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□投稿者/ ブリディット 一般人(1回)-(2019/09/07(Sat) 15:31:04)
 | xy平面上に原点Oと点A(1,1)があり、長方形Tは線分OA上に二つの頂点(一つの辺)があり、
残りの二つの頂点はどちらもy=x^3上にある。このような長方形Tの面積の最大値はいくらか。
たぶん簡単な問題のはずなのですが計算がうまくいきません。よろしくお願いします。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
| ■50033 / ResNo.1) |
Re[1]: 三次関数と長方形
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□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2019/09/07(Sat) 19:52:26)
| 線分OA上にない2頂点をP(p,p^3),Q(q,q^3)（0＜p＜q）とすると
直線PQの傾きが1であることから(q^3-p^3)/(q-p)=p^2+pq+q^2=1
これをqについて解くとq={-p+√(4-3p^2)}/2（∵q＞0）
Pから線分OAに下した垂線の長さは(p-p^3)/√2、
PQの長さは(q-p)√2なので
長方形の面積は
(p-p^3)(q-p)=(p-p^3)({-p+√(4-3p^2)}/2-p)
=(p-p^3){√(4-3p^2)-3p}/2
f(p)=(p-p^3){√(4-3p^2)-3p}とおくと
f'(p)={2(6p^4-9p^2+2)-6p(1-2p^2)√(4-3p^2)}/√(4-3p^2)
面積が最大のときf'(p)=0すなわち
2(6p^4-9p^2+2)-6p(1-2p^2)√(4-3p^2)=0
整理して
36p^8-90p^6+69p^4-18p^2+1=0
0＜p＜1/√3の範囲でこれを解くと
p=√{90-6√33-6√(90-6√33)}/12
これを面積の式に代入して整理すると
(面積の最大値)=√(138-22√33)/24
# 人力で解くのは大変だと思いますが、自作問題ですか？
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| ■50039 / ResNo.2) |
Re[2]: 三次関数と長方形
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□投稿者/ ブリディット 一般人(2回)-(2019/09/09(Mon) 11:51:13)
| ありがとうございます。
恐れ入りますが、他の変数を考えることで簡単になったりするのでしょうか？
例えばPQとy=x^3のもう一つの交点を(t,t^3)とおいてtで考えるなど。
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| ■50041 / ResNo.3) |
Re[3]: 三次関数と長方形
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□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2019/09/09(Mon) 12:35:18)
| 確かにそうすると手作業で求められるレベルになりますね。
気付きませんでした。
長方形の頂点のうちOA上にある頂点をx座標の大きい順にR,S、
その他の頂点をx座標の小さい順にP,Qとし、
直線PQとy=x^3のもう一つの交点をT(t,t^3)とおく。
するとP,Qの範囲の条件から-2√3/3＜t＜-1となる。
Tを通る傾き1の直線はy=x+t^3-t
y=x^3とy=x+t^3-tからP,Qのx座標を求めると
x={-t±√(4-3t^2)}/2
PSの長さはPのx座標とy座標の差の1/√2倍であり、
x座標とy座標の差はx-y=x-x^3=t-t^3なので、PS=(t-t^3)/√2
PQの長さはPとQのx座標の差の√2倍なのでPQ=√(4-3t^2)・√2
よって長方形の面積は(t-t^3)√(4-3t^2) … (1)
(面積)^2=f(t)=(t-t^3)^2・(4-3t^2)=-3t^8+10t^6-11t^4+4t^2とおくと
f'(t)=-24t^7+60t^5-44t^3+8t=-4t(t-1)(t+1)(6t^4-9t^2+2)
-2√3/3＜t＜-1なので6t^4-9t^2+2=0からt=-√(27+3√33)/6
これを(1)に代入すると、最大の面積は√(138-22√33)/24
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| ■50070 / ResNo.4) |
Re[4]: 三次関数と長方形
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□投稿者/ ブリディット 一般人(3回)-(2019/09/17(Tue) 08:55:08)
| t^2をuとでもおけばさらに計算しやすくなりそうですね。
とても参考になりました。有難うございました。
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