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■49067 / 親記事) 　単調増加数列
□投稿者/ むさし 一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 12:29:23)
    a[1]=1、a[2]=3、a[n+2]=4a[n+1]-a[n] (n≧1)
    で定まる数列a[n]に対し
    b[n]=a[n+1]/a[n]
    とすると、b[n]が単調増加であることを示すには
    どうすればいいのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49068 / ResNo.1) 　Re[1]: 単調増加数列
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 13:30:08)
    b[n]=a[n+1]/a[n]
    =(4a[n]-a[n-1])/a[n]
    =4-a[n-1]/a[n]
    =4-1/b[n-1]
    b[1]=3＜2+√3
    b[n-1]＜2+√3のとき
    1/b[n-1]＞1/(2+√3)=2-√3
    -1/b[n-1]＜-2+√3
    4-1/b[n-1]＜2+√3
    ∴b[n]＜2+√3
    となるのですべてのnに対しb[n]＜2+√3
    また条件から明らかにa[n+1]＞a[n]なのでb[n]＞1
    よってすべてのnに対して
    1＜b[n]＜2+√3
    -1＜b[n]-2＜√3
    (b[n]-2)^2＜3
    ∴3-(b[n]-2)^2＞0
    となるので、
    b[n]-b[n-1]
    =4-1/b[n-1]-b[n-1]
    ={3-(b[n-1]-2)^2}/b[n-1]
    ＞0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49074 / ResNo.2) 　Re[2]: 単調増加数列
□投稿者/ むさし 一般人(2回)-(2019/03/24(Sun) 05:56:47)
    有り難うございます
    意外と考えるところがあって難しいです
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]


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■49051 / 親記事) 　数学について。
□投稿者/ コルム 付き人(70回)-(2019/03/21(Thu) 04:15:22)
    次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。お願い致します。
847×355 => 250×104

IMG_20190320_181758_688.JPG/51KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■49055 / ResNo.1) 　Re[1]: 数学について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(58回)-(2019/03/21(Thu) 22:01:25)
    43.直線L:4x+3y=8と円C:x^2+y^2-2x-4y+4=0がある.
    (1)
    C:(x-1)^2+(y-2)^2=1
    中心(1,2)
    半径1

    (2)
    直線Lと円Cの交点を(x,y)とすると
    L:
    4x+3y=8
    ↓両辺から4xを引くと
    3y=8-4x
    ↓両辺を3で割ると
    y=(8-4x)/3…(2.1)

    C:
    x^2+y^2-2x-4y+4=0
    ↓これに(2.1)を代入すると
    x^2+{(8-4x)/3}^2-2x-4{(8-4x)/3}+4=0
    ↓両辺に9をかけると
    9x^2+(8-4x)^2-18x-12(8-4x)+36=0
    9x^2+64-64x+16x^2-18x-96+48x+36=0
    25x^2-34x+4=0
    この2次方程式の2つの解をx1,x2とすると解と係数の関係から
    x1+x2=34/25
    x1*x2=4/25
    x1,x2に対応するy座標をy1,y2とすると(2.1)から
    y1=(8-4x1)/3
    y2=(8-4x2)/3
    y1-y2=4(x2-x1)/3
    2つの交点(x1,y1)と(x2,y2)の距離sは
    s
    =√{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}
    ↓y1-y2=4(x2-x1)/3だから
    =√{(x1-x2)^2+{4(x2-x1)/3}^2}
    =√{(x1-x2)^2+16(x2-x1)^2/9}
    =√[25{(x1-x2)^2}/9]
    =√[25{(x1+x2)^2-4x1*x2}/9]
    ↓x1+x2=34/25
    ↓x1*x2=4/25
    ↓だから
    =√[25{(34/25)^2-4*4/25}/9]
    =2√[{(17^2/25)-4}/9]
    =2√{(289-100)/25/9}
    =2(√21)/5
    ∴LがCによって切り取られてでいる線分{(x1,y1)-(x2,y2)}の長さは
    (2√21)/5

    44.
    (a,b)を円x^2+y^2=3上の点とする
    (x,y)を点(a,b)での接線上の点とする
    接線ベクトル(x-a,y-b)と
    法線ベクトル(a,b)は垂直だから
    その内積は0になるから
    ((a,b),(x-a,y-b))=a(x-a)+b(y-b)=0
    ax+by-a^2-b^2=0
    ↓a^2+b^2=3だから接線は
    ax+by-3=0
    ax+by=3…(3.1)
    ↓点(1,√3)を通るから
    a+b√3=3
    ↓両辺からb√3を引くと
    a=3-b√3
    ↓これをa^2+b^2=3に代入すると
    (3-b√3)^2+b^2=3
    4b^2-6b√3+9=3
    ↓両辺から3を引くと
    4b^2-6b√3+6=0
    ↓両辺を2で割ると
    2b^2-3b√3+3=0
    (b-√3)(2b-√3)=0
    b=√3.又は,b=√3/2
    b=√3の時
    a=0
    y=√3
    b=√3/2の時
    a=3/2
    3x/2+y√3/2=3
    3x+y√3=6
    y=(2-x)√3

    ∴接線の方程式は
    y=√3
    と
    y=(2-x)√3
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■49046 / 親記事) 　平面図形について。
□投稿者/ コルム 付き人(66回)-(2019/03/18(Mon) 08:11:27)
    次の問題の、39,40,41がわかりません。教えていただけると幸いです。
845×500 => 250×147

IMG_20190317_193110_959.JPG/68KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■49047 / ResNo.1) 　Re[1]: 平面図形について。
□投稿者/ コルム 付き人(67回)-(2019/03/18(Mon) 08:12:26)
    すみません。こっちでした。
905×555 => 250×153

IMG_20190317_193005_135.JPG/86KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49050 / ResNo.2) 　Re[2]: 平面図形について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(57回)-(2019/03/20(Wed) 10:15:24)
    39.
    点Oを中心とする半径1の円Cと点Pがあり,
    |OP|=2とする.
    Oとの距離が1/2でPを通る直線Lを1本引き,
    それとCの交点のうちPに近い方をQとする.
    Oから直線Lへの垂直点をSとすると
    ∠OSQ=90°だから
    △OQSは直角3角形だから3平方の定理から
    |OS|^2+|SQ|^2=|OQ|^2
    ↓両辺から|OS|^2を引くと
    |SQ|^2=|OQ|^2-|OS|^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |SQ|=√(|OQ|^2-|OS|^2)
    ↓|OQ|=1,|OS|=1/2だから
    |SQ|=√(1^2-1/2^2)
    |SQ|=√(1-1/4)
    |SQ|=(√3)/2…(1)

    ∠OSP=90°だから
    △OPSは直角3角形だから3平方の定理から
    |OS|^2+|SP|^2=|OP|^2
    ↓両辺から|OS|^2を引くと
    |SP|^2=|OP|^2-|OS|^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |SP|=√(|OP|^2-|OS|^2)
    ↓|OP|=2,|OS|=1/2だから
    |SP|=√(2^2-1/2^2)
    |SP|=√(4-1/4)
    |SP|=(√15)/2
    ↓これから(1)を引くと
    ↓|PQ|=|SP|-|SQ|
    ↓だから
    |PQ|=(√15-√3)/2

    40.
    中心間距離が7で,半径が5,3√2の2つの球面S1,S2がある.
    2>1
    ↓両辺を1/2乗すると
    √2>1
    ↓両辺に3をかけると
    3√2>3
    ↓両辺に5を加えると
    5+3√2>8>7
    ∴
    S1,S2は交わる
    その交わりの円Mの半径をr
    MとS1の中心間距離をa
    S1の中心をA
    S2の中心をB
    Mの中心をO
    M周上の点をP
    とすると
    ∠AOP=90°だから
    △AOPは直角三角形だから3平方の定理から
    |OP|^2+|AO|^2=|AP|^2
    ↓|OP|=r,|AO|=a,|AP|=5だから
    r^2+a^2=5^2
    r^2+a^2=25
    ↓両辺からr^2を引くと
    a^2=25-r^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    a=√(25-r^2)

    ∠BOP=90°だから
    △BOPは直角三角形だから3平方の定理から
    |BP|^2=|BO|^2+|OP|^2
    ↓|BP|=2√3,|BO|=7-a,|OP|=rだから
    2*3^2=(7-a)^2+r^2
    18=(7-a)^2+r^2
    ↓両辺からr^2を引くと
    18-r^2=(7-a)^2
    18-r^2=49-14a+a^2
    ↓a^2=25-r^2だから
    18-r^2=49-14a+25-r^2
    ↓両辺にr^2+14a-18を加えると
    14a=56
    ↓両辺を14で割ると
    a=4
    ↓これをr^2+a^2=25に代入すると
    r^2+16=25
    ↓両辺から16を引くと
    r^2=9
    ↓両辺を1/2乗すると
    ∴交わりの円の半径は
    r=3

    41.
    4面体ABCDにおいて,
    |AB|=|AC|=|AD|
    の時,
    頂点AからBCDに下した垂線と面BCDの交点をHとすると
    ∠AHB=90°だから
    △AHBは直角三角形だから
    |AH|^2+|BH|^2=|AB|^2
    ↓両辺から|AH|^2を引くと
    |BH|^2=|AB|^2-|AH|^2

    ∠AHC=90°だから
    △AHCは直角三角形だから
    |AH|^2+|CH|^2=|AC|^2
    ↓両辺から|AH|^2を引くと
    |CH|^2=|AC|^2-|AH|^2
    ↓|AB|=|AC|だから
    |CH|^2=|AB|^2-|AH|^2
    ↓|BH|^2=|AB|^2-|AH|^2だから
    |BH|^2=|CH|^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |BH|=|CH|

    ∠AHD=90°だから
    △AHDは直角三角形だから
    |AH|^2+|DH|^2=|AD|^2
    ↓両辺から|AH|^2を引くと
    |DH|^2=|AD|^2-|AH|^2
    ↓|AB|=|AD|だから
    |DH|^2=|AB|^2-|AH|^2
    ↓|BH|^2=|AB|^2-|AH|^2だから
    |BH|^2=|DH|^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |BH|=|DH|
    ↓|BH|=|CH|だから
    |BH|=|CH|=|DH|
    だからHは外接円の中心だから
    Hは△BCDの外心
    である
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■49048 / 親記事) 　平面図形について。
□投稿者/ コルム 付き人(68回)-(2019/03/18(Mon) 08:13:35)
    次の、37,38がわかりません。教えていただけると幸いです。
845×500 => 250×147

1552864415.jpg/68KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■49049 / ResNo.1) 　Re[1]: 平面図形について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(56回)-(2019/03/19(Tue) 21:39:04)
    37.
    Pは辺ABを3:1に内分する点だから
    ↑AP=(3/4)↑AB
    Qは辺BCの中点だから
    ↑AQ=(1/2)↑AB+(1/2)↑AC
    Rは線分CPとAQの交点だから
    RはAQ上の点だから
    ↑AR=x↑AQ…(1.1)
    となる実数xがある
    ↓↑AQ=(1/2)↑AB+(1/2)↑ACだから
    ↑AR=x{(1/2)↑AB+(1/2)↑AC}
    ↑AR=(x/2)↑AB+(x/2)↑AC…(1.2)

    RはCP上の点だから
    ↑AR=(1-y)↑AC+y↑AP…(1.3)
    となる実数yがある
    ↓↑AP=(3/4)↑ABだから
    ↑AR=(1-y)↑AC+y(3/4)↑AB
    ↑AR=(1-y)↑AC+(3y/4)↑AB
    ↑AR=(3y/4)↑AB+(1-y)↑AC

    ↓これと(1.2)から
    (x/2)↑AB+(x/2)↑AC=(3y/4)↑AB+(1-y)↑AC
    ↑AB,↑ACは1次独立だから
    ↑ABの係数が等しいから
    x/2=3y/4…(1.4)
    ↑ACの係数が等しいから
    x/2=1-y
    ↓これと(1.4)から
    3y/4=1-y
    ↓両辺に4をかけると
    3y=4-4y
    ↓両辺に4yを加えると
    7y=4
    ↓両辺を7で割ると
    y=4/7…(1.5)
    ↓これを(1.4)に代入すると
    x/2=3/7
    ↓両辺に2をかけると
    x=6/7
    ↓これを(1.1)に代入すると
    ↑AR=(6/7)↑AQ
    ↓↑AQ=↑AR+↑RQだから
    ↑AR=(6/7)(↑AR+↑RQ)
    ↓両辺に7をかけると
    7↑AR=6(↑AR+↑RQ)
    7↑AR=6↑AR+6↑RQ
    ↓両辺から6|AR|を引くと
    ↑AR=6↑RQ
    ∴
    |AR|:|RQ|=6:1…(1)の答え

    (1.5)y=4/7を(1.3)に代入すると
    ↑AR=(1-4/7)↑AC+(4/7)↑AP
    ↑AR=(3/7)↑AC+(4/7)↑AP
    だから
    Rは線分PCを3:4に内分する点だから
    ∴
    |PR|:|RC|=3:4…(2)の答え

    38.
    △ABCにおいて,|AB|=12
    ∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとする

    Eは辺ABを5:4に内分する点だから
    ↑AE=(5/9)↑AB…(3.1)
    |AE|=5*12/9=20/3
    Fは辺ACを1:6に内分する点だから
    ↑AF=(1/7)↑AC…(3.2)

    線分AD,CE,BFが1点Gで交わるから
    GはCE上の点だから
    ↑AG=(1-x)↑AC+x↑AE
    となる実数xがある
    ↓これに(3.1)を代入すると
    ↑AG=(1-x)↑AC+x(5/9)↑AB
    ↑AG=(1-x)↑AC+(5x/9)↑AB…(3.3)

    GはBF上の点だから
    ↑AG=(1-y)↑AB+y↑AF
    となる実数yがある
    ↓これに(3.2)を代入すると
    ↑AG=(1-y)↑AB+y(1/7)↑AC
    ↑AG=(1-y)↑AB+(y/7)↑AC
    ↓これと(3.3)から
    (1-y)↑AB+(y/7)↑AC=(1-x)↑AC+(5x/9)↑AB
    ↑AB,↑ACは1次独立だから

    ↑ABの係数が等しいから
    1-y=5x/9…(3.4)

    ↑ACの係数が等しいから
    y/7=1-x
    ↓両辺に7をかけると
    y=7-7x
    ↓これを(3.4)に代入すると
    1-(7-7x)=5x/9
    7x-6=5x/9
    ↓両辺に9をかけると
    63x-54=5x
    ↓両辺に54-5xを加えると
    58x=54
    ↓両辺を58で割ると
    x=27/29
    ↓これを(3.3)に代入すると
    ↑AG=(2/29)↑AC+(15/29)↑AB
    ↑AG=(15/29)↑AB+(2/29)↑AC
    ここで
    ↑AH=(15/29)↑AB
    ↑AK=(2/29)↑AC
    とすると
    ↑AG=↑AH+↑AK
    だから
    □AHGKは平行四辺形で
    AGは∠HAK=∠BACの2等分線だから
    ∠GAH=∠GAKだから
    □AHGKは菱形となるから
    (2/29)|AC|=|AK|=|AH|=(15/29)|AB|
    (2/29)|AC|=(15/29)|AB|
    ↓両辺に29/2をかけると
    |AC|=(15/2)|AB|
    ↓|AB|=12だから
    |AC|=15*12/2
    |AC|=15*6
    ∴
    |AC|=90
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■49037 / 親記事) 　確率について。
□投稿者/ コルム 付き人(59回)-(2019/03/04(Mon) 18:27:24)
    次の、33,34がわかりません。教えていただけると幸いです。
869×724 => 250×208

IMG_20190304_182527_423.JPG/103KB
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■49041 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(55回)-(2019/03/07(Thu) 03:45:01)
    33
    袋の中に1から7までの番号が書かれた球が7個入っている.
    ここから同時に3個の球を取り出す.
    取り出された3個の球に書かれている数を大きいものから順にX,Y,Zとする.
    7個の球にはそれぞれ互いに異なる1個の番号が書かれていて,どの球も取り出される確率は,皆等しいものとする.
    7≧X>Y>Z
    X>Y>Z≧1
    だから
    3≦X≦7
    2≦Y≦6
    1≦Z≦5

    X=3の時
    Y=2,Z=1の1通りだから
    P(X=3)=1/(7C3)=1/35
    X=4の時
    1〜3の中からY>Zの2つを選ぶ
    3C2=3通りだから
    P(X=4)=3/(7C3)=3/35
    X=5の時
    1〜4の中からY>Zの2つを選ぶ
    4C2通りだから
    P(X=5)=4C2/(7C3)=6/35
    X=6の時
    1〜5の中からY>Zの2つを選ぶ
    5C2通りだから
    P(X=6)=5C2/(7C3)=10/35=2/7
    X=7の時
    1〜6の中からY>Zの2つを選ぶ
    6C2通りだから
    P(X=7)=6C2/(7C3)=15/35=3/7
    だから
    Xの期待値
    E(X)
    =Σ_{k=3〜7}kP(X=k)
    =3/35+4*3/35+5*6/35+6*2/7+7*3/7
    =6

    Z=1の時
    2〜7の中からX>Yの2つを選ぶ
    6C2通りだから
    P(Z=1)=6C2/(7C3)=15/35=3/7
    Z=2の時
    3〜7の中からX>Yの2つを選ぶ
    5C2通りだから
    P(Z=2)=5C2/(7C3)=10/35=2/7
    Z=3の時
    4〜7の中からX>Yの2つを選ぶ
    4C2通りだから
    P(Z=3)=4C2/(7C3)=6/35
    Z=4の時
    5〜7の中からX>Yの2つを選ぶ
    3C2=3通りだから
    P(Z=4)=3/(7C3)=3/35
    Z=5の時
    X=7,Y=6の1通りだから
    P(Z=5)=1/(7C3)=1/35
    だから
    Zの期待値
    E(Z)
    =Σ_{k=1〜5}kP(Z=k)
    =3/7+2*2/7+3*6/35+4*3/35+5/35
    =2

    Y=2の時
    Z=1
    3〜7の中から1つXを選ぶ5通りだから
    P(Y=2)=5/(7C3)=5/35=1/7
    Y=3の時
    4〜7の中から1つXを選ぶ4通り
    それぞれに対して
    1,2のどちらかから1つZを選ぶ2通りだから
    P(Y=3)=4*2/(7C3)=8/35
    Y=4の時
    5〜7の中から1つXを選ぶ3通り
    それぞれに対して
    1〜3の中から1つZを選ぶ3通りだから
    P(Y=4)=3*3/(7C3)=9/35
    Y=5の時
    6,7のどちらかから1つXを選ぶ2通り
    それぞれに対して
    1〜4の中から1つZを選ぶ4通りだから
    P(Y=5)=2*4/(7C3)=8/35
    Y=6の時
    X=7
    1〜5の中から1つZを選ぶ5通りだから
    P(Y=6)=5/(7C3)=5/35=1/7
    だから
    Yの期待値
    E(Y)
    =Σ_{k=2〜6}kP(Y=k)
    =2/7+3*8/35+4*9/35+5*8/35+6/7
    =4

    34.
    1から10までの番号が書かれた札が1枚ずつある.
    この10枚の札から無作為に5枚の札を取り出す.
    このとき,取り出された札のうち,番号が5以下であるものの枚数をXとおく
    (1)
    X=0の時
    6,7,8,9,10の5枚を取り出す1通りだから
    P(X=0)=1/(10C5)=5*4*3*2/(10*9*8*7*6)=1/252
    X=1の時
    1〜5の5枚の中から1枚取り出す5通りそれぞれに対して
    6〜10の5枚の中から4枚取り出す5通りだから
    P(X=1)=5*5/(10C5)=25/252
    X=2の時
    1〜5の5枚の中から2枚取り出す5C2通りそれぞれに対して
    6〜10の5枚の中から3枚取り出す5C3通りだから
    P(X=2)=5C2*5C3/(10C5)=100/252=25/63
    X=3の時
    1〜5の5枚の中から3枚取り出す5C3通りそれぞれに対して
    6〜10の5枚の中から2枚取り出す5C2通りだから
    P(X=3)=5C3*5C2/(10C5)=100/252=25/63
    X=4の時
    1〜5の5枚の中から4枚取り出す5通りそれぞれに対して
    6〜10の5枚の中から1枚取り出す5通りだから
    P(X=4)=5*5/(10C5)=25/252
    X=5の時
    1,2,3,4,5の5枚を取り出す1通りだから
    P(X=5)=1/(10C5)=1/252
    ∴確率分布は
    F(k)=P(X=k)=(5Ck)^2/252,(k=0,1,2,3,4,5)

    (2)
    E(X)
    =Σ_{k=1〜5}kP(X=k)
    =25/252+2*25/63+3*25/63+4*25/252+5/252
    =5/2

    V(X)
    =E(X-EX)^2
    =E(X^2)-(EX)^2
    =Σ_{k=1〜5}k^2P(X=k)-25/4
    =25/252+4*25/63+9*25/63+16*25/252+25/252-25/4
    =25/36
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■49042 / ResNo.2) 　Re[1]: 確率について。
□投稿者/ コルム 付き人(62回)-(2019/03/16(Sat) 15:18:34)
    V(X)
    =E(X-EX )∧2
    =E(X∧2)-(EX)∧2
    この部分がわかりません。教えていただけると幸いです。
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■49043 / ResNo.3) 　Re[2]: 確率について。
□投稿者/ 菩菩紙御炉 一般人(6回)-(2019/03/16(Sat) 17:27:00)
    ttps://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11204932441

    でわかったのじゃないの？

    　データ（数学のテストの100人分の得点データなど）の平均・分散と、確率変数の平均・分散の違いをきちんと把握しないと、いつまでたっても理解できないよ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■49045 / ResNo.4) 　Re[1]: 確率について。
□投稿者/ コルム 付き人(65回)-(2019/03/17(Sun) 20:15:51)
    とても助かりました。
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