数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 59]

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投稿順

レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

係数(4) |

kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

確率(0) |

■50795 / 親記事)

　無限積分

□投稿者/ megumi 一般人(11回)-(2021/05/19(Wed) 15:56:25)

2021/05/22(Sat) 12:45:59 編集(投稿者)

　ディリクレ積分

　　∫[0→∞] sin(x)/x dx = π/2

を利用して

　　∫[0→∞] sin(2x)sin(x)/x^2 dx

を求めたのですが計算が合いません。間違いをご指摘ください。

723×767 => 235×250

1621407385.png/50KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50796 / ResNo.1)

　Re[1]: 無限積分

□投稿者/ 豚の脂身一般人(1回)-(2021/05/19(Wed) 17:09:08)

$2$\displaystyle \large \frac{1}{\,2\,}\, {\displaystyle\int_{0}}^{\infty} \frac{3 \sin (3x)}{{}x} dx \, - \, \frac{1}{\,2\,}\, {\displaystyle\int_{0}}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} dx \\ =\, \frac{3}{\,2\,}\, {\displaystyle\int_{0}}^{\infty} \frac{ \sin (3x)}{3x} d(3x) \, - \, \frac{1}{\,2\,} \, \frac{\pi}{\,2\,} \\ =\, \frac{3}{\,2\,}\, \frac{\pi}{\,2\,}\, -\, \frac{1}{\,2\,} \,\frac{\pi}{\,2\,} \\ =\, \frac{3 \pi}{\,4\,}\, -\, \frac{\pi}{\,4\,} \\ =\, \frac{\pi}{\,2\,}$

ですかね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50797 / ResNo.2)

　Re[2]: 無限積分

□投稿者/ megumi 一般人(12回)-(2021/05/19(Wed) 17:30:26)

　あちゃ～、詰めのところでいろいろ計算ミスしてるなあwwwww

　すばやい回答ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50790 / 親記事)

　三角関数の極限

□投稿者/ megumi 一般人(9回)-(2021/05/18(Tue) 12:14:50)

lim[x→∞]sin^2(x)/x = 0

となる理由がわかりません。

lim[x→∞](sin^2(x))'/x' = lim[x→∞]sin(2x)

ですから、ずっと振動するような気がするのですが。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■50791 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角関数の極限

□投稿者/ megumi 一般人(10回)-(2021/05/18(Tue) 15:58:21)

自己解決いたしました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-1]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50783 / 親記事)

　極限

□投稿者/ ルーシー一般人(1回)-(2021/05/17(Mon) 15:19:31)

nは自然数で
lim[x→1]{n/(x^n-1)-1/(x-1)}
を教えて下さい

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■50784 / ResNo.1)

　Re[1]: 極限

□投稿者/ X 一般人(6回)-(2021/05/17(Mon) 17:18:39)

(i)n=1のとき
(与式)=0
(ii)n≧2のとき
(与式)=lim[x→1]{n(x-1)-(x^n-1)}/{(x-1)(x^n-1)}
=lim[x→1]{n-nx^(n-1)}/{(x^n-1)+n(x-1)x^(n-1)}
=lim[x→1]{-n(n-1)x^(n-2)}/{2nx^(n-1)+n(n-1)(x-1)x^(n-2)}
=-(n-1)/2
((∵)ロピタルの定理)
これはn=1のときも成立

まとめて
(与式)=-(n-1)/2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50788 / ResNo.2)

　Re[2]: 極限

□投稿者/ X 一般人(10回)-(2021/05/17(Mon) 17:29:53)

別解)
(与式)=lim[x→1]{n-Σ[k=0～n-1]x^k}/(x^n-1)
∴t=x^nと置くと
(与式)=lim[x→1]{n-Σ[k=0～n-1]t^(k/n)}/(t-1)
ここで
f(t)=Σ[k=0～n-1]t^(k/n)
と置くと
f'(t)=Σ[k=1～n-1](k/n)t^(k/n-1)
∴微分係数の定義により
(与式)=-f'(1)
=-Σ[k=1～n-1]k/n
=-(1/n)Σ[k=1～n-1]k
=-(1/n)・(1/2)n(n-1)
=-(n-1)/2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50789 / ResNo.3)

　Re[3]: 極限

□投稿者/ ルーシー一般人(2回)-(2021/05/18(Tue) 01:09:00)

ありがとうございます！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-3]

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■50780 / 親記事)

　約数

□投稿者/ 約数一般人(1回)-(2021/05/13(Thu) 10:27:10)

次の条件を満たす最大の自然数nはどうやって求めるのでしょうか？

条件：n=a+bを満たすいかなる自然数a,bに対しても、必ずσ(a)≦2aまたはσ(b)≦2bが成り立つ。

ここで、σ(a)はaの正の約数の和です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50781 / ResNo.1)

　Re[1]: 約数

□投稿者/ らすかる付き人(50回)-(2021/05/13(Thu) 14:50:51)

↓こちらのページによると
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0
「20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。」
とのことですから、nの最大値は20161ですね。
この証明を書くには
「20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。」
と
「20161を2数の和で表したとき、2数のうち少なくとも一つは過剰数でない」
を証明しなければなりませんね。

前者は例えば
n=6k のとき n=12+(6k-12)　（※12以上の6の倍数は過剰数）
n=6k+2 のとき n=20+(6k-18)　（※20は過剰数）
n=6k+3 のとき n=945+(6k-942)　（※945は過剰数）
n=6k+4 のとき n=40+(6k-36)　（※40は過剰数）
n=6k+1のうち
n=60k+25 のとき n=945+(60k-920)　（※20の倍数は過剰数）
n=60k+55 のとき n=1575+(60k-1520)　（※1575は過剰数）
・・・
のように絞っていけば、おそらく証明できると思います。

後者は20161未満のすべての過剰数を考えて
20161を2数の和で表すと片方が奇数で片方が偶数
20161未満の奇数の過剰数はすべて15の倍数で
20161≡1(mod15)だから、偶数の方はm≡16(mod30)
よって
20161未満の奇数の過剰数
945,1575,2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615,6825,
7245,7425,7875,8085,8415,8505,8925,9135,9555,9765,10395,11025,
11655,12285,12705,12915,13545,14175,14805,15015,15435,16065,16695,
17325,17955,18585,19215,19305,19635,19845
と
20161未満で30で割って16余る過剰数
196,636,1036,1236,1696,1896,2176,2316,3016,3156,3496,3576,4216,
4416,4816,5076,5656,5796,6016,6096,6256,6516,6976,7236,7696,
7776,8056,8196,8536,8616,9196,9276,9856,10296,10696,10836,11176,
11556,11956,12396,12796,13176,13456,13656,13816,13956,14416,14496,
15136,15336,15496,15636,16156,16476,16996,17076,17416,17556,17836,
18276,18616,18696,19456,19536
のどれを足しても20161にならないことを示せば証明できますが、
そもそも上記の過剰数を列挙するだけでも大変ですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50782 / ResNo.2)

　Re[2]: 約数

□投稿者/ 約数一般人(2回)-(2021/05/13(Thu) 19:05:31)

大変な問題だったのですね…。
有難うございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▲上のスレッド

■50777 / 親記事)

　約数

□投稿者/ 青コブダイ一般人(1回)-(2021/05/10(Mon) 19:59:26)

1より大きなある自然数の正の約数すべてを単調増加になるように
1=a[1] < a[2] < ………
と並べたときのa[2]は、口頭で指し示すときに
・1の次に大きな約数
・1の次に小さな約数
のどちらで呼べばよいのでしょうか？ご教示下さい。