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■50671 / 親記事)  導関数の定義について
□投稿者/ 7610 一般人(5回)-(2021/03/18(Thu) 04:36:38)
      www.maroon.dti.ne.
    jp/koten-kairo/works/fft/converge9.html
    にから拝借した画像に

      lim[z→0]{f(x+z)-f(x)}/z = f'(z)|z=x ……(3)

    がf(z)の微分になるという説明があり、ちょっと混乱しています。
     フーリエ級数の収束定理そのものについての質問ではありません。
     (3) の z は x の変化ではなく、x はこの解説の流れでは定数扱いです。だから(3)の右辺にわざわざz=xを付記しているのは、実はf'(z)の一つである f'(x) のことなんだよということであれば、まあ納得がいくのですけど(笑)。

     通常導関数f(x)の定義は

      lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h = f'(x) ……※

    で定義されます。この場合変数はもちろん x で、h はその変化Δx を表しているはずです。つまり任意の x の位置から h だけ離れたところから h→0 としています。この h はどんな値でもいいはずですから定数だと思います。
     ※について上の(3)のスタイルを踏襲すれば

      lim[x→0]{f(x+h)-f(x)}/x = f'(x)|x=h

    とでもなりそうです。これは変化量 h を固定しておき、変数 x を x→0 とするわけですから、どう考えても f'(h) で、それを f'(x)|x=h のように表現するのだ・・・と考えていいのでしょうか。

930×658 => 250×176

1616009798.png
/105KB
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50672 / ResNo.1)  Re[1]: 導関数の定義について
□投稿者/ らすかる 一般人(19回)-(2021/03/18(Thu) 05:57:01)
    「lim[z→0]{f(x+z)-f(x)}/z」の中のzと
    「= f'(z)|z=x」の中のzは別物です。
    ですから
    「lim[z→0]{f(x+z)-f(x)}/z = f'(z)|z=x」は
    「lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h = f'(z)|z=x」や
    「lim[z→0]{f(x+z)-f(x)}/z = f'(t)|t=x」のように書くのと全く同じ意味です。
    (limで極限に行く変数はlimの中だけのローカル変数で、外部の変数とは関係ありません。)

    > lim[x→0]{f(x+h)-f(x)}/x = f'(x)|x=h
    この式はおかしいです。
    例えばh=1ならば(分子)→f(1)-f(0)、(分母)→0ですから
    f(0)=f(1)でない限り発散してしまい、微分になりません。

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■50673 / ResNo.2)  Re[2]: 導関数の定義について
□投稿者/ 7610 一般人(6回)-(2021/03/18(Thu) 08:02:38)
     詳細な回答ありがとうございました。深く感謝いたします。
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■50662 / 親記事)  log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(1回)-(2021/03/09(Tue) 13:08:44)
    全てのx>0に対してlog(1+x)<a√xが成り立つような定数aの最小値が(9/10)^2未満であることを示したいです。
    よろしくお願いします。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50663 / ResNo.1)  Re[1]: log(1+x)<√x
□投稿者/ らすかる 一般人(16回)-(2021/03/10(Wed) 04:20:14)
    全てのx>0に対してlog(1+x)<a√xが成り立つようなaの範囲は、
    y=log(1+x)とy=k√xが接するとしてk<aと表せますので、
    「定数aの最小値」は存在しません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50664 / ResNo.2)  Re[2]: log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(2回)-(2021/03/10(Wed) 07:51:39)
    kが(9/10)^2未満であることは示せるでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50665 / ResNo.3)  Re[3]: log(1+x)<√x
□投稿者/ らすかる 一般人(17回)-(2021/03/10(Wed) 13:10:08)
    2021/03/10(Wed) 21:28:03 編集(投稿者)

    はい、示せます。

    f(x)=log(1+x), g(x)=k√x として
    y=f(x)とy=g(x)がx=t(t>0)で接するとすると
    f(t)=g(t)からlog(1+t)=k√t
    f'(t)=g'(t)から1/(1+t)=k/(2√t)すなわち(1+t)k=2√t
    2式からkを消去して整理すると
    log(1+t)=2t/(1+t)
    h(x)=2x/(1+x)とおくとh'(x)=2/(1+x)^2
    x<1のときh'(x)>f'(x)
    x=1のときh'(x)=f'(x)
    x>1のときh'(x)<f'(x)
    f(0)=h(0)=0, f(1)=log2<1=h(1), f(7)=log8>2>h(7)だから
    y=f(x)とy=h(x)は1<x<7の範囲に交点(t,log(1+t))がただ1つ存在し、
    0<x<tでf(x)<h(x)、t<xでf(x)>h(x)となる。

    34/7=1700/350<1701/350=243/50=4.86
    (34/7)^4<4.86^4=557.88550416<558
    (34/7)^17<558^4×4.86=471165046810.56
    e>2.718
    e^3>2.718^3=20.079290232>20
    e^27>20^9=512000000000
    ∴(34/7)^17<e^27
    34/7<e^(27/17)
    1+27/7<e^{2(27/7)/(1+27/7)}
    よってx=27/7のとき1+x<e^(2x/(1+x))なので
    log(1+x)<2x/(1+x)すなわちf(x)<h(x)
    f(x)<h(x)⇔0<x<tだったからt>27/7

    t>27/7から
    6561t>177147/7>25306
    6561t-13439>11867
    (6561t-13439)^2>11867^2=140825689>137560000
    (6561t-13439)^2-137560000>0
    43046721t^2-176346558t+43046721>0
    6561t^2-26878t+6561>0
    6561t^2+13122t+6561>40000t
    6561(1+t)^2>40000t
    4t/(1+t)^2<6561/10000
    2√t/(1+t)<81/100
    k=2√t/(1+t)だったから
    k<81/100=(9/10)^2

    (追記)
    ちなみにkはランベルトのW関数を使うと
    k=√{1-{W(-2/e^2)+1}^2}
    のように具体的な形で書き表すことができます。
    W(-2/e^2)=-0.40637573995995990767…なので
    k=0.80474234254941181120…となり、確かに
    k<81/100=(9/10)^2となっています。

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■50666 / ResNo.4)  Re[4]: log(1+x)<√x
□投稿者/ hulu 一般人(3回)-(2021/03/11(Thu) 20:11:47)
    ありがとうございました。
    計算が丁寧でとてもよく理解できました。
解決済み!
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■50657 / 親記事)  円と3次関数
□投稿者/ sage 一般人(1回)-(2021/03/07(Sun) 23:06:46)
    xy平面上の様々の3次関数のうち
    x^2+y^2≦1
    との共通部分の長さが6より
    大きくなるものは存在しますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50658 / ResNo.1)  Re[1]: 円と3次関数
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2021/03/08(Mon) 03:35:27)
    存在します。
    y=4000001000.001x^3-3000x は単位円とちょうど2点で交わり、
    内部の長さが約6.00000017275です。

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■50659 / ResNo.2)  Re[2]: 円と3次関数
□投稿者/ sage 一般人(2回)-(2021/03/08(Mon) 09:56:16)
    ありがとうございます。
    それはらすかる様が見つけられたもの
    の中で最も長いものなのでしょうか?
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■50660 / ResNo.3)  Re[3]: 円と3次関数
□投稿者/ らすかる 一般人(15回)-(2021/03/08(Mon) 10:14:05)
    2021/03/08(Mon) 11:46:52 編集(投稿者)

    計算したいくつかの候補の中では最大です。
    y=ax^3-bxという形に絞り、bの値を決めて条件を満たすような最小のaを調べ、
    そのときの長さを計算する、という手順で探しましたが、
    計算した中で条件を満たすb=3000,6000,8000,10000の中ではb=3000のときが最大でした。
    b≦1000では6を超えないであろうこともわかっていますし、bは大きくてもダメなので
    1000<b<6000の中に最大値があるのではないかと思っています。
    b=2500とかb=3500などを計算すれば、もう少し大きいものは見つけられると思いますが、
    いずれにしても6.00000…にはなると思います。

    (追記)
    気になったので調べました。
    y=799946654.2808x^3-1754.3712186x
    の場合に約6.00000024368となりました。
    「最大になるのはy=ax^3-bxという形のとき」が
    正しければ、このあたりが最大値になると思います。

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■50661 / ResNo.4)  Re[4]: 円と3次関数
□投稿者/ sage 一般人(3回)-(2021/03/08(Mon) 19:45:42)
    ありがとうございました。
    とても参考になりました。
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■50651 / 親記事)  Σと積分の交換
□投稿者/ 7610 一般人(1回)-(2021/03/07(Sun) 17:38:54)
      納k:1〜N]∫[x:-π〜π]f(x)cos(kx)dx

     = ∫[x:-π〜π]f(x)cos(x)dx + ∫[x:-π〜π]f(x)cos(2x)dx + …

     = ∫[x:-π〜π]f(x)dx納k:1〜N]cos(kx)

    という変形は可能ですか?

     可能ならば証明したいのですが

      ∫f(x)cos(kx)dx = -sin(kx)f(x) + ∫f'(x)sin(kx)dx

    ですから、右辺の第1項は定積分でゼロになるところまではわかりますが、それからがわかりません。


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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50654 / ResNo.1)  Re[1]: Σと積分の交換
□投稿者/ X 一般人(7回)-(2021/03/07(Sun) 18:52:51)
    そのような変形はできません。
    定数でない被積分関数を積分の外に出すことは
    できないからです。
    変形前はxの関数ではないのに、変形後は
    xの関数になっているのは明らかに
    変ですよね。

    但し
    納k:1〜N]∫[x:-π〜π]f(x)cos(kx)dx
    =∫[x:-π〜π]f(x){納k:1〜N]cos(kx)}dx
    であれば、問題ありません。


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■50655 / ResNo.2)  Re[2]: Σと積分の交換
□投稿者/ 7610 一般人(3回)-(2021/03/07(Sun) 19:01:08)
    > 定数でない被積分関数を積分の外に出すことは
    できないからです。

    ですよねえ。実はさるサイトでもっと複雑なケースの積分だったのですが私自身が勘違いしたのかもしれません。
     素早い回答ありがとうございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50656 / ResNo.3)  Re[2]: Σと積分の交換
□投稿者/ 7610 一般人(4回)-(2021/03/07(Sun) 19:43:26)
    > 但し
    > 納k:1〜N]∫[x:-π〜π]f(x)cos(kx)dx
    > =∫[x:-π〜π]f(x){納k:1〜N]cos(kx)}dx
    > であれば、問題ありません。
    >
    > すみません。まさにこちらでした。ありがとう。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50641 / 親記事)  cos(1)とtan(1/2)
□投稿者/ 紙 一般人(1回)-(2021/03/05(Fri) 12:15:47)
    cos(1)とtan(1/2)の大小比較はどうやればよいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50649 / ResNo.1)  Re[1]: cos(1)とtan(1/2)
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2021/03/05(Fri) 18:47:25)
    y=cosx,y=tan(x/2)のグラフと
    y=cosxに(π/3,cos(π/3))で接する接線、
    y=tan(x/2)に(π/3,tan(π/6))で接する接線を考えると
    2接線は(√3)(x-π/3)+2y=1と2(x-π/3)-3y+√3=0で
    その交点のx座標はx=π/3-(30-17√3)/11
    π/3-(30-17√3)/11<(1/3)(22/7)-(30-17√3)/11
    =(357√3-388)/231
    (357√3)^2=382347<383161=619^2から
    357√3<619
    357√3-388<231
    (357√3-388)/231<1
    よって2接線の交点のx座標は1より小さい。
    y=cosxは0<x<π/2で単調減少かつ上に凸なので
    (π/3,cos(π/3))で接する接線はy=cosxより右にある。
    y=tan(x/2)は0<x<π/2で単調増加かつ下に凸なので
    (π/3,tan(π/6))で接する接線はy=tan(x/2)より右にある。
    従って2接線の交点はy=cosxとy=tan(x/2)の交点より右にあるので、
    y=cosxとy=tan(x/2)の交点のx座標は2接線の交点のx座標より小さく、
    すなわち1より小さい。
    ゆえにy=cosxとy=tan(x/2)は0<x<1の範囲内で交わり、
    0<x<π/2でy=cosxは単調減少、y=tan(x/2)は単調増加なので
    x=1においてはtan(x/2)>cosx。
    よってtan(1/2)>cos(1)。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50650 / ResNo.2)  Re[2]: cos(1)とtan(1/2)
□投稿者/ 紙 一般人(2回)-(2021/03/05(Fri) 20:23:03)
    ありがとうございます。
    思わずグラフをいくつも描いて交点と接線の交点の関係を確認しましたが納得いたしました。
    素晴らしいです。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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