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■48510 / 親記事)  ベクトル
□投稿者/ 受験生 一般人(1回)-(2018/07/29(Sun) 11:20:28)
    模範解答お願いします。
1024×620 => 250×151

85CC4ACC-3386-46AB-B248-5EAF482FA1D3.jpeg
/138KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48517 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ muturajcp 一般人(10回)-(2018/08/18(Sat) 20:32:22)
    四面体OABCがあり,|OA|=|OB|=|OC|=1,∠AOB=π/3,OA⊥BC,OB⊥ACである.
    また,OA=a,OB=b,OC=cとし,
    OD=a+b,OE=b+c,OP=2a,OQ=(3/2)b,
    OR=(6/5)cで定まる5つの点D,E,P,Q,Rをとる.
    (1)
    a・b
    =|a||b|cos∠AOB
    =cosπ/3
    =1/2

    OB⊥ACだから
    b・(c-a)=0
    (b・c)-(a・b)=0
    b・c=a・b=1/2

    OA⊥BCだから
    (c-b)・a=0
    (c・a)-(a・b)=0
    c・a=a・b=1/2

    (2)
    0<s<1,s≠3/4
    線分ADをs:(1-s)に内分する点をX,
    線分CEを(1-s):sに内分する点をYとし,
    0<t<1
    線分XYをt:(1-t)に内分する点をZとする.
    X
    =(1-s)A+sD
    =(1-s)a+s(a+b)
    =(1-s+s)a+sb
    =a+sb

    Y
    =sC+(1-s)E
    =sc+(1-s)(b+c)
    =(1-s+s)c+(1-s)b
    =c+(1-s)b

    OZ
    =(1-t)X+tY
    =(1-t)(a+sb)+t{c+(1-s)b}
    =(1-t)a+(s+t-2st)b+tc

    点Zが平面PQR上にあるとき
    OZ=(1-x-y)P+xQ+yR
    となるx,yがある
    P=2a,Q=(3/2)b,R=(6/5)cだから
    OZ
    =2(1-x-y)a+(3x/2)b+(6y/5)c
    =(1-t)a+(s+t-2st)b+tc
    =(1-t)a+(3x/2)b+tc
    だから
    2(1-x-y)=1-t
    3x/2=s+t-2st
    6y/5=t
    6y=5t
    6x=4(s+t-2st)
    6(1-x-y)=3(1-t)
    6=5t+4(s+t-2st)+3(1-t)
    3=6t+4s-8st
    8st-6t-4s+3=0
    2t(4s-3)-4s+3=0
    (2t-1)(4s-3)=0
    s≠3/4だから4s-3≠0だから
    4s-3で両辺を割ると
    2t-1=0
    2t=1
    t=1/2
    ↓これを6y=5tに代入すると
    6y=5/2
    y=5/12
    ↓これとt=1/2を2(1-x-y)=1-tに代入すると
    7/6-2x=1/2
    2/3=7/6-1/2=2x
    x=1/3
    ↓これとt=1/2をOZ=(1-t)a+(3x/2)b+tcに代入すると

    OZ=(1/2)a+(1/2)b+(1/2)c

    (3)
    点KをOK=ka(kは実数で定まる点とする.
    (2)の点Zが平面PQR上にあるとき,
    直線ZKが平面OBCに垂直となるとき
    ZKとOBは垂直だから
    ZK・OB=0
    =(ka-(a+b+c)/2)・b=0
    =k(a・b)-{(a・b)+|b|^2+(c・b)}/2=0
    ={(2k-1)(a・b)-|b|^2-(c・b)}/2=0
    =
    {(2k-1)/2-1-1/2}/2=0
    2k-1-2-1=0
    2k=4
    k=2

    ZKとOBは垂直だから
    ZK・OC
    =(ka-(a+b+c)/2)・c=0
    =k(a・c)-{(a・c)+(b・c)+|c|^2}/2=0
    ={(2k-1)(a・c)-(b・c)-|c|^2}/2=0
    =
    {(2k-1)/2-1/2-1}/2=0
    2k-1-1-2=0
    2k=4
    k=2
    だから
    k=2
    の時ZKはOBとOCの両方に垂直だから平面OBCに垂直となる
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48361 / 親記事)  極値
□投稿者/ 安室 一般人(2回)-(2017/10/06(Fri) 21:52:56)
    x^2 + 2 x y + 3 y^2 - 2 y - 4 = 0 のとき y の最小値, 最大値を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48516 / ResNo.1)  Re[1]: 極値
□投稿者/ muturajcp 一般人(8回)-(2018/08/17(Fri) 19:49:49)
    x^2+2xy+3y^2-2y-4=0
    3y^2+2(x-1)y+x^2-4=0
    3{y+(x-1)/3}^2-(x-1)^2/3+x^2-4=0
    {y+(x-1)/3}^2=(13-2x-2x^2)/9
    {y+(x-1)/3}^2=3/2-2{(x+1/2)^2}/9
    {y+(x-1)/3}^2=-{2x+1+(3√3)}{2x+1-(3√3)}/18≧0
    {2x+1+(3√3)}{2x+1-(3√3)}≦0
    (-1-3√3)/2≦x≦(-1+3√3)/2
    y={1-x±√(13-2x-2x^2)}/3

    y'
    ={-1±(-1-2x)/√(13-2x-2x^2)}/3
    =[{±(-1-2x)-√(13-2x-2x^2)}/√(13-2x-2x^2)]/3
    =[(6x^2+6x-12)/√(13-2x-2x^2)]/{±(-1-2x)+√(13-2x-2x^2)}/3
    =[2(x+2)(x-1)/√(13-2x-2x^2)]/{±(-1-2x)+√(13-2x-2x^2)}

    y={1-x+√(13-2x-2x^2)}/3の時
    (-1-3√3)/2≦x<-2の時y'>0だからy増加
    x=-2の時最大値y=2
    -2<x≦(-1+3√3)/2の時y'<0だからy減少

    y={1-x-√(13-2x-2x^2)}/3の時
    (-1-3√3)/2≦x<1の時y'<0だからy減少
    x=1の時最小値y=-1
    1<x≦(-1+3√3)/2の時y'>0だからy増加

    最小値y=-1
    最大値y=2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48360 / 親記事)  極値
□投稿者/ 安室 一般人(1回)-(2017/10/06(Fri) 21:50:59)
    x^2 + 2 x y + 3 y^2 - 2 y - 4 = 0 のとき x の最小値, 最大値を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48515 / ResNo.1)  Re[1]: 極値
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/08/17(Fri) 16:41:44)
    x^2+2xy+3y^2-2y-4=0
    (x+y)^2=-2y^2+2y+4
    (x+y)^2=-2(y+1)(y-2)≧0
    (y+1)(y-2)≦0
    -1≦y≦2
    x=-y±√(4+2y-2y^2)

    x'
    =-1±(1-2y)/√(4+2y-2y^2)
    ={±(1-2y)-√(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)
    ={(1-2y)^2-(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    ={1-4y+4y^2-(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =(6y^2-6y-3)/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =3(2y^2-2y-1)/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =6{y-(1-√3)/2}{y-(1+√3)/2}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}

    x=-y+√(4+2y-2y^2)の時
    -1≦y<(1-√3)/2の時x'>0だからxは増加
    y=(1-√3)/2の時最大値x=(-1+3√3)/2
    (1-√3)/2<y<2の時x'<0だからxは減少

    x=-y-√(4+2y-2y^2)の時
    -1≦y<(1+√3)/2の時x'<0だからxは減少
    y=(1+√3)/2の時最小値x=(-1-3√3)/2
    (1+√3)/2<y<2の時x'>0だからxは増加

    最小値x=(-1-3√3)/2
    最大値x=(-1+3√3)/2
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■48009 / 親記事)  代数学の問題
□投稿者/ socksman 一般人(1回)-(2017/06/08(Thu) 14:56:50)
    以下の問題が分かりません。

    解説をお願いします。
1080×219 => 250×50

IMG_20170607_230206.jpg
/49KB
引用返信/返信 [メール受信/ON]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48514 / ResNo.1)  Re[1]: 代数学の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(5回)-(2018/08/17(Fri) 14:59:57)
    (1)
    Gを位数|G|=4の群
    x∈G
    [x]をxから生成される巡回群
    とする
    [x]はGの部分群だから
    部分群[x]の位数|[x]|は4の約数だから
    (|[x]|=1).or.(|[x]|=2).or.(|[x]|=4)
    |[x]|=4となる[x]がある時
    |[x]|=|G|=4だから[x]=Gとなり
    Gは1元xから生成される巡回群だから
    GはZ/4Zと同型である

    |[x]|=4となるxが無い時
    |[x]|=1の時xは単位元0だから
    x≠0となるすべてのxに対して
    |[x]|=2となる
    G={0,a,b,c}とすると
    |[a]|=|[b]|=|[c]|=2だから
    a+a=b+b=c+c=0
    aの逆元はaだからa+b≠0≠b+a,a+c≠0≠c+a
    b≠0だからa+b≠a≠b+a,b+c≠c≠c+b
    a≠0だからa+b≠b≠b+a,a+c≠c≠c+a
    ∴a+b=c=b+a
    c≠0だからa+c≠a≠c+a,b+c≠b≠c+b
    ∴a+c=b=c+a
    bの逆元はbだからb+c≠0=c+b
    ∴b+c=a=c+b
    0=(0,0)
    a=(1,0)
    b=(0,1)
    c=(1,1)
    とすれば
    a+a=b+b=c+c=0(mod2)
    a+b=b+a=c
    a+c=c+a=b(mod2)
    b+c=c+b=a(mod2)
    だから
    GはZ/2Z×Z/2Zと同型である

    (2)
    {1,(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(1,4,3,2)}
    {1,(1,2,4,3),(1,4)(2,3),(1,3,4,2)}
    {1,(1,3,2,4),(1,2)(3,4),(1,4,2,3)}

    (3)
    {1,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)}
    {1,(1,3),(2,4),(1,3)(2,4)}
    {1,(1,4),(2,3),(1,4)(2,3)}
    {1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
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■47847 / 親記事)  位相空間の問題
□投稿者/ ユークリッド 一般人(1回)-(2017/01/07(Sat) 23:55:27)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする。AはdのAへの制限により距離空間となる。このとき、次の条件が同値であることを示せ。

    (1)(A,d)は完備。

    (2)Aは(X,d)の閉集合。

    全然分かりません。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48513 / ResNo.1)  Re[1]: 位相空間の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2018/08/16(Thu) 08:14:07)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする
    AはdのAへの制限により距離空間となる
    N=(全自然数)
    clA=(Aの閉包)とする
    (1)→(2)の証
    (A,d)は完備
    b∈cl(A)とする
    任意の自然数n∈Nに対して
    a_n∈{x∈X|d(x,b)<1/n}∩A
    となるa_nが存在する
    任意のε>0に対して
    n_0>1/εとなる自然数n_0がある
    n>n_0となる任意の自然数nに対して
    d(a_n,b)<1/n<1/n_0<ε
    となるから
    lim_{n→∞}a_n=b
    {a_n}_{n∈N}はbに収束する
    収束する数列はコーシー列だから
    {a_n}_{n∈N}は完備Aのコーシー列となるから
    Aの要素に収束するから
    b∈A
    だから
    cl(A)=A
    だから
    ∴Aは(X,d)の閉集合

    (2)→(1)の証
    Aは(X,d)の閉集合
    A⊃{a_n}_{n∈N}はコーシー列
    とする
    (X,d)は完備だから
    lim_{n→∞}a_n=b∈X
    となるbがある
    任意のε>0に対して
    ある自然数n_0が存在して
    n>n_0となる任意の自然数nに対して
    d(a_n,b)<ε
    だから
    a_{n_0+1}
    ∈{x∈X|d(x,b)<ε}∩{a_n}_{n∈N}
    ⊂{x∈X|d(x,b)<ε}∩A
    だから
    {x∈X|d(x,b)<ε}∩A≠φ
    だから
    b∈cl(A)
    Aは閉集合だから
    b∈cl(A)=A
    だから
    b∈A
    Aのコーシー列はAの要素に収束するから
    ∴(A,d)は完備
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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