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■48808 / 親記事) 　確率
□投稿者/ 感謝 一般人(4回)-(2018/09/12(Wed) 18:20:41)
    表が出やすいコインが何枚かある。
    これらを一斉に投げるとき、
    表が出るコインの枚数が
    裏が出るコインの枚数以上になる確率が、
    コインの表が出る確率以上になることは
    当たり前のことでしょうか？
    それとも証明すべきことなのでしょうか？

    もし証明がいることなら、その証明を教えてほしいです。
    よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48809 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2018/09/13(Thu) 08:26:07)
    証明すべきことだと思います。

    コインの枚数をn枚、表が出る確率をp（1/2＜p＜1）、
    表が出るコインの枚数の方が裏が出るコインの枚数より多い確率をq、
    表が出るコインがk枚になる確率をa[k]とすると
    a[k]=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)
    またp＞1/2から
    2p＞1
    p＞1-p
    ∴p/(1-p)＞1

    n=2m+1（m≧1）のとき
    a[2m+1]/a[0]={p/(1-p)}^(2m+1) から a[2m+1]＞a[0]・{p/(1-p)}^n＞a[0]{p/(1-p)}
    同様に
    a[2m]/a[1]={p/(1-p)}^(2m-1) から a[2m]＞a[1]{p/(1-p)}
    a[2m-1]/a[2]={p/(1-p)}^(2m-3) から a[2m-1]＞a[2]{p/(1-p)}
    以下同様に
    a[2m-2]＞a[3]{p/(1-p)}
    a[2m-3]＞a[4]{p/(1-p)}
    ・・・
    a[m+2]＞a[m-1]{p/(1-p)}
    a[m+1]＝a[m]{p/(1-p)}　（※ここだけ{p/(1-p)}^1なので等号）
    なので
    q=Σ[k=m+1〜2m+1]a[k]＞Σ[k=0〜m]a[k]{p/(1-p)}=(1-q){p/(1-p)}
    q＞(1-q){p/(1-p)}
    q(1-p)＞(1-q)p
    q-pq＞p-pq
    ∴q＞p

    n=2m（m≧1）のときは上記のようにするとa[m]だけ余ることに注意して
    q=Σ[k=m〜2m]a[k]=a[m]+Σ[k=m+1〜2m]a[k]
    ＞a[m]+Σ[k=0〜m-1]a[k]{p/(1-p)}=a[m]+(1-q){p/(1-p)}＞(1-q){p/(1-p)}
    から同様にq＞p

    n=1のときはq=p

    従って表が出るコインの枚数が裏が出るコインの枚数以上になる確率は、
    コインの表が出る確率以上。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48812 / ResNo.2) 　Re[2]: 確率
□投稿者/ 感謝 一般人(5回)-(2018/09/14(Fri) 20:28:35)
    当たり前のように思っていましたが、
    証明はなかなか工夫がいるのですね。
    有り難うございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■48800 / 親記事) 　三次方程式の解
□投稿者/ 千利休 一般人(1回)-(2018/09/11(Tue) 19:25:31)
    aは自然数で、2^(1/3)+a^(1/3)がある整数係数の三次方程式の解となる。
    このとき、ある非負整数kを用いてa=2^kとかける。

    これって正しいですか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■48801 / ResNo.1) 　Re[1]: 三次方程式の解
□投稿者/ Math 一般人(1回)-(2018/09/11(Tue) 20:44:31)
    正しくないです。

    x=2^(1/3)+108^(1/3) は x^3-18x-110=0 の解です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48802 / ResNo.2) 　Re[2]: 三次方程式の解
□投稿者/ 千利休 一般人(2回)-(2018/09/11(Tue) 20:57:00)
    なるほど・・・

    では、自然数n、非負整数kを用いて
    a=n^3*2^k
    とかける、というのは正しいですか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48807 / ResNo.3) 　Re[3]: 三次方程式の解
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2018/09/12(Wed) 10:05:27)
    正しいです。

    tはn^3・2^kと表せない自然数とします。
    このとき、2^(1/3)+t^(1/3)は整数係数9次方程式
    x^9-3(t+2)x^6+3(t^2-14t+4)x^3-(t+2)^3=0の解です。
    この式の左辺はω=(-1+i√3)/2として
    (a)=x-2^(1/3)-t^(1/3)
    (b)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)ω^2
    (c)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)ω
    (d)=x-2^(1/3)-t^(1/3)ω
    (e)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)
    (f)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)ω^2
    (g)=x-2^(1/3)-t^(1/3)ω^2
    (h)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)ω
    (i)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)
    の9個の式の積になっています。
    2^(1/3)+t^(1/3)が整数係数三次方程式の解ならば、
    上の9個の式で(b)〜(i)のうち二つと(a)を掛け合わせて
    整数係数の多項式にならなければなりません。
    組み合わせ28通りについて全部調べてみると、
    28通りのうち積の定数項が実数になるものは
    (a)(b)(c), (a)(d)(g), (a)(e)(i), (a)(f)(h)の4組
    （このとき全係数が実数になります）となります。しかし
    (a)(b)(c)は一次の係数が-3(2t)^(1/3)
    (a)(d)(g)は二次の係数が-3・2^(1/3)
    (a)(e)(i)は二次の係数が-3・t^(1/3)
    (a)(f)(h)は定数項が-{2^(1/3)+t^(1/3)}^3
    なので、いずれも整数係数になりません。
    よって2^(1/3)+t^(1/3)が整数係数三次方程式の解になることはありません。
    従って、2^(1/3)+a^(1/3)が整数係数三次方程式の解になるならば、
    aはn^3・2^kと表せることになります。

    # a=n^3のとき(a)(e)(i)の形の三次方程式、
    # a=2n^3のとき(a)(f)(h)の形の三次方程式、
    # a=4n^3のとき(a)(b)(c)の形の三次方程式になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48810 / ResNo.4) 　Re[4]: 三次方程式の解
□投稿者/ 千利休 一般人(3回)-(2018/09/14(Fri) 07:41:09)
    有り難うございました。
    思っていたより大変だということがよく分かりました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■48792 / 親記事) 　確率
□投稿者/ 感謝 一般人(1回)-(2018/09/06(Thu) 12:15:44)
    表が出やすいコインが何枚かある。
    これらを一斉に投げるとき
    表が出るコインが偶数枚ある確率と
    表が出るコインが奇数枚ある確率は
    どちらの方が大きいか？

    お願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]
■48793 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2018/09/06(Thu) 15:54:16)
    全体が偶数枚なら偶数枚になる確率の方が高く、
    全体が奇数枚なら奇数枚になる確率の方が高い。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48797 / ResNo.2) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ 感謝 一般人(2回)-(2018/09/10(Mon) 11:40:05)
    有り難うございます。

    それは直感的に分かることなのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48798 / ResNo.3) 　Re[2]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2018/09/10(Mon) 14:17:04)
    全体が1枚のとき明らかに奇数枚になる確率が高いですね。
    表が出る確率をp（＞1/2）、全体がn枚のときに
    表の枚数の偶奇がnと同じである確率をq（＞1/2）とすると、
    それに1枚追加して全体をn+1枚にしたとき、
    追加した1枚が表になる確率はpなので
    表の枚数の偶奇がn+1と同じになる確率は
    pq+(1-p)(1-q)={(2p-1)(2q-1)+1}/2＞1/2
    よって数学的帰納法により全体の枚数と表の枚数の偶奇が
    同じになる確率は1/2より大きくなります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48799 / ResNo.4) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2018/09/10(Mon) 19:53:49)
    横から失礼します。
    らすかるさんの解法を見て閃いたので、一応別解として書き込ませて頂きます。
    # かなり端折って書きます。

    組み合わせの数nCrをC(n, r)と記述します。
    コインの表が出る確率をpとすると1/2 < p ≦ 1です。
    表になるコインの枚数と全コインの枚数nの奇遇が一致する確率をa[n]とします。
    奇遇が一致しない確率をb[n]とします。
    # らすかるさんの記述のqが私の記述のa[n]と同義。

    n = 1のとき、a[1] = p, b[1] = 1-pはほぼ自明。

    n = 2のときは、コイン1とコイン2のの表裏は
    (コイン1, コイン2) = (表, 表)(表, 裏)(裏, 表)(裏, 裏)
    の4通りなので、
    a[2] = C(2, 2)(p^2)+C(2, 0)((1-p)^2)
    b[2] = C(2, 1)p(1-p)
    となります。

    一般のnでは、n = 2の場合から推論して、nが偶数のときs = 0, nが奇数のときs = 1として
    a[n] = C(n, n)(p^n)((1-p)^0)+C(n, n-2)(p^(n-2))((1-p)^2)+・・・+C(n, s)(p^s)((1-p)^(n-s))
    b[n] = C(n, n-1)(p^(n-1))((1-p)^1)+C(n, n-3)(p^(n-3))((1-p)^3)・・・+C(n, 1-s)(p^(1-s))((1-p)^(n-s+1))

    C(n, r) = C(n, n-r)という性質と、二項定理を使えば
    a[n]+b[n] = {p+(1-p)}^n = 1
    a[n]-b[n] = {p-(1-p)}^n = (2p-1)^n

    2p-1 > 0ですから、a[n]-b[n] > 0となり、a[n] > 1/2と言えます。
    ちなみに、
    a[n] = (1/2){1+(2p-1)^n} > 1/2
    b[n] = (1/2){1-(2p-1)^n}
    ですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48806 / ResNo.5) 　Re[2]: 確率
□投稿者/ 感謝 一般人(3回)-(2018/09/12(Wed) 08:05:23)
http://感謝
    ふたつの視点から丁寧に説明していただき大変よく理解出来ました。
    有り難うございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■48804 / 親記事) 　確率
□投稿者/ 教えて下さい 一般人(1回)-(2018/09/11(Tue) 22:52:39)
    n個のくじ箱が並べてあり、どの箱にもn本のくじが入っている。
    左からk番目の箱にはk本の当りくじが入っている。(k=1,2,…,n)
    これらn個のくじ箱から無作為に1つの箱を選び1本くじを引き、
    それを箱に戻しもう一度引いて、少なくとも1本当りを引く確率と
    n個のくじ箱から無作為に2つの箱を選んで1本ずつくじを引き
    少なくとも1本当りを引く確率ではどちらが大きいか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■48805 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2018/09/12(Wed) 00:02:58)
    前者は
    1-{Σ[k=1〜n-1](1/n)(k/n)}^2=1-{(n-1)/(2n)}^2=(n+1)(3n-1)/(4n^2)=a
    同じ箱から2回引くことにすると
    Σ[k=0〜n-1](1/n){1-(k/n)^2}=(n+1)(4n-1)/(6n^2)=b
    (後者)=cとすると
    ((n-1)/n)c+(1/n)b=aから
    c=(na-b)/(n-1)=(n+1)(9n-2)/(12n^2)
    そして
    c-a=(n+1)/(12n^2)＞0なので
    後者の方が大きい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■48373 / 親記事) 　接する
□投稿者/ D 一般人(1回)-(2017/11/21(Tue) 01:29:18)
    曲線 x^2+y^2=K が　直線　6*x+9*y=54 接するよう　Kを定めよ;
    そのときの　接点をも求めよ;

    曲線　4*(Log[2, x])^3 + (Log[2, y] - 1)^3 = k が　双曲線　x*y=8 に接するよう　kを定めよ;
    そのときの　接点をも求めてよ;
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■48751 / ResNo.1) 　Re[1]: 接する
□投稿者/ muturajcp 一般人(20回)-(2018/08/30(Thu) 16:13:07)
    曲線
    x^2+y^2=K
    が直線
    6x+9y=54
    に接する時
    9y=54-6x
    y=6-2x/3
    x^2+(6-2x/3)^2=K
    13x^2/9-8x+36=K
    x^2-72x/13+324/13=9K/13
    (x-36/13)^2=9K/13-36*9*9/13^2
    (x-36/13)^2=9(13K-324)/13^2
    x=36/13
    y=54/13
    接点(36/13,54/13)
    K=324/13
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■48796 / ResNo.2) 　Re[1]: 接する
□投稿者/ muturajcp 一般人(22回)-(2018/09/09(Sun) 20:12:22)
    曲線
    x^2+y^2=K
    が直線
    6x+9y=54
    に接する時
    K=324/13
    接点(36/13,54/13)

    曲線
    4(Log[2,x])^3+(Log[2,y]-1)^3=k
    が双曲線
    xy=8
    に接する時
    接点を(x,y)
    X=Log[2,x]
    Y=Log[2,y]
    とすると
    xy=8
    y+xy'=0
    xy'=-y

    Xlog2=logx
    X'log2=1/x
    xX'log2=1
    Ylog2=logy
    Y'log2=y'/y
    yY'log2=y'
    yY'=xy'X'

    4X^3+(Y-1)^3=k
    12X'X^2+3Y'(Y-1)^2=0
    4X'X^2+Y'(Y-1)^2=0
    4yX'X^2+yY'(Y-1)^2=0
    4yX'X^2+xy'X'(Y-1)^2=0
    4yX^2+xy'(Y-1)^2=0

    Y=Log[2,y]
    ↓y=2^3/xだから
    Y=Log[2,2^3/x]=3-X

    4yX^2+xy'(Y-1)^2=0
    ↓xy'=-y,Y=3-Xだから
    4yX^2-y(2-X)^2=0
    4X^2-(2-X)^2=0
    4X^2-X^2+4X-4=0
    3X^2+4X-4=0
    (X+2)(3X-2)=0
    X=-2.又は.X=2/3
    Log[2,x]=-2.又は.Log[2,x]=2/3
    x=1/4.又は.x=2^{2/3}

    x=1/4の時
    y=32=2^5
    X=Log[2,2^{-2}]=-2
    Y=Log[2,2^5]=5
    k
    =4(-2)^3+(5-1)^3
    =64-32
    =32

    x=2^{2/3}の時
    y=2^{7/3}
    X=Log[2,2^{2/3}]=2/3
    Y=Log[2,2^{7/3}]=7/3
    k
    =4(2/3)^3+(7/3-1)^3
    =32/27+64/27
    =32/9

    k=32
    の時接点(x,y)=(1/4,32)

    k=32/9
    の時接点(x,y)=(2^{2/3},2^{7/3})
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