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□投稿者/ 関 一般人(1回)-(2024/04/12(Fri) 21:18:16)
 | 3^n = k^2 - 7
を満たす整数の組 (k,n) をすべて求める。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
| ■52502 / ResNo.1) |
Re[1]: 高校数学 整数問題
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□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2024/04/12(Fri) 22:41:07)
| 2024/04/12(Fri) 22:42:14 編集(投稿者)
k^2-7は整数なので、3^nも整数であり、よってn ≧ 0です。
3^n ≡ k^2 (mod 7)となりますが、7の剰余類において3は平方数に合同にはなりません。
# このことを「3は法7の平方非剰余である」と言います。
# 7の剰余類は、0^2 ≡ 0, 1^2 ≡ 6^2 ≡ 1, 2^2 ≡ 5^2 ≡ 4, 3^2 ≡ 4^2 ≡ 2 (mod 7)
# と3が平方剰余でないことが確認できます。
よって、nは偶数ではなくてはならないので、mを非負整数としてn = 2mとおけます。
3^n = k^2-7
⇒ 7 = k^2-3^(2m) = (k-3^m)(k+3^m)
k-3^mもk+3^mも整数で、k-3^m < k+3^mです。
その積が7に等しいので、(k-3^m, k+3^m) = (-7, -1)(1, 7)となります。
(1) (k-3^m, k+3^m) = (-7, -1)とすると、
(k-3^m)+(k+3^m) = (-7)+(-1)
⇒ 2k = -8
⇒ k = -4
(k-3^m)-(k+3^m) = (-7)-(-1)
⇒ (-2)(3^m) = -6
⇒ m = 1, n = 2
(2) (k-3^m, k+3^m) = (1, 7)とすると、
(k-3^m)+(k+3^m) = 1+7
⇒ 2k = 8
⇒ k = 4
(k-3^m)-(k+3^m) = 1-7
⇒ (-2)(3^m) = -6
⇒ m = 1, n = 2
以上から、(k, n) = (-4, 2)(4, 2)
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| ■52503 / ResNo.2) |
Re[2]: 高校数学 整数問題
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□投稿者/ 関 一般人(2回)-(2024/04/12(Fri) 22:56:17)
| すばやい回答まことにありがとうございました。深く感謝申し上げます。
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解決済み! |
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| ■52504 / ResNo.3) |
Re[1]: 高校数学 整数問題
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□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2024/04/12(Fri) 23:02:04)
| n＜0のとき明らかに解が存在しないので、n≧0とする。
nが偶数のとき(左辺)≡1(mod 4)
nが奇数のとき(左辺)≡3(mod 4)
平方数を4で割った余りは0か1なので、
右辺を4で割った余りは1か2。
よってnが奇数のとき解は存在しない。
nが偶数のとき、n=2mとおくと
3^(2m)=k^2-7
k^2-(3^m)^2=7
(k+3^m)(k-3^m)=7
7は素数なので2整数の積にすると1×7または(-1)×(-7)となり、
2数の差は±6。
(k+3^m)-(k-3^m)=2(3^m)なので、2(3^m)=±6から適解はm=1のみ。
よってn=2m=2なので、k^2=3^2+7=16となり、k=±4。
従って解は (k,n)=(±4,2)。
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| ■52505 / ResNo.4) |
Re[2]: 高校数学 整数問題
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□投稿者/ 関 一般人(3回)-(2024/04/13(Sat) 07:56:53)
| 回答まことにありがとうございました。
簡潔な記述ですね。解答作成の参考になります。
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不等式(1)