Re[2]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(2回)-(2018/10/30(Tue) 09:24:52)
    どういうことでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48880 / ResNo.3)  Re[3]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/10/30(Tue) 21:11:25)
    x=0
    y=0
    z=0
    とすると
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=cos(0)+cos(0)+cos(0)=1+1+1=3
    cosnx+cosny+cosnzは3に収束する
    lim_{n→∞}sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)=sin(0)+sin(0)+sin(0)=0+0+0=0
    sinnx+sinny+sinnzは0に収束する

    x=0
    y=0
    z=0


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48882 / ResNo.4)  Re[4]: 極限
□投稿者/ 三角関数 一般人(3回)-(2018/11/01(Thu) 10:23:32)
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)、
    sin(nx)+sin(ny)+sin(nz)
    が収束するならば、
    x=y=z=0である

    ことを示していただけませんか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48883 / ResNo.5)  Re[1]: 極限
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2018/11/01(Thu) 18:15:09)
    x,y,zがどんな値であっても、
    nを適当に定めればcos(nx)+cos(ny)+cos(nz)を
    いくらでも3に近くすることができるから、
    cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)はnによらず3でなければならない。
    よってx=y=z=0。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48887 / ResNo.6)  Re[1]: 極限
□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2018/11/10(Sat) 20:36:41)
    x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の時
    0≦x/(2π)<1
    0≦y/(2π)<1
    0≦z/(2π)<1

    Q=(全有理数)
    Z=(全整数)
    N=(全自然数)
    f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
    lim_{n→∞}f(n)=α
    {x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
    とすると
    x/(2π)=u/a
    y/(2π)=v/b
    z/(2π)=w/c
    {a,b,c}⊂N
    {u,v,w}⊂Z
    となるa,b,c,u,v,wがある
    ax=2uπ
    by=2vπ
    cz=2wπ
    だから
    n∈Nに対して
    k(n)=abcn
    とすると
    lim_{n→∞}f(k(n))
    =lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
    =lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
    =3
    {f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
    部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
    {f(n)}も3に収束しなければならないから
    α=3
    lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

    n∈Nに対して
    m(n)=abcn+1
    とすると
    lim_{n→∞}f(m(n))
    =lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
    =lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
    =lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
    =cos(x)+cos(y)+cos(z)
    ↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
    ↓{f(n))}が3に収束するのだから
    ↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
    =3

    cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
    ↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
    cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
    ↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
    x=y=z=0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48333 / 親記事)  確率について。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2017/08/15(Tue) 00:39:38)
    1から1000まで書かれたカードが1枚ずつあります。
    その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
    とするとき、
    log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log103
    となる確率を求めたいのですが、どこから手をつけてよいのか分かりません。
    教えていただけると幸いです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48881 / ResNo.1)  Re[1]: 確率について。
□投稿者/ muturajcp 一般人(8回)-(2018/10/30(Tue) 21:21:41)
    1から1000まで書かれたカードが1枚ずつある
    その中から無作為に2枚同時に引き、大きい方の数をP、小さいほうの数をQ
    とするとき、
    全場合の数は
    1000C2=1000*999/2=500*999=499500

    1≦Q<P≦1000
    1/1000<1/Q≦1
    1<P/Q≦1000

    log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log_10(3)
    となる時

    1<P/Q<10の時
    [log10(P/Q)]=0
    log10(P/Q)<log_10(3)
    1<P/Q<3
    Q+1≦P≦3Q-1
    Q+1≦P≦1000
    1≦Q≦999

    1≦Q≦333の時,Q+1≦P≦3Q-1,の2Q-1通り
    334≦Q≦999の時,Q+1≦P≦1000,の1000-Q通り
    だから
    Σ_{Q=1〜333}(2Q-1)+Σ_{Q=334〜999}(1000-Q)
    通り

    10≦P/Q<100の時
    [log10(P/Q)]=1
    log10(P/Q)<1+log_10(3)=log_10(10)+log_10(3)=log_10(30)
    10≦P/Q<30
    10Q≦P<30Q
    10Q≦P≦30Q-1
    10Q≦P≦min(30Q-1,1000)
    10Q≦1000
    1≦Q≦100

    1≦Q≦33の時10Q≦P≦30Q-1の20Q通り
    34≦Q≦100の時10Q≦P≦1000の1001-10Q通り
    だから
    Σ_{Q=1〜33}20Q+Σ_{Q=34〜100}(1001-10Q)
    通り

    100≦P/Q<1000の時
    [log10(P/Q)]=2
    log10(P/Q)<2+log_10(3)=log_10(100)+log_10(3)=log_10(300)
    100≦P/Q<300
    100Q≦P<300Q
    100Q≦P≦min(300Q-1,1000)
    100Q≦P≦1000
    1≦Q≦10

    1≦Q≦3の時100Q≦P≦300Q-1の200Q通り
    4≦Q≦10の時100Q≦P≦1000の1001-100Q通り
    だから
    Σ_{Q=1〜3}200Q+Σ_{Q=4〜10}(1001-100Q)
    通り

    P/Q=1000の時
    [log10(P/Q)]=3
    log10(P/Q)<3+log_10(3)=log_10(1000)+log_10(3)=log_10(3000)
    P/Q=1000<3000
    Q=1,P=1000

    1
    通り

    Σ_{Q=1〜333}(2Q-1)+Σ_{Q=334〜999}(1000-Q)
    +Σ_{Q=1〜33}20Q+Σ_{Q=34〜100}(1001-10Q)
    +Σ_{Q=1〜3}200Q+Σ_{Q=4〜10}(1001-100Q)
    +1
    =
    2Σ_{Q=1〜333}Q-333+Σ_{n=1〜666}n
    +20Σ_{Q=1〜33}Q+Σ_{Q=34〜100}{10(101-Q)-9}
    +200Σ_{Q=1〜3}Q+Σ_{Q=4〜10}{100(11-Q)-99}
    +1
    =
    333*334-333+333*667
    +10*33*34-9(100-33)+10Σ_{Q=34〜100}(101-Q)
    +100*3*4-99(10-3)+100Σ_{Q=4〜10}(11-Q)
    +1
    =
    333*333+333*667
    +10*33*34-9*67+10Σ_{n=1〜67}n
    +100*3*4-99*7+100Σ_{n=1〜7}n
    +1
    =
    333(333+667)
    +10*33*34-9*67+10*67*68/2
    +100*3*4-99*7+100*7*8/2
    +1
    =
    333*1000
    +10*33*34-9*67+10*67*34
    +100*3*4-99*7+100*7*4
    +1
    =
    333000
    +340(33+67)-603
    +1200-693+2800
    +1
    =
    333000
    +34000-603
    +4000-693
    +1
    =
    371000-1296+1
    =
    369705
    通り

    log10(P/Q)<[log10(P/Q)]+log10(3)
    となる確率は

    369705/499500
    =
    24647/33300≒0.74
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48354 / 親記事)  ベクトル場の問題
□投稿者/ たなお 一般人(1回)-(2017/09/15(Fri) 13:32:16)
http://https://box.yahoo.co.jp/guest/viewer?sid=box-l-fmwliude5yowkad2xybrogsrcy-1001&uniqid=744a30f1-e6b9-465c-94e3-626b12fb7d54
    ベクトル場の問題で質問があります。

    添付画像の大問10と11を解いてみましたが、証明がこれで正しいのか自信がありません。
    証明方法はこれで合ってますでしょうか。また、より良い解き方があればそれも教えていただければとお思います。(ちなみに大問11について、自分の方法だとBy の第一項が何故マイナスにする必要があるのか分かりません。マイナスになるにはそれ相応の理由があるはずだと思うのですが。。)

    自分でやった計算はURLのリンク先にUPしています。

    よろしくおねがいいたします。
1024×768 => 250×187

1505449936.jpeg
/162KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48874 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル場の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(5回)-(2018/10/27(Sat) 09:29:31)
    10)
    全空間で定義されたベクトル場A=Axi+Ayj+Azkが∇×A=0をとする.
    点P0(x0,y0,z0)を固定し
    φ(x,y,z)=∫_{x0〜x}Ax(x,y,z)dx+∫_{y0〜y}Ay(x0,y,z)dy+∫_{z0〜z}Az(x0,y0,z)dz
    とおけば

    ∇φ
    =(∂φ/∂x,∂φ/∂y,∂φ/∂z)
    =(Ax,Ay,Az)
    =A

    11)
    全空間で定義されたベクトル場A=Axi+Ayj+Azkが∇・A=0を満足しているとする
    点P0(x0,y0,z0)を固定し
    Bx=∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
    By=-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz+∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx
    Bz=0
    とおき,B=Bxi+Byjとすれば
    ∂Bz/∂y-∂By/∂z
    =-∂By/∂z
    =-(∂/∂z){-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz}-(∂/∂z)∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx
    =(∂/∂z)∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz
    =Ax

    ∂Bx/∂z-∂Bz/∂x
    =∂Bx/∂z
    =(∂/∂z)∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
    =Ay

    ∂By/∂x-∂Bx/∂y
    =(∂/∂x){-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz+∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx}-(∂/∂y)∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
    =(∂/∂x){∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx}
    =Az

    だから

    ∇×B
    =(∂Bz/∂y-∂By/∂z,∂Bx/∂z-∂Bz/∂x,∂By/∂x-∂Bx/∂y)
    =(Ax,Ay,Az)
    =A

    By の第一項がプラスの場合は
    ∇×B=(-Ax,Ay,Az)≠A
    となるので
    By の第一項はマイナスでなければ∇×B=Aが成立しません
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48865 / 親記事)  楕円面と直線の交点
□投稿者/ ライカー 一般人(3回)-(2018/10/20(Sat) 12:01:52)
    楕円面の方程式が与えられていて、点P(x1,y1,z1)が、この点を通り方向余弦がλ、μ、νの弦の中点であるための条件は、直線の方程式のパラメータtについての二次方程式の2つの解をt1,t2とするとき、t1+t2=0となるということですが、なぜt1+t2=0となるのか理解できません。

    ご教授をよろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48872 / ResNo.1)  Re[1]: 楕円面と直線の交点
□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2018/10/26(Fri) 16:27:21)
    (x1,y1,z1)を通り方向余弦が(λ,μ,ν)の直線の方程式は
    (x(t),y(t),z(t))=(x1,y1,z1)+t(λ,μ,ν)
    となる
    弦の端点は直線と楕円との交点だから
    この点座標のtを求める2次方程式の2つの解を
    t1,t2とすると
    弦の始点座標は
    (x(t1),y(t1),z(t1))=(x1,y1,z1)+t1(λ,μ,ν)
    弦の終点座標は
    (x(t2),y(t2),z(t2))=(x1,y1,z1)+t2(λ,μ,ν)
    だから
    弦の中点座標は
    ({x(t1)+x(t2)}/2,{y(t1)+y(t2)}/2,{z(t1)+z(t2)}/2)
    =(x1,y1,z1)+{(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)
    ↓(x1,y1,z1)は弦の中点だから
    =(x1,y1,z1)

    (x1,y1,z1)+{(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)=(x1,y1,z1)
    ↓両辺から(x1,y1,z1)を引くと
    {(t1+t2)/2}(λ,μ,ν)=(0,0,0)
    ↓両辺に2をかけると
    (t1+t2)(λ,μ,ν)=(0,0,0)
    (t1+t2)λ=(t1+t2)μ=(t1+t2)ν=0
    (t1+t2)λ^2=(t1+t2)μ^2=(t1+t2)ν^2=0
    (t1+t2)(λ^2+μ^2+ν^2)=0
    ↓λ^2+μ^2+ν^2>0だから両辺をλ^2+μ^2+ν^2で割ると

    t1+t2=0
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