■記事リスト / ▲上のスレッド
□投稿者/ q 一般人(1回)-(2019/02/13(Wed) 21:52:58)
 | 5 x^2-2 x y-16 x-4 y^2-18 y+2=0 の 整数解を全て 是非求めて下さい;
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▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
| ■50569 / ResNo.3) |
Re[3]: 整数解
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□投稿者/ ポートニック 一般人(2回)-(2020/12/12(Sat) 06:07:48)
 | 先に結論を書いておきます
そのあとに幅ひろく通用する導出過程を記しておきます
長くなるのでここのページでは結果だけとします
α=√21, ε=(5+α)/2, s=19+9α, t=2+8α,
Kを有理数体にαを添加して得られる体とし,
有理整数環ZのKにおける整閉包をAとする.
KはQ上のベクトル空間として基底{1,α}を持つので
各w∈Kに対して,w=p+qαを満たすp,q∈Qが一意的に取れるが
f(w)=p, g(w)=q によりKからQへの関数f,gを定める.
x,yが問題の方程式を満たす整数であるとき,
以下の(1)-(4)のいずれかが成立し,また逆も成立する:
(1)
ある整数nが存在して
u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
x = (23+u)/21
y = (-x-v-9)/4
このとき,n≡0(mod 6)
(2)
ある整数nが存在して
u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
x = (23-u)/21
y = (-x-v-9)/4
このとき,n≡4(mod 6)
(3)
ある整数nが存在して
u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
x = (23+u)/21
y = (-x+v-9)/4
このとき,n≡2(mod 6)
(4)
ある整数nが存在して
u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
x = (23-u)/21
y = (-x+v-9)/4
このとき,n≡2(mod 6)
(3),(4)はn≡2(mod 6)の部分は同じだが
u,vの取り方とx,yの対応の仕方が異なる
念の為,小さい解をいくつか求めてみる
(1)のパターンから導かれる解:
n= 0 とすれば
(u,v)=(19,9) より (x,y)=(2,-5)
n= -6 とすれば
(u,v)=(-134549,29361) より (x,y)=(-6406,-5741)
n= 6 とすれば
(u,v)=(364411,79521) より (x,y)=(17354,-24221)
(2)のパターンから導かれる解:
n=4 とすれば
(u,v)=(10187,2223) より (x,y)=(-484,-437)
n= -2 とすれば
(u,v)=(-397,87) より (x,y)=(20,-29)
(3)のパターンから導かれる解:
n=2 とすれば
(u,v)=(691,151) より (x,y)=(34,27)
(4)のパターンから導かれる解:
n=2 とすれば
(u,v)=(443,97) より (x,y)=(-20,27)
勿論きりがないので具体的を挙げるのはこれで終わりとします
解の表現としては整数係数の漸化式で与える方法もありますが
すでに構成した表現から漸化式を得るの難しくないでしょう
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| ■50570 / ResNo.4) |
Re[4]: 整数解
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□投稿者/ ポートニック 一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 06:11:20)
| 以下は導出過程です
記号はさっきの記事を継承します
まず必要条件から絞ることを考える
5x^2-2xy-16x-4y^2-18y+2=0
がある整数x,yに対して成立していたとする
-4y = x+9 ± √(21x^2-46x+89) ...(△)
となるように符号を選ぶことができる
21x^2-46x+89 = w^2 を満たす整数wが取れる
よって, (21x-23)^2 - 21w^2 = -1340 を得る
z = 21x-23 とおけば z^2 - 21w^2 = -1340 ...(☆)
ここで I=(z-wα)A とおく
(つまり,Iはz-wαで単生成するAのイデアル)
以下, N(.)はAのイデアルのノルム関数とする.
☆より N(I) = |1340| = 2^2*5*17 である
Kの判別式は 21 であるので
(21/5) = (21/67) = 1 より
5A,67A は以下のように異なる素イデアルの積に分解する:
5A = (5,α+1)(5,α-1)
67A = (67,α+17)(67,α-17)
また,2Aは既に素イデアルである
したがって N(I)= 2^2*5*17 とあわせて
Iは以下の4つのいずれかに一致している:
2A(5,α+1)(67,α+17)
2A(5,α+1)(67,α-17)
2A(5,α-1)(67,α+17)
2A(5,α-1)(67,α-17)
それぞれのイデアルの積を計算すると
(19 + 9α)A,(2 - 8α)A,(19 - 9α)A,(2 + 8α)A となる
(共役を考えれば4つのうち前半の2つだけで残りがわかる)
さて,Aの基本単数を計算することになるが
そのためには |p^2-21q^2|=4 を満たす最小の正整数解を求めればよい.
(p,q)=(5,1)が要件を満たすので冒頭で定めたεは実は基本単数である.
(一般には正則連分数展開から2次体の基本単数は高速に求まる)
I = (19 + 9α)A のときを考える
このとき, (z-wα)A = (19 + 9α)A であるので
z-wα = ±(19 + 9α)ε^n を満たす整数nが取れる
εの共役は 1/ε であるのだから
I = (19 - 9α)A のケースを考える必要はない
I = (2 + 8α)A のときを考える
このとき, (z-wα)A = (2 + 8α)A であるので
z-wα = ±(2 + 8α)ε^n を満たす整数nが取れる
εの共役は 1/ε であるのだから
I = (2 - 8α)A のケースを考える必要はない
まとめると ある整数nが存在して
z-wα = ±sε^n または z-wα = ±tε^n
が成立するように符号を選ぶことができる
z = 21x-23 だから z≡ -2 (mod αA) となる
よって, ε,s,t をmod αA で考えることで
nが偶数であることがいえる
より正確には,
z-wα = sε^n または z-wα = -tε^n
がある偶数nに対して成立するとなる,
あとは△の右辺が4の倍数である条件を考えるだけでよい.
そのためには ε^6≡1 (mod 4A) などに注意して
nをmod 6 で類別し s,t,ε^2,ε^4 などをmod 4Aで計算する.
ここからはひたすらルーチンなので ここで終わりとする
(絞れて得られた解が実際に解になることは難しくない)
以上の解法を4ステップでいうなら
まず判別式、次にイデアルの計算、そして基本単数、最後にmodulo計算
(実は今回のパターンではAは単項イデアル整域である
そのことはたとえばMinkowski's boundを用いれば易い
しかしながらAがPIDでなくても上記解法に不都合は生じない)
導出過程の概略ここまで
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| ■50571 / ResNo.5) |
Re[5]: 整数解
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□投稿者/ 2666 一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 14:51:35)
| 高校数学レベルでの解き方はできないのですか？
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| ■50572 / ResNo.6) |
Re[6]: 整数解
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□投稿者/ ポートニック 一般人(4回)-(2020/12/14(Mon) 03:13:51)
| ■No50571に返信(2666さんの記事)
> 高校数学レベルでの解き方はできないのですか？
>
原理的には可能でしょう
ただしデタラメに2元2次の不定方程式を与えた時,
どういうアプローチがあるかというのを
行きあたりばったりではなく 系統的に説明する場合は
高校数学の範疇でとどまるのは些か不便だとおもわれます
今回は結果をみてもわかるとおり少し複雑なので
たとえば幾分シンプルなケース: x^2 -2y^2 = 1
これぐらいなら高校数学の問題と出題しても大丈夫だとおもわれます
(ただこれはこれで有名すぎるかもしれないが...)
私は本題の出題者ではないし 本題が高校数学の問題として適切かどうかは保留とします
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| ■50577 / ResNo.7) |
Re[7]: 整数解
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□投稿者/ q 一般人(1回)-(2020/12/15(Tue) 15:34:32)
| ■No50572に返信(ポートニックさんの記事)
> ■No50571に返信(2666さんの記事)
>> 高校数学レベルでの解き方はできないのですか？
>>
>
> 原理的には可能でしょう
> ただしデタラメに2元2次の不定方程式を与えた時,
> どういうアプローチがあるかというのを
> 行きあたりばったりではなく 系統的に説明する場合は
> 高校数学の範疇でとどまるのは些か不便だとおもわれます
>
C;5 x^2-2 x y-16 x-4 y^2-18 y+2=0
は双曲線であり
漸近線が
-(((105 x+(21 Sqrt[21]-21) y+53 Sqrt[21]-168) (-105 x+(21+21 Sqrt[21]) y+53 Sqrt[21]+168))/2205)=0
y=1/84 (-Sqrt[21] Sqrt[441 x^2-966 x+529]-21 x-189),
y=1/84 (Sqrt[21] Sqrt[441 x^2-966 x+529]-21 x-189)
である ことから
C∩Z^2 を 求める方法を 是非教えてください;
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